〔江蘇專用〕2022版高考數(shù)學二輪復習專題一集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)第2講函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)學案文蘇教版PAGE30-第2講函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)[2022考向?qū)Ш絔考點掃描三年考情考向預測2022202220221．函數(shù)及其表示第4題江蘇高考對函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以根底知識為主，難度中等偏下．對圖象的考查主要有兩個方面：一是識圖，二是用圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．對函數(shù)性質(zhì)的考查，那么主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，常以填空題的形式考查，難度較大．分段函數(shù)往往是試題的載體．2．函數(shù)的圖象3．函數(shù)的性質(zhì)第14題第9題4．分段函數(shù)第14題第14題1．必記的概念與定理(1)假設函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法那么，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾局部組成，但它表示的是一個函數(shù)．(2)單調(diào)性：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，標準步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論．由幾個函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減〞的原那么．(3)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，在關(guān)于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．(4)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．假設函數(shù)滿足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個周期；應注意nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)的周期．2．記住幾個常用的公式與結(jié)論圖象變換規(guī)那么(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向左(＋)或向右(－)平移a個單位而得到．(2)豎直平移：y＝f(x)±b(b>0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向上(＋)或向下(－)平移b個單位而得到．(3)y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．(4)y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱．(5)y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．(6)要得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖象，可將y＝f(x)的圖象在x軸下方的局部以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余局部不變．(7)要得到y(tǒng)＝f(|x|)的圖象，可將y＝f(x)，x≥0的局部作出，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸的對稱性，作出x＜0時的圖象．(8)假設奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么f(0)＝0．(9)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反之亦然；利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可知，奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱可知，偶函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．3．需要關(guān)注的易錯易混點(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值集合的并集．(2)從定義上看，函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個子區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的特征．在某個區(qū)間上單調(diào)，在整個定義域上不一定單調(diào)．(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應分別寫，不能用并集符號“∪〞聯(lián)結(jié)，也不能用“或〞聯(lián)結(jié)．(4)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．函數(shù)及其表示[典型例題](1)(2022·高考江蘇卷)函數(shù)y＝eq\r(7＋6x－x2)的定義域是________．(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,－x2＋1，x>0))的值域為________．【解析】(1)要使函數(shù)有意義，那么7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，那么函數(shù)的定義域是[－1，7]．(2)當x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)的值域為(0，1]；當x>0時，函數(shù)f(x)＝－x2＋1單調(diào)遞減，此時函數(shù)f(x)的值域為(－∞，1)．故函數(shù)f(x)的值域為(－∞，1]．【答案】(1)[－1，7](2)(－∞，1]eq\a\vs4\al()函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成局部，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先〞的觀念．求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數(shù)軸．[對點訓練]1．(2022·高考江蘇卷)函數(shù)f(x)＝eq\r(log2x－1)的定義域為________．[解析]要使函數(shù)f(x)有意義，那么log2x－1≥0，即x≥2，那么函數(shù)f(x)的定義域是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)2．(2022·南京四校第一學期聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x2－5x＋6),lg〔2x－3〕)的定義域為________．[解析]要使f(x)有意義，必須eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3＞0,lg〔2x－3〕≠0,x2－5x＋6≥0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞\f(3,2),x≠2,x≥3或x≤2))，所以函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪[3，＋∞)．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪[3，＋∞)函數(shù)的圖象及應用[典型例題](1)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)的圖象大致為________．(2)(2022·鎮(zhèn)江市高三調(diào)研考試)函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)與函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)的圖象共有k(k∈N*)個公共點：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，那么eq\i\su(i＝1,k,)(xi＋yi)＝________．【解析】(1)由f(x)＝eq\f(ex,x)，可得f′(x)＝eq\f(xex－ex,x2)＝eq\f(〔x－1〕ex,x2)，那么當x∈(－∞，0)和x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．又當x<0時，f(x)<0，故②正確．(2)函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋1)滿足f(x)＋f(－x)＝2，那么函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0，1)對稱，且f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)∈(0，2)．又函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)的圖象也關(guān)于點(0，1)對稱，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上單調(diào)遞減，畫出兩函數(shù)的大致圖象如下圖，所以兩個函數(shù)的圖象共有2個公共點，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，且這兩個交點關(guān)于點(0，1)對稱，那么eq\i\su(i＝1,2,)(xi＋yi)＝x1＋x2＋y1＋y2＝2．【答案】(1)②(2)2(1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對應關(guān)系，如：圖象的左右范圍對應定義域；上下范圍對應值域；上升、下降趨勢對應單調(diào)性；對稱性對應奇偶性．(2)有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．[對點訓練]3．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f〔3〕)))的值等于________．[解析]因為由圖象知f(3)＝1，所以eq\f(1,f〔3〕)＝1．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f〔3〕)))＝f(1)＝2．[答案]2函數(shù)的性質(zhì)[典型例題](1)函數(shù)f(x)＝eq\f(2|x|＋1＋x3＋2,2|x|＋1)的最大值為M，最小值為m，那么M＋m等于________．(2)(2022·泰州模擬)設函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔x〕，f〔x〕≤k，,k，f〔x〕＞k，))取函數(shù)f(x)＝2－|x|．當k＝eq\f(1,2)時，函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【解析】(1)f(x)＝eq\f(2·〔2|x|＋1〕＋x3,2|x|＋1)＝2＋eq\f(x3,2|x|＋1)，設g(x)＝eq\f(x3,2|x|＋1)，因為g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0．因為M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4．(2)由f(x)>eq\f(1,2)，得－1<x<1．由f(x)≤eq\f(1,2)，得x≤－1或x≥1．所以feq\s\do9(\f(1,2))(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,\f(1,2)，－1＜x＜1，,2x，x≤－1．))故feq\s\do9(\f(1,2))(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)．【答案】(1)4(2)(－∞，－1)eq\a\vs4\al()(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法①利用初等函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)的和、差或復合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間．②定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義求解．③圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間．④導數(shù)法：利用導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性分別是函數(shù)整體與局部的性質(zhì)，它們往往在研究函數(shù)中“并駕〞而行，解題時往往先通過函數(shù)奇偶性進行變形，再利用單調(diào)性求解．[對點訓練]4．偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0．假設f(x－1)>0，那么x的取值范圍是________．[解析]因為f(x)是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，那么f(x)的大致圖象如下圖，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3．[答案](－1，3)分段函數(shù)[典型例題](2022·高考江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))那么f(f(15))的值為________．【解析】因為函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4．因為在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2．,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))所以f(f(15))＝f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)．【答案】eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al()求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應的解析式求解，有時每段交替使用求值．假設給出函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍．[對點訓練]5．(2022·江蘇省高考名校聯(lián)考(三))函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax2＋x，x≥0，,－ax2＋x，x＜0，))當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4)))時，恒有f(x＋a)＜f(x)，那么實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]顯然a≠0，故考慮a＞0和a＜0兩種情形．①當a＞0時，畫圖知，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x＋a)＞f(x)，不符合題意；②當a＜0時，此時f(x)的圖象如下圖，由于不等式f(x＋a)＜f(x)中兩個函數(shù)值對應的自變量相差為－a，因此用弦長為－a的線段“削峰填谷〞，可得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4)))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(－a,2)，－\f(1,2a)＋\f(－a,2)))，即eq\f(1,2a)－eq\f(a,2)＜－eq\f(1,4)，即2a2－a－2＜0，解得eq\f(1－\r(17),4)＜a＜0．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(17),4)，0))6．設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1)上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x<0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－x))，0≤x<1，))其中a∈R．假設feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，那么f(5a)的值是________．[解析]由題意可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋a，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(1,2)))＝eq\f(1,10)，那么－eq\f(1,2)＋a＝eq\f(1,10)，a＝eq\f(3,5)，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋eq\f(3,5)＝－eq\f(2,5)．[答案]－eq\f(2,5)1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))假設f[f(0)]＝4a，那么實數(shù)a＝________．[解析]由題意知，f(0)＝20＋1＝2，那么f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a，即4＋2a＝4a，所以a＝2．[答案]22．(2022·江蘇省六市高三調(diào)研)函數(shù)f(x)＝eq\r(lg〔5－x2〕)的定義域是________．[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg〔5－x2〕≥0，,5－x2＞0，))解得－2≤x≤2，所以所求函數(shù)的定義域為[－2，2]．[答案][－2，2]3．f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________．[解析]因為f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，所以a－1＋2a＝0，所以a＝eq\f(1,3)．又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝eq\f(1,3)．[答案]eq\f(1,3)4．假設f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，那么f(x)＝________．[解析]由題意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1．①將①中x換為－x，那么有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1．②①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1．[答案]x＋15．(2022·江蘇省高考名校聯(lián)考信息(八))a∈R，函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,4x＋1)的圖象經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3)))，那么關(guān)于x的不等式f(x2＋x)＋f(x－8)<0的解集為______．[解析]因為函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,4x＋1)的圖象經(jīng)過點A(eq\f(1,2)，eq\f(1,3))，所以f(eq\f(1,2))＝a－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，解得a＝1，所以f(x)＝1－eq\f(2,4x＋1)＝eq\f(4x－1,4x＋1)，易知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)，所以關(guān)于x的不等式f(x2＋x)＋f(x－8)<0可轉(zhuǎn)化為f(x2＋x)<f(8－x)，所以x2＋x<8－x，即x2＋2x－8<0，解得－4<x<2．[答案]－4<x<26．(2022·江蘇省名校高三入學摸底卷)定義在[0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋2)，且當x∈[0，2)時，f(x)＝x2＋1，那么log2f(8)＝______．[解析]由題意得f(x＋2)＝2f(x)，所以f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝16，所以log2f(8)＝log216＝4．[答案]47．定義新運算⊕：當a≥b時，a⊕b＝a；當a<b時，a⊕b＝b2，那么函數(shù)f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于________．[解析]由得當－2≤x≤1時，f(x)＝x－2，當1<x≤2時，f(x)＝x3－2．因為f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定義域內(nèi)都為增函數(shù)．所以f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6．[答案]68．(2022·江蘇省高考名校聯(lián)考(一))函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x2－x＋2，x＞0，,2，x≤0，))那么不等式f(－x2－1)≤f(－x2＋5x)的解集為________．[解析]因為－x2－1≤－1＜0，所以f(－x2－1)＝2，當－x2＋5x≤0時，f(－x2－1)＝f(－x2＋5x)＝2，原不等式成立，此時，x≥5或x≤0；當－x2＋5x＞0時，那么需f(－x2＋5x)≥2，即eq\f(1,4)(－x2＋5x)2－(－x2＋5x)＋2≥2，－x2＋5x≥4，得1≤x≤4．故原不等式的解集為(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．[答案](－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)9．(2022·江蘇省高考名校聯(lián)考(五))函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝x2－mx(m∈R)．假設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，1)上單調(diào)遞減，那么實數(shù)m的最小值為________．[解析]當x＞0時，f(x)＝x2－mx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(m2,4)，所以當m≤0時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，1)上不可能單調(diào)遞減，所以不滿足條件；當m＞0時，根據(jù)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，\f(m,2)))上單調(diào)遞減，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)≤－2，,\f(m,2)≥1，))即m≥4，所以實數(shù)m的最小值為4．[答案]410．如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x．將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，那么y＝f(x)的圖象大致為________(填序號)．[解析]當x∈[0，eq\f(π,4)]時，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，圖象不會是直線段，從而排除①，③．當x∈[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]時，f(eq\f(π,4))＝f(eq\f(3π,4))＝1＋eq\r(5)，f(eq\f(π,2))＝2eq\r(2)．因為2eq\r(2)＜1＋eq\r(5)，所以f(eq\f(π,2))＜f(eq\f(π,4))＝f(eq\f(3π,4))，從而排除④．[答案]②11．假設函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ax＋b)(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．[解]由f(2)＝1得eq\f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得eq\f(x,ax＋b)＝x，變形得xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax＋b)－1))＝0，解此方程得x＝0或x＝eq\f(1－b,a)，又因方程有唯一解，故eq\f(1－b,a)＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\f(2x,x＋2)．12．函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．(1)假設f(x)的圖象如圖(1)所示，求a，b的值；(2)假設f(x)的圖象如圖(2)所示，求a、b的取值范圍；(3)在(1)中，假設|f(x)|＝m有且僅有一個實數(shù)解，求出m的范圍．[解](1)f(x)的圖象過點(2，0)，(0，－2)，所以a2＋b＝0，a0＋b＝－2，解得a＝eq\r(3)，b＝－3．(2)由題圖(2)知，f(x)單調(diào)遞減，所以0<a<1，又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1．(3)畫出y＝|f(x)|的草圖，如下圖，知當m＝0或m≥3時，|f(x)|＝m有且僅有一個實數(shù)解．13