課時作業(yè)(十三)函數(shù)與方程1．下列函數(shù)中，在(－1，1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞增的是()A．y＝logeq\f(1,2)x B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3B[函數(shù)y＝logeq\f(1,2)x在定義域上單調(diào)遞減，y＝x2－eq\f(1,2)在(－1，1)上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，均不符合要求．對于y＝2x－1，當x＝0∈(－1，1)時，y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選B.]2．(2023·重慶模擬)函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x－eq\f(1,5)x的零點位于區(qū)間()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)B[函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，其圖像為一條不間斷的曲線．∵f(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)>0，f(2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,5)＝－eq\f(3,20)<0，∴f(1)·f(2)<0，∴由零點存在性定理可知，函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(1，2).故選B.]3．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4B[(數(shù)形結(jié)合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖像如圖，∴y＝|x2－2x|的圖像與y＝a2＋1的圖像總有兩個交點．即方程有2個解．]4.(多選)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－3)·f(6)<0，那么下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)可能有三個零點 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)AC[因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有一個零點，且f(3)<0，f(6)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有兩個零點．但是f(0)的值沒有確定，所以函數(shù)f(x)可能有三個零點，故A正確；又f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以f(－4)的符號不確定，故B不正確；C項顯然正確；由于f(0)的值沒有確定，所以f(0)與f(－6)的大小關(guān)系不確定，所以D不正確．故選AC.]5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))則使方程x＋f(x)＝m有解的實數(shù)m的取值范圍是()A．(1，2) B．(－∞，－2]C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)D[當x≤0時，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；當x>0時，x＋f(x)＝m，即x＋eq\f(1,x)＝m，解得m≥2，即實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞).故選D.]6．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零點為1，則實數(shù)a的值為________．解析：由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)7．函數(shù)f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的零點個數(shù)為________．解析：令f(x)＝0，得x3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x).在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖像．如圖所示，由圖可知兩函數(shù)圖像有1個交點，故f(x)的零點只有一個．答案：18．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當x>0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則當x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點．令f(x)＝0，得a＝2x.因為0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是(0，1].答案：(0，1]9．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x>0).(1)作出函數(shù)f(x)的圖像；(2)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍．解析：(1)如圖所示．(2)由函數(shù)f(x)的圖像可知，當0<m<1時，方程f(x)＝m有兩個不相等的正根．10．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－mx的兩個零點分別在區(qū)間(－1，2)和(2，4)內(nèi)，求m的取值范圍．解析：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝－1，))解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的兩個零點分別在區(qū)間(－1，2)和(2，4)內(nèi)，則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－1）>0，,g（2）<0，,g（4）>0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋m>0，,2－2m<0，,10－4m>0，))解得1<m<eq\f(5,2).所以m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))).11．已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8)D．－eq\f(3,8)C[因為函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一個實數(shù)根，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0?f(2x2＋1)＝f(x－λ)?2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一個實數(shù)根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).故選C.]12．(多選)(2023·山東濟南章丘區(qū)期中)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0.))若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1BCD[畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，得x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，則x3x4＝1，故A錯誤，B正確；由圖可知1<x4<2，故C正確；因為－2<x1<－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，所以x1x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，故D正確．故選BCD.]13．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－eq\f(a,2)，3a>2c>2b.(1)求證：a>0且－3<eq\f(b,a)<－eq\f(3,4)；(2)求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個零點．證明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－eq\f(a,2)，∴c＝－eq\f(3,2)a－b.∵3a>2c＝－3a－2b，∴3a>－b.∵2c>2b，∴－3a－2b＞2b，即－3a>4b.若a>0，則－3<eq\f(b,a)<－eq\f(3,4)；若a＝0，則0>－b，0>b，不成立；若a<0，則eq\f(b,a)<－3，eq\f(b,a)>－eq\f(3,4)，不成立．綜上，a＞0具－3＜eq\f(b,a)＜－eq\f(3,4).(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－eq\f(a,2)，Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2>0.當c>0時，f(0)>0，f(1)<0，∴f(x)在(0，1)內(nèi)至少有一個零點．當c＝0時，f(0)＝0，f(1)<0，f(2)＝4a＋2b＝a>0，∴f(x)在(0，2)內(nèi)有一個零點．當c<0時，f(0)<0，f(1)<0，b＝－eq\f(3,2)a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c>0，∴f(x)在(0，2)內(nèi)有一個零點．綜上，f(x)在(0，2)內(nèi)至少有一個零點．14．(創(chuàng)新型)定義在D上的函數(shù)f(x)，如果存在x∈D，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，則稱y＝f(x)存在關(guān)于實數(shù)a的“線性零點”．如：函數(shù)f(x)＝mx(m∈R)存在關(guān)于任意實數(shù)a的“線性零點”，而函數(shù)f(x)＝lneq\f(6,x2＋2)存在關(guān)于－2的“線性零點”．(1)是否存在非零實數(shù)a，使f(x)＝3x＋2存在關(guān)于a的“線性零點”？并說明理由；(2)求證：對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)＝2x＋bx2都存在關(guān)于2的“線性零點”．解析：(1)不存在．理由：假設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋2存在關(guān)于非零實數(shù)a的“線性零點”，即存在x∈R，使得f(x＋a)＝f(x)＋f(a)，即3(x＋a)＋2＝3x＋2＋3a＋2?2＝4，顯然不成立，故不存在非零實數(shù)a，使f(x)＝3x＋2存在關(guān)于a的“線性零點”．(2)證明：當f(x)＝2x＋bx2時，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)?2x＋2＋b(x＋2)2＝2x＋bx2＋4＋4b?3×2x＋4bx－4＝0，令g(x)＝3×2x＋4bx－4，x∈R，易知g(x)在