概率論與數(shù)理統(tǒng)計計算題（含答案）計算題1.一個盒子中裝有6只晶體管，其中2只是不合格品?，F(xiàn)作不放回抽樣，接連取2次，每次隨機地取1只，試求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。1-2,9-2.設(shè)甲，乙，丙三個工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，三個廠的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的20%，30%，50%，而每個工廠的成品中的次品率分別為5%，4%，2%，如果從全部成品中抽取一件，（1）求抽取的產(chǎn)品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工廠生產(chǎn)的概率。3.設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，試求：（1）密度函數(shù)；（2），。4.二維隨機變量只能取下列數(shù)組中的值：，且取這些組值的概率分別為。求這二維隨機變量分布律，并寫出關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律。5.總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位秘書，試求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英語；（2）其中恰好有兩位精通英語；（3）其中有人精通英語。6.某大型體育運動會有1000名運動員參加，其中有100人服用了違禁藥品。在使用者中，假定有90人的藥檢呈陽性，而在未使用者中也有5人檢查為陽性。如果一個運動員的藥檢是陽性，則這名運動員確實使用違禁藥品的概率是多少？7.設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，試求：（1）常數(shù)；（2）。8.設(shè)二維隨機變量(X，Y)的分布律為求：(1)(X，Y)關(guān)于X的邊緣分布律；(2)X+Y的分布律．9．已知，，，求,,。10．設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間，生產(chǎn)同一螺釘，各個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%，10%，20%，成品中次品的百分比分別為2%，3%，5%，求檢測的次品，是甲車間生產(chǎn)的概率。11．確定常數(shù)，使得成為某個隨機變量的分布律，并求。12．設(shè)，求。13．設(shè)球體的直徑服從上的均勻分布,求體積的概率密度。14．已知隨機變量(X,Y)甲、乙兩種情形的聯(lián)合分布:甲乙XY14365/367/367/3617/36XY14361/121/41/45/12分別求出X、Y的邊緣分布，并根據(jù)結(jié)果說明聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系。15.設(shè)隨機變量，的聯(lián)合分布如下圖，求以下隨機變量的分布律：123XY000.10.20.100120.30.10.216.已知，，，求,，。17.設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間，生產(chǎn)同一零件，各個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的10%，50%，40%，成品中次品的百分比分別為4%，2%，3%，求檢測為次品，是丙車間生產(chǎn)的概率。18.確定常數(shù)，使得成為某個隨機變量的分布律，并求。19.設(shè)隨機變量，的聯(lián)合分布如下圖，求以下隨機變量的分布律：-104YX-210.10.20.20.10020.10.10.2（1）20.設(shè)21.設(shè),（2）.，求。22.袋子中有5個同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5。從中同時取出3個球，記X為取出的球的最大編號，求X的分布率。23.某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)，甲廠產(chǎn)量占50%，次品率為0.01，乙廠產(chǎn)量占30%，次品率為0.02，丙廠產(chǎn)量占20%，次品率為0.05，求：（1）該產(chǎn)品的次品率；（2）若任取一件，該件是次品，求這件次品來自甲廠的概率。24.設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為求：（1）常數(shù)A和B；（2）落入（-1，1）的概率；（3）的密度函數(shù)25.設(shè)是兩個事件，已知，，，試求及26.發(fā)報臺分別以概率0.6，0.4發(fā)出信號0.2收到和，由于通信受到干擾，當(dāng)發(fā)出時，分別以概率0.8和和，同樣，當(dāng)發(fā)出信號時，收報臺分別以0.9和0.1的概率收到和。求(1)收報臺收到信號的概率；(2)當(dāng)收到時，發(fā)出的概率。27.已知某商店經(jīng)銷商品的利潤率的密度函數(shù)為求（1）常數(shù)；（2）D(X)，28.設(shè)隨機變量獨立同分布，且，記隨機變量，求的分布律29．袋內(nèi)放有2個伍分的，3個貳分的和5個壹分的錢幣，任取其中5個，求錢額總數(shù)超過一角的概率。30．某人有一筆資金，他投入基金的概率為，購買股票的概率為，兩項投資都做的概率為，求：（1）已知他已投入基金，再購買股票的概率是多少？（2）已知他已購買股票，再投入基金的概率是多少？31．已知1班有6名男生，4名女生；2班有8名男生，6名女生。求下列事件的概率：（1）隨機抽1個班，再從該班中隨機選一學(xué)生，該生是男生；（2）合并兩個班，從中隨機選一學(xué)生，該生是男生。32．設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為，客車為。今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率。33．一口袋有6個球，在這6個球上分別標(biāo)有-3，-3，1，1，1，2這樣的數(shù)字。從這袋中任取一球，設(shè)各個球被取到的可能性相同，求取得的球上標(biāo)明的數(shù)字的分布律與分布函數(shù)。34．設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，求：（1），（2），（3）的密度函數(shù)。35．某人上班所需的時間（單位：min）,已知上班時間為8：30，他每天7：50出門，求：（1）某天遲到的概率；（2）一周（以5天計）最多遲到一次的概率。36．國際市場每年對我國某種出口商品的需求量是一個隨機變量，它在[2000，4000]（單位：t）上服從均勻分布。若每售出一噸，可獲得外匯3萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大。37.假定某工廠甲，乙，丙3個車間生產(chǎn)同一種螺釘，產(chǎn)量依次占全廠的。若各車間的次品率依次為，現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，試判斷它是由丙車間生產(chǎn)的概率。38．甲,乙兩名射手在一次射擊中得分(分別用ξ,η表示)的分布律如表1,表2所示.試比較甲乙兩射手的技術(shù).39．兩個相互獨立的事件與，與都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與不發(fā)生發(fā)生的概率相等，求。40．設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，求(1)系數(shù)；（2）；（3）證明與相互獨立。41．某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）服從正態(tài)分布，且96分以上的考生占考生總數(shù)的，試求考生的外語成績在60至84分之間的概率。（）42．國際市場每年對我國某種出口商品的需求量是一個隨機變量，它在[2000，4000]（單位：t）上服從均勻分布。若每售出一噸，可獲得外匯3萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大。43.設(shè)隨機變量X的概率密度為試求：（1）；（2）；（3）。四、綜合題1.設(shè)隨機變量獨立同分布，且，（1）記隨機變量，求的分布律；（2）記隨機變量，求的分布律。2.某商店經(jīng)銷商品的利潤率的密度函數(shù)為3.某人上班路上所需時間，求，。（單位：min），已知上班時間是8:30，他每天7:50出門，求：（1）某天遲到的概率；（2）一周(以5天計)最多遲到一次的概率。4.設(shè)隨機變量的分布函數(shù)是(1)求隨機變量的分布律;(2)若隨機變量,求。5.甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船至少有一艘在?？坎次粫r需要等待的概率。6.設(shè)隨機變量的聯(lián)合分布如右表且相互獨立，求的值.XY012131/61/31/18a1/9b7.已知二維隨機變量聯(lián)合分布律為124YX-11/242/242/243/242/244/241/24023/24（1）求數(shù)；（2）證明：與不相互獨立。8.一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，證明：兩兩獨立，而不相互獨立。9-.設(shè)二維隨機變量的概率密度為求:(1)隨機變量X的邊緣概率密度;(2)概率P{X+Y≤1}。10.司機通過某高速路收費站等候的時間X（單位：分鐘）服從參數(shù)為λ=的指數(shù)分布.（1）求某司機在此收費站等候時間超過10分鐘的概率p；（2）若該司機一個月要經(jīng)過此收費站兩次，用Y表示等候時間超過10分鐘的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.五、證明題1.設(shè)為任意隨機事件，證明：。2.某次大型體育運動會有1000名運動員參加，其中有100人服用了違禁藥物。在使用者中，假定有90人的藥物檢查呈陽性，而未使用者中也有5人檢驗結(jié)果呈陽性。試證明：如果一個運動員的藥物檢查結(jié)果是陽性，則這名運動員確實使用違禁藥品的概率超過90%。3.4.設(shè)二維隨機變量（X，Y）具有密度函數(shù)證明：X與Y是否相互獨立。5．設(shè)隨機變量，是其分布函數(shù)，證明。6.設(shè)事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，證明。7.若隨機變量服從，試證服從。六、分析題1.隨機抽樣謝村和楊村的半年收入分別如下（萬元）：XP1001/500001/51/51/51/5YP5102030351/51/51/51/51/5試用數(shù)學(xué)期望、方差、中位數(shù)，說明兩個村的富裕程度。2.（8分）已知隨機變量(X,Y)甲、乙兩種情形的聯(lián)合分布:XY25251/31/61/61/3XY25251/41/41/41/4分別求出X、Y的邊緣分布，并根據(jù)結(jié)果說明聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系。3.隨機抽樣謝村和楊村的月收入分別如下（萬元）：XP5000001/51/51/51/51/5YP281012181/51/51/51/51/5試用數(shù)學(xué)期望、方差、中位數(shù)，說明兩個村的富裕程度。七、應(yīng)用題1.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間（單位：min）服從的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10min，他就離開。（1）設(shè)某顧客某天去銀行，求他未等到服務(wù)就離開的概率；（2）設(shè)某顧客一個月要去銀行五次，求他五次中只有一次未等到服務(wù)的概率。2.某保險公司開辦一年人身保險業(yè)務(wù)，被保險人每年需交付保險費160元，若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，其本人或家屬可獲2萬元賠金，已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生生大人身事故的概率為0.005（假設(shè)每人發(fā)生事故是相互獨立的），現(xiàn)有5000人參加此項保險，求保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬元到40萬元的概率是多少？3.設(shè)隨機變量服從參數(shù)，現(xiàn)在對進行3次獨立觀測，求：（1）的的指數(shù)分布，即～觀測值大于1的概率；（2）至少有2次觀測值大于1的概率．4.對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量。設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.75，0.2。若學(xué)校共有1000名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立，且服從同一分布，求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于777的概率.（注：）三、計算題1、解：設(shè)A表示取到的都是合格品，則設(shè)B表示取到的一個合格品一個次品，則設(shè)C表示至少有是一個合格品，則2、解：設(shè)A，B，C表示產(chǎn)品來自甲乙丙三個工廠，D表示抽到次品，則有以下概率由全概率公式，得由貝葉斯公式，得3、解：（1）（2），（3）4、解：由已知可得聯(lián)合分布律為：YX0010-1002XYPP5、解：設(shè)A表示恰好有一位精通英語，則設(shè)B表示恰好有2位精通英語，則設(shè)C表示有人精通英語，則6、解：設(shè)A表示服用違禁藥，B表示檢查呈陽性，則有以下概率由全概率公式，得由貝葉斯公式，得7、解：（1）（2）8、解：由已知可得X的邊緣分布律為：XP由已知可得X+Y的分布律為X+YP9.解：(1)，.(2)，。10.解：設(shè)事件分別為甲乙丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，事件{次品}，由全概率公式得：由貝葉斯公式得：11.解：由條件得：，則且；.12.解：13.解：由于直徑服從上均勻分布,所以其概率密度函數(shù)為.而兩隨機變量有，則其反函數(shù)為，且其導(dǎo)數(shù)的絕對值為由性質(zhì)得，的概率密度XP31/362/3Y14P1/32/314.解：情形甲、乙中，X、Y的邊緣分布都分別為：甲、乙兩種情形的聯(lián)合分布不同，但X、Y的邊緣分布卻相同，因此他們的關(guān)系是：聯(lián)合分布決定邊緣分布，但邊緣分布不能決定聯(lián)合分布。15.解:的分布律列出下表：P0(0,1)-10.1(0,2)-20(0,3)-30.3(1,1)00.2(1,2)-10(1,3)-20.1(2,1)10.1(2,2)00.2(2,3)-1(X,Y)X-YXY000123246所以，（1）（2）的分布律為：X-YP-30-20.1-1010.10.40.4的分布律為：XYP00.110.320.33040.160.216.解：因為(1)，(2)，。17.解：設(shè)事件分別為甲乙丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，事件{次品}，由全概率公式得：由貝葉斯公式得：18.解：由條件得：，則；且19.解:的分布律,列出下表：P0.1(-1,-2)(-1,1)(-1,2)(0,-2)-41/20.20.10.20.1(0,1)10.1(0,2)20(4,-2)60(4,1)90.2(4,2)10(X,Y)2X+YX/Y-1-10-1/2-2000-242…………(4分)所以，（1）的分布律為：X+2YP-40.1-20.2-10.200.110.120.16090100.2（2）的分布律為：X/YP-20-10.2-1/20.100.41/20.120.24020.解：21.解：22.解：于是X的分布律為34523.解：用B表示產(chǎn)品是次品，A1表示甲廠的產(chǎn)品，A2表示乙廠的產(chǎn)品，A3表示丙廠的產(chǎn)品。（1）。（2），24.解：(1)由，有：解之有：，(2)(3)25.解：因為所以，于是，.26.解：記{收到信號}，{發(fā)出信號}(1)(2).28.解：由題可以得X,Y的分布列為XP11/403/4XP11/403/4Z的可能取值為0,1,2，且X與Y相互獨立，所以P(Z=0)=P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=P(Z=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)=P(Z=2)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=分布律為：XP09/1616/1621/1629．解：設(shè)，于是有。由題意可知，當(dāng)取兩個5分幣，其余的三個可以任取，其種數(shù)為：而當(dāng)取一個5分幣，2分幣至少要取2個，其種數(shù)為：因此有利于事件的基本事件總數(shù)：故30．解：記，，則（1）（2）；。31．解：（1）記，已知，所以，。（2）32．解：記，則。由貝葉斯公式有。33.解：依題意可能取的值為-3，1，2，則的分布律為，分布函數(shù)為。34.解：（1）；（2）（3）由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，可得在的一切連續(xù)點處有，因此。35.解：（1）由題意知某人路上所花時間超過40min，他就遲到了，因此所求概率為（2）記為5天中某人遲到的次數(shù)，則服從的二項分布，5天中最多遲到一次的概率為36.解：設(shè)隨機變量表示平均收益（單位：萬元），進貨量為，則。要使得平均收益最大，所以令，得。37．解：設(shè)分別表示“產(chǎn)品為甲，乙，丙車間生產(chǎn)的”，表示“產(chǎn)品為次品”，則構(gòu)成一個完備事件組。依題意，有由貝葉斯定理，有38．解：乙的技術(shù)好39.，與與相互獨立，與，與，都相互獨立由得又由得40.解：(1)由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)，得（2）（3）與相互獨立。41.解：本題中未知，由，得則，查表得。即。42.解：設(shè)隨機變量表示平均收益（單位：萬元），進貨量為，則。要使得平均收益最大，所以令，得。43、解：(1)E(X)==dx===dx=2D(X)=-=2-=（2）D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9=2(3)P{0<x<1}=四、綜合題1、解：ZPXPUP2、解：3、解：（1）因為上班時間服從，所以遲到的概率為（2）設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為Y，則，至多遲到一次的概率為4、解：XPYP2、解：5、解：設(shè)甲乙到達時刻分別記為X,Y，則如果有船需要等待，X,Y應(yīng)該滿足所以有船需要等待的概率為6.解：由于右表是的聯(lián)合分布律，故，又相互獨立，所以，即,聯(lián)立解得:7.解：（1）（2）滿足，得；,,即不滿足,所以與不相互獨立。8.證明：由題意