淺析相似三角形解題思路教學(xué)目標(biāo)：1、 知識(shí)與技能：進(jìn)一步鞏固相似三角形判定的知識(shí)，利用三角形相似，證明角相等，線段成比例。2、 解決問(wèn)題：能夠運(yùn)用三角形相似的知識(shí)，解決不能直接測(cè)量物體的長(zhǎng)度和高度。3、 數(shù)學(xué)思考：通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)與同學(xué)交流合作，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神，變他有為己有，培養(yǎng)把自己的想法與觀點(diǎn)陳述給同學(xué)4、 情感態(tài)度：體驗(yàn)學(xué)習(xí)幾何過(guò)程中成功的快樂(lè)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)幾何的信心與熱情，并能感悟幾何知識(shí)在生活中的價(jià)值.教學(xué)重點(diǎn)：相似三角形的概念及應(yīng)用并利用相似三角形解決一些實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：相似三角形的概念及對(duì)應(yīng)邊的確定，由相似三角形寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的比例式，每個(gè)比的前項(xiàng)是同一個(gè)三角形的三條邊，而比的后項(xiàng)是另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊，學(xué)生經(jīng)常將他們的位置寫(xiě)錯(cuò)。教學(xué)方法：注重培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、運(yùn)算能力、直覺(jué)猜想能力、抽象概括能力和邏輯推理能力。教學(xué)過(guò)程：相似圖形是日常生活中常見(jiàn)的圖形.數(shù)學(xué)中相似關(guān)系的研究，是現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)際的需要.就是把它們抽象成為圖形之間的相似關(guān)系，并研究相似形的定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用，使之上升為理論，反過(guò)來(lái)又為實(shí)踐服務(wù).在研究三角形的全等，即"形狀相同，大小相等”的基礎(chǔ)上，現(xiàn)要進(jìn)一步研究?jī)蓚€(gè)平面圖形的"形狀相同，大小可以不一樣”的圖形的性質(zhì)一一相似.全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣.因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ).學(xué)好相似形也為學(xué)習(xí)園的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)知識(shí)作了必要的準(zhǔn)備和重要工具.在平面幾何中，相似形是承上啟下的關(guān)鍵內(nèi)容.

三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，因?yàn)檫@個(gè)條件最簡(jiǎn)單；再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；若無(wú)對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例;一、已知兩直線平行，其所截的三角形與原三角形。1、MN//BC,ZC=68。，AM：MB=1：2，則/MNA1、MN//BC,ZC=68。，AM：MB=1：2，則/MNA=68°：AN：NC=1：2；2、3、如圖1則S:△ADE：A、2：C、4：DE是△ABC的AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEllBC交AC于E，若AD：DB=2：3,S四邊形BCED35(B、4：D、4：D)9214、如圖2,AE已知DE//BC,EF〃AB，現(xiàn)得到下列結(jié)論：①方;EC)_EFDE-CEEA③w萬(wàn)F；④斤二擊，其中正確比例式的個(gè)數(shù)有：(bABBCCfBfA、4個(gè)B、3個(gè)C、2個(gè)D、1個(gè)F圖2C5、 如圖10過(guò)^ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E.過(guò)點(diǎn)D作DM〃FC交AB于點(diǎn)M.(1偌公aef：s四邊形mdef=2：(2)求證：AExFB=2AFxED(1)解：..?DM〃FC ...△AEF^AADMS―NAEFSAADMS 2ZAEX AAEF =_=()2^AAEFS四邊形MDEF5.AEv2'? —ADv5.AE_v2G5+0_而+2??——ED(2)證明：?「DM〃FC」.AE：ED=AF：FM又7CD=DB :,FM=BF/2:.AE：ED=AF：BF/2 即AExFB=2AFxED說(shuō)明：由平行線推出兩個(gè)三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比.注意平截比定理的應(yīng)用.

二、已知一對(duì)等角找另一角—?兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似二、已知一對(duì)等角J找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)成比例—兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似相似的三角形（不包括△AHE）有（C）C、3個(gè) D、4個(gè)相似的三角形（不包括△AHE）有（C）C、3個(gè) D、4個(gè)ZBAC=90o,AD±BC于D,則DC的長(zhǎng)是：(D)C、4D、5336、A、1個(gè)B、2個(gè)如圖4在^ABC中，若AB=2,BC=36、B、AB、7.如圖5在^ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF±AB于F,交AC的延長(zhǎng)線于H,交BE于G,求證：（1）FG/FA=FB/FH（2）FD是FG與FH的比例中項(xiàng).分析：（1）由FG/FA=FB/FH,橫看三點(diǎn)定形應(yīng)證△FGB^AFAH（2）由FD/FG=FH/FD,橫看豎看三點(diǎn)定形都無(wú)法證三角形相似.化比例式為等積式，再應(yīng)用(1)的結(jié)論可得：DF2=FG?FH=FA?FB再轉(zhuǎn)化為：ZADF, 橫看豎看三點(diǎn)定形DFFB要證△afd^Adfb即可.證明：(1)WAFH=ZBFG=900,ZABG=ZAHF:.△FGBs*AHFG/FA=FB/FH(2)VAD±BD,DFQAB:.ZAFD=ZDFB=900XVZBDF+ZFDA=900/BDF+/DAF=90。:.ZBDF=ZDAF :.ABDFsADAF:?BF/FD=FD/FA DF2=FAxFB由（1）得FG?FH=FA?FB :?DF2=FG?FH說(shuō)明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似.找相似三角形用三點(diǎn)定形法（在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn)），若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換.找?jiàn)A角相等一兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似三、己知兩邊對(duì)應(yīng)成比找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例一＞三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似例 L找一個(gè)直角—斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似8、已知矩形ABCD中，BC=3AB,E、F,是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC,問(wèn)圖中是否存在非全等的相似三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1）如圖：稱為“平行線型”的相似三角形

(2)如圖：其中Z1=Z2,則^(2)如圖：其中Z1=Z2,,B⑶如圖：匕1=匕,B⑶如圖：匕1=匕2觀察本題的圖形，ECAB CZB=ZD，則^ADE-AABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及任AF與△解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=<2a，在^EAF與^ECA中，/AEF為公共角，且AEEC= =<2所以AEAF-AecAEFAE9.己知如圖11在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時(shí)，△ADP與^QCP相似？分析：不難發(fā)現(xiàn)，△ADP.△QCP都應(yīng)為直角三角形，要求BQ的值，應(yīng)先求出使△ADP與^QCP相似的QC的值:.AADP與4QCP都為直角三角形解：在正方形ABCD中，匕D=N:.AADP與4QCP都為直角三角形當(dāng)R0ADPsRmQCP時(shí)，有ADQCAD*CP= QC= =AD=1DPCPQDP即得點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，BQ=0當(dāng)R0ADPsRmPCQ時(shí)，有ADPCDPCP1=QC=二一即得：DPQCQAD4BQ=4?.?當(dāng)BQ=0或BQ=-時(shí)，△ADP與^QCPBQ=44說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置.本題是開(kāi)放性題型，有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解。四、己知一個(gè)直角°找另一角—?四、己知一個(gè)直角-找兩邊對(duì)應(yīng)成比例 k判定定理1或判定定理410.己知如圖12在梯形ABCD中，AD#BC，ZA=900，AB=7，AD=2，BC=3.試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似.解：由題意得：△APD-ABPC或^APD-ABCP.APAD??二BPBCAB=7AB=7,AD=2,BC=3圖12解得：AP=w圖12A^AD~BC~BP解得：AP=1或AP=6 14 ,、 , . ，一，一一.即當(dāng)AP的長(zhǎng)為1或§或6時(shí)，以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似.說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置.本題有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解.「找頂角對(duì)應(yīng)相等一?判定定理1■判定定理1五、有等腰關(guān)系3找底角對(duì)應(yīng)相等I找底和腰對(duì)應(yīng)成比例一判定定理311.已知△ABC中，AB=AC，ZA=36°，求證：△ABCs^BCDBD是角平分線，分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然ZC是公共角，而另一組相等的角則可以通過(guò)計(jì)算來(lái)求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：.../A=36°，^ABC是等腰三角形，.??ZABC=ZC=72。又BD平分ZABC，則匕DBC=36°在^ABC和ABCD中，匕C為公共角，匕A=ZDBC=36°.?.^ABCs^BCD六