極點(diǎn)極線定義已知圓錐曲線С:Ax+By+Cx+Dy+E=0與一點(diǎn)P(x0,y0)[其中A+B≠0,點(diǎn)P不在曲線中心和漸近線上].則稱點(diǎn)P和直線L:A?x0x+B?y0y+C?EQ\F(x0+x,2)+D?EQ\F(y0+y,2)+E=0是圓錐曲線С的一對(duì)極點(diǎn)和極線.即在圓錐曲線方程中,以x0x替換x，以EQ\F(x0+x,2)替換x，以y0y替換y,以EQ\F(y0+y,2)替換y則可得到極點(diǎn)P(x0,y0)的極線方程L.特別地：(1)對(duì)于圓(x-a)+(y-b)=r,與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r；(2)對(duì)于橢圓EQ\F(x,a)+EQ\F(y,b)=1，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為EQ\F(x0x,a)+EQ\F(y0y,b)=1；(3)對(duì)于雙曲線EQ\F(x,a)-EQ\F(y,b)=1，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為EQ\F(x0x,a)-EQ\F(y0y,b)=1；(4)對(duì)于拋物線y=2px，與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為y0y=p(x0+x)；性質(zhì)一般地,有如下性質(zhì)[焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)榍€內(nèi)部]:①若極點(diǎn)P在曲線С上,則極線L是曲線С在P點(diǎn)的切線；②若極點(diǎn)P在曲線С外,則極線L是過極點(diǎn)P作曲線С的兩條切線的切點(diǎn)連線；③若極點(diǎn)P在曲線С內(nèi),則極線L在曲線С外且與以極點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦平行[僅是斜率相等](若是圓,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)+(y0-b)；若是橢圓,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為EQ\F(x0x,a)+EQ\F(y0y,b)=EQ\F(x0,a)+EQ\F(y0,b)；若是雙曲線,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為EQ\F(x0x,a)-EQ\F(y0y,b)=EQ\F(x0,a)-EQ\F(y0,b)；若是拋物線,則此時(shí)中點(diǎn)弦的方程為y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；④當(dāng)P(x0,y0)為圓錐曲線的焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，極線恰為該圓錐曲線的準(zhǔn)線；⑤極點(diǎn)極線的對(duì)偶性:Ⅰ.已知點(diǎn)P和直線L是關(guān)于曲線С的一對(duì)極點(diǎn)和極線,則L上任一點(diǎn)Pn對(duì)應(yīng)的極線Ln必過點(diǎn)P,反之亦然,任意過點(diǎn)P的直線Ln對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)Pn必在直線L上[圖中點(diǎn)Pn與直線Ln是一對(duì)極點(diǎn)極線]；Ⅱ.過點(diǎn)P作曲線C的兩條割線L1、L2，L1交曲線C于AB，L2交曲線C于MN，則直線AM、BN的交點(diǎn)T，直線AN、BM的交點(diǎn)S必都落在點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線L上[圖中點(diǎn)P與直線ST是一對(duì)極點(diǎn)極線；點(diǎn)T與直線SP是一對(duì)極點(diǎn)極線]；Ⅲ.點(diǎn)P是曲線C的極點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的極線為L(zhǎng)，則有:1)若C為橢圓或雙曲線，O是C的中心，直線OP交C與R，交L于Q，則OP?OQ=OR即EQ\F(OP,OR)=EQ\F(OR,OQ)橢圓如圖雙曲線如圖2)若曲線為拋物線，過點(diǎn)P作對(duì)稱軸的平行線交C于R，交L于Q，則PR=QR如圖中學(xué)數(shù)學(xué)中極點(diǎn)與極線知識(shí)的現(xiàn)狀與應(yīng)用雖然中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有提到極點(diǎn)極線,但事實(shí)上,它的身影隨處可見,只是沒有點(diǎn)破而已.教材內(nèi)改名換姓,“視”而不“見”.由④可知橢圓EQ\F(x,a)+EQ\F(y,b)=1的焦點(diǎn)的極線方程為:x=EQ\F(a,c).焦點(diǎn)與準(zhǔn)線是圓錐曲