1.4充分條件與必要條件1.5全稱量詞和存在量詞1充分條件與必要條件概念一般地，”若p，則q”為真命題，是指以p為已知條件通過推理可以得出q這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果”若p，則q”和它的逆命題”若q，則p即既有p?q，又有q?p，就記作p?q此時p即是q的充分條件也是必要條件，我們說p是q的充要條件.②p是q的______條件(填寫是否充分、必要)完成此題型，可思考從左到右，若p?q則充分，若p?q則不充分；從右到左，若q?p則必要，若Eg：帥哥是男人的______條件.從左到右，顯然若A是個帥哥，那他肯定是男人，即充分；從右到左，若B是男人，他不一定是帥哥了，即不必要；故答案是充分不必要.③從集合的角度理解－－小范圍推得出大范圍(1)命題p、q對應(yīng)集合A、B，若A?B，則p?q，即p是q的充分條件；若A?B，則p?q，即p不是q的充分條件.備注若A?B，則稱A為小范圍，B為大范圍.Eg1：帥哥是男人的______條件.設(shè)集合A={帥哥}，集合B={男人}，顯然A?B，{帥哥}是小范圍，推得出{男人}這個大范圍，即充分條件；故答案是充分不必要條件.Eg2：x>1是x>2的不充分必要條件，因?yàn)?2)結(jié)論①若p是q的充分不必要條件，則A?B；②若p是q的必要不充分條件，則B?A；③若p是q的充分條件，則A?B；④若p是q的必要條件，則B?A；⑤若p是q的充要條件，則A=B.2全稱量詞與存在量詞①全稱量詞(1)短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“?”表示．(2)含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”，記作?x∈M,p(x)．Eg：對所有末位數(shù)是0的數(shù)能被5整除，?x>0,x+1②存在量詞(1)短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“?”表示．(2)含有存在量詞的命題稱為特稱命題．特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”，記作?x∈M,p(x).Eg：至少有一個質(zhì)數(shù)是偶數(shù)，?x>0,x③全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，它們的真假性是相反的.Eg：?x>1,x2>1的否定是?x>1,x2>1【題型一】充分條件與必要條件【典題1】設(shè)a>0,b>0，則“a+b≥2”是“a2+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】∵a+b≥2可知(a+b)22≥2，而a反之不成立，例如a=3，b＝0，滿足a2+∴“a+b≥2”是“a2+b【點(diǎn)撥】①以“a+b≥2”為已知，可以推出“a2+b2≥2”②證明“a2+b2≥2”推不出“a+b≥2”，即判斷某個命題是錯的，③思考：本題可從集合的角度去判斷么？【典題2】若a,b是正整數(shù)，則a+b>ab充要條件是()A．a(chǎn)=b=1 C．a(chǎn)=b=2【解析】∵a+b>ab，∴ab?a?b<0?ab?a?b+1<1?(a－1)(b－1)<1，∵a,b是正整數(shù)，∴a≥1，b≥1，則a－1≥0，b－1≥0，∴(a－1)(b－1)≥0若(a－1)(b－1)<1，則(a－1)(b－1)=0，即a=1或b=1，即a,b有一個為1，即a+b>ab充要條件是a,b有一個為1，故選B．【點(diǎn)撥】本題求充要條件就相當(dāng)于“當(dāng)a,b是正整數(shù)，由a+b>ab可以等價推導(dǎo)出什么結(jié)論”；②p是q充要條件就是相當(dāng)于兩個命題是等價的，這個很重要，有一種數(shù)學(xué)思想叫做“等價轉(zhuǎn)化”，在推導(dǎo)問題的過程中經(jīng)常遇到它，這需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治?【典題３】若“x2?3x?4>0”是“【解析】由x2－3x－4>0得x>4或x<－1，即不等式的解集為由x2－3ax－10a若a＝0，則不等式的解為x≠0，此時不等式的解集為為若a>0，則不等式的解集為B＝若a<0，不等式的解集為B＝(求解含參的不等式，注意分類討論)若“x2－3x－4>0”是“(從集合的角度去思考充分必要條件問題)則當(dāng)a＝當(dāng)a>0時，則滿足5a≥4?2a<?1，即a≥45當(dāng)a<0時，則滿足?2a≥45a≤?1，得a≤?2a≤?1綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍{a|a≤?2或【點(diǎn)撥】①本題涉及含參的一元二次不等式的求解，要注意兩個根“5a,?2a”的大小比較，才有了"a=0,a>0,a<0"的分類；②從集合的角度去理解充分條件和必要條件，記住“小范圍推得出大范圍”.鞏固練習(xí)1(★★)已知a>0,b>0,m∈R,則“a≤b”的一個必要不充分條件是A．a(chǎn)m≤bmB．a(chǎn)【答案】C【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要條件；B是充分不必要條件；C是必要不充分條件；D是充要條件．故選：C．2(★★★)設(shè)a,b∈R，命題p：a>b，命題q：a|a|>b|b|，則p是A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若a>b≥0，a2>b若a≥0>b，顯然有aa若0>a>b，則a2而a|a|=－a2，b|b|=－b故a>b可以推出a|a|>b|b|．若a|a|>b|b|，當(dāng)b<0時，如果a≥0，不等式顯然成立，此時有a>b；如果a<0，則有－a2>－當(dāng)b≥0時，a>0，此時有a2因而a>b，故a|a|>b|b|可以推出a>b．故選：C．3(★★)在關(guān)于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】在關(guān)于x的不等式ax當(dāng)a>1時，△=4－4a<0∴“a>1”?“a當(dāng)△=4－4a<0時，a>1∴“ax2∴“a>1”是“ax2故選：C．4(★★★)已知命題p：x<2m+1,q：x2－5x+6<0，且【答案】m≥1【解析】∵命題p：x<2m+1，q：x2－5x+6<0p是q的必要不充分條件，∴(2，3)?(－∞，2m+1)，∴2m+1≥3，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥1．5(★★★)已知p：(x+1)(2－x)≥0，q：關(guān)于x的不等式(1)當(dāng)x∈R時q成立，求實(shí)數(shù)m(2)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(－3,2)(2)【解析】(1)∵4m2+4m－24<0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：(－3，2)．(2)p：－1≤x≤2，設(shè)A={x|－1≤x≤2}，B={x|x∵p是q的充分不必要條件，①由(1)知，－3<m<2時，B=R，滿足題意；②m=－3時，B={x|x③m=2時，B={x|x④m<－3，或m>2時，設(shè)f(x)=xf(x)對稱軸為x=－m，由A?B得?m<∴m>1?3m+7>0或∴1<m<73∴?10綜上可知：?103【題型二】全稱量詞與存在量詞【典題1】判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)?x∈N,x3>x2；(3)?x0∈R【解析】(1)全稱命題，當(dāng)x＝命題的否定：?x∈N(2)全稱命題，所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0或5；為假命題．命題的否定：存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不都是0；(這里不能寫“都不是”)(3)特稱命題，x0命題的否定：?x∈(4)特稱命題，菱形的對角線互相垂直，真命題．命題的否定：任意的四邊形，它的對角線不互相垂直．【點(diǎn)撥】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.【典題2】若命題“?x∈[1,4]時，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍．【解析】∵“?∴該命題的否定"?x即方程x2－4x－m=0在1,4∴(1－4－m)(16－16－m)≤0，解得?4≤m≤0【點(diǎn)撥】①命題與命題的否定的真假性相反；②正面不好證明，可從反面入手.鞏固練習(xí)1(★)命題“?x∈R,x【答案】?x∈R【解析】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題“?x∈2(★★)若命題“?x0∈R，3【答案】[?3,【解析】命題“?x0∵命題“?∴“則△=4a2∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[?33(★★)已知命題“?x0∈[－1,1],－x02+3【答案】(－2,+∞)【解析】命題“?等價于a>x令f(x)=x2－3x，x∴a>－2挑戰(zhàn)學(xué)霸設(shè)數(shù)集S={a,b,c,d}滿足下列兩個條件：(1)?x,y∈S，xy∈S；(2)?現(xiàn)給出如下論斷：①a,b,c,d中必有一個為0；②a,b,c,d中必有一個為1；③若x∈S且xy=1，則y∈S；④存在互不相等的其中正確論斷的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由(2)知0不屬于S(①不成立)，由(1)可推出對于任意a,b,c,d∈∴abcd等于a,b,c,d不妨設(shè)abcd=a，∵a≠0，∴bcd=1(由(1)知∴若③中x=b，則y=cd，由(1)知cd∈S，即∴x=b時③同理有x=c時③成立和x=d時③成立，下面討論x=a時，∵1∈S，∴若a=1，則y=1∈S，③若a≠1，則b,c,d中的某個等于1，不妨設(shè)b=1，由bcd=1知cd=1，由(1)知ac∈S，又∵ac≠a(即c≠1)，ac≠b(即a≠d)，ac≠c∴ac=d同理有ad=c，∴ac?ad=d?c，∴a2∴y=－1∈S，綜上，對于任意x∈S,xy=1，有y∈由a≠1即abcd≠1的討論可知當(dāng)abcd≠1時，S={1,－1,i