隨機(jī)過程的基本概念演示文稿第一頁，共四十六頁。優(yōu)選隨機(jī)過程的基本概念第二頁，共四十六頁。例2某電話交換臺(tái)在時(shí)間段[0,t]內(nèi)接到的呼喚次數(shù)是與t有關(guān)的隨機(jī)變量X(t),對于固定的t,X(t)是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量。故{X(t),t∈

[0,∞]}是隨機(jī)過程。第三頁，共四十六頁。由上例可見隨機(jī)過程表示依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。它雖然不能用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。為此，我們給出隨機(jī)過程的一般定義。第四頁，共四十六頁。二、隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程說明1參數(shù)集T在實(shí)際問題中，常常指的是時(shí)間參數(shù)，但有時(shí)也用其它物理量作為參數(shù)集。隨機(jī)過程是概率空間(,F,P)上的一族隨機(jī)變量，其中T稱為指標(biāo)集或參數(shù)集.說明2通常將隨機(jī)過程解釋為一個(gè)物理、自然和社會(huì)的系統(tǒng)，表示系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài)。第五頁，共四十六頁。的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的集合為狀態(tài)空間，記為S.一般地，如果不做說明都認(rèn)為狀態(tài)空間是實(shí)數(shù)集R或R的子集。狀態(tài)分類離散狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)取值是離散的取值是連續(xù)的第六頁，共四十六頁。說明3第七頁，共四十六頁。說明4當(dāng)T取為R，或[a,b]時(shí)，稱為連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程。當(dāng)T取為Z，時(shí)，稱為離散參數(shù)的隨機(jī)過程。參數(shù)集T通常代表時(shí)間，T可取實(shí)數(shù)集R,非負(fù)實(shí)數(shù)集，整數(shù)集Z，或非負(fù)整數(shù)集等第八頁，共四十六頁。參數(shù)集T是一個(gè)可列集T={0,1,2,…}離散參數(shù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)分類參數(shù)集T是一個(gè)不可列集第九頁，共四十六頁。例1（隨機(jī)游動(dòng)）一個(gè)醉漢在路上行走，以概率p前進(jìn)一步，以概率1-p后退一步（假定其步長相同）。以X(t)記他t時(shí)刻在路上的位置,則{X(t)}就是直線上的隨機(jī)游動(dòng)第十頁，共四十六頁。例2（布朗運(yùn)動(dòng)）英國植物學(xué)家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不斷進(jìn)行無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)后來稱為布朗運(yùn)動(dòng)。它是分子大量隨機(jī)碰撞的結(jié)果。若以（X(t),Y(t)）表示粒子在平面坐標(biāo)上的位置，則它是平面上的布朗運(yùn)動(dòng)。第十一頁，共四十六頁。例3（排隊(duì)模型）顧客來到服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)。當(dāng)服務(wù)站中的服務(wù)員都忙碌，即服務(wù)員都在為別的顧客服務(wù)時(shí)，來到的顧客就要排隊(duì)等候。顧客的到來、每個(gè)顧客所需的服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)的，所以如果X(t)表示t時(shí)刻的隊(duì)長,Y(t)表示t時(shí)刻到來的顧客所需的等待時(shí)間，則{X(t),t∈T}{Y(t),t∈T}都是隨機(jī)過程。第十二頁，共四十六頁。一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一維分布函數(shù)其分布函數(shù)為第二節(jié)有限維分布與Kolmogorov定理第十三頁，共四十六頁。二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第十四頁，共四十六頁。

n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)第十五頁，共四十六頁。有限維分布族一維，二維，…，n維分布等的全體：易知第十六頁，共四十六頁。一個(gè)隨機(jī)過程的有限維分布族具有對稱性和相容性.(1)對稱性(2)相容性第十七頁，共四十六頁。Kolmogorov定理前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家1931年證明了此定理說明隨機(jī)過程的有限分布函數(shù)族可以完整描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.設(shè)分布函數(shù)族滿足上面的對稱性和相容性，則必存在一個(gè)隨機(jī)過程{X(t),t∈T}使恰好是{X(t),t∈T}的有限維分布。第十八頁，共四十六頁。例1袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對每一個(gè)確定的t對應(yīng)隨機(jī)變量試求這個(gè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。分析先求的概率分布第十九頁，共四十六頁。所以解P第二十頁，共四十六頁。練習(xí)求一維分布函數(shù)解:第二十一頁，共四十六頁。第二十二頁，共四十六頁。二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征

1．均值函數(shù)說明第二十三頁，共四十六頁。如果對任意的則稱隨機(jī)過程為二階矩過程第二十四頁，共四十六頁。

2．方差函數(shù)說明第二十五頁，共四十六頁。

3．協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩注第二十六頁，共四十六頁。

4．自相關(guān)函數(shù)注協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在時(shí)刻和時(shí)的線性相關(guān)程度.第二十七頁，共四十六頁。例2解求:(1)均值函數(shù);(2)協(xié)方差函數(shù);(3)方差函數(shù)。（1）（2）（3）第二十八頁，共四十六頁。練習(xí)解：例其中是相互獨(dú)立的且均服從N(0，1)分布的隨機(jī)變量第二十九頁，共四十六頁。1.嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程第三節(jié)隨機(jī)過程的基本類型一、平穩(wěn)過程若對任意的和任意的嚴(yán)平穩(wěn)過程的有限維分布關(guān)于時(shí)間是平移不變的.第三十頁，共四十六頁。2.寬平穩(wěn)過程定義2如果它滿足：則稱為寬平穩(wěn)過程（二階平穩(wěn)過程），簡稱平穩(wěn)過程第三十一頁，共四十六頁。注2注1嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。因?yàn)閷捚椒€(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時(shí)間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時(shí)間而推移。第三十二頁，共四十六頁。3.平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)1性質(zhì)4性質(zhì)2即對任意的2n個(gè)實(shí)數(shù)第三十三頁，共四十六頁。例1滿足試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。解因?yàn)樽⒃诳茖W(xué)和工程中，例1中的過程稱為“白噪聲”，它是實(shí)際中最常用的噪聲模型。第三十四頁，共四十六頁。例2解的密度函數(shù)為所以其中T={1,2,…}，試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。是在[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)變量，第三十五頁，共四十六頁。練習(xí)解：例其中是相互獨(dú)立的且均服從N(0，1)分布的隨機(jī)變量第三十六頁，共四十六頁。二、獨(dú)立增量過程定義隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的第三十七頁，共四十六頁。例3證的隨機(jī)變量序列,則令第三十八頁，共四十六頁。三、平穩(wěn)增量過程定義第三十九頁，共四十六頁。兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程.四、平穩(wěn)獨(dú)立增量過程Poisson過程和Brown運(yùn)動(dòng)都是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程.第四十頁，共四十六頁。在何種條件下，平穩(wěn)過程對時(shí)間的平均值可以等于過程的均值？對于平穩(wěn)過程重要的是確定它的均值和它的協(xié)方差函數(shù)由大數(shù)定律知，可以用第四十一頁，共四十六頁。然而對隨機(jī)過程作多次觀察一般來說比較困難，容易的是作一次觀察,獲得一條樣本路徑,我們希望由這一次觀察來估計(jì),對于一般的隨機(jī)過程這是不可能的，但對于平穩(wěn)過程,只要加上一些條件，就可以從一次觀察中得到

的較好的估計(jì)，這就是遍歷性定理。介紹從一次試驗(yàn)所獲得的一個(gè)樣本函數(shù)來決定隨機(jī)過程的均值和協(xié)方差函數(shù)，從而就可以得到該過程的全部信息，即遍歷性問題