河南省商丘市永城第二高級中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個白球；至少有一個紅球B．至少有一個白球；紅、黑球各一個C．恰有一個白球；一個白球一個黑球D．至少有一個白球；都是白球參考答案：B【考點】互斥事件與對立事件．【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接求解．【解答】解：袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，在A中，至少有一個白球和至少有一個紅球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，至少有一個白球和紅、黑球各一個兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故B成立；在C中，恰有一個白球和一個白球一個黑球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C不成立；在D中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立．故選：B．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）所對應(yīng)的點位于（） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限參考答案：D略3.已知F2、F1是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點，點F2關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（）A．3 B． C．2 D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】首先求出F2到漸近線的距離，利用F2關(guān)于漸近線的對稱點恰落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，可得直角三角形MF1F2，運用勾股定理，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，F(xiàn)1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c），一條漸近線方程為y=x，則F2到漸近線的距離為=b．設(shè)F2關(guān)于漸近線的對稱點為M，F(xiàn)2M與漸近線交于A，∴|MF2|=2b，A為F2M的中點，又0是F1F2的中點，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2為直角，∴△MF1F2為直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故選C．【點評】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及有關(guān)離心率和漸近線，考查勾股定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．4.下列給出的賦值語句中正確的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

參考答案：B5.已知在三棱錐中,,則點在上的射影為

的（

）A.重心

B.外心

C.內(nèi)心

D.垂心參考答案：D6.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（） A．若l⊥m，m在α內(nèi)，則l⊥α B． 若l∥α，l∥m，則m∥α C．若l⊥α，l∥m，則m⊥α D． 若l⊥α，l⊥m，則m∥α參考答案：C略7.橢圓短軸的一個端點看長軸的兩個端點的視角為120°，則這個橢圓的離心率是（

）A.

B．

C．

D．參考答案：C8.從數(shù)字中，按由小到大的順序取出，且，則不同的取法有（

）A．20種

B．35種 C．56種

D．60種

參考答案：C略9.數(shù)列的前項和為，，滿足，則（

）A．

B．

C． D．參考答案：D10.若拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點的坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，且，則

的取值范圍是.參考答案：略12.若函數(shù)對任意的恒成立，則

。參考答案：略13.已知命題：“在平面內(nèi)，周長一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，類比上述結(jié)論，可得到空間中的相關(guān)結(jié)論為___________。參考答案：在空間中，表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，球的體積最大【分析】由已知中的平面內(nèi)的性質(zhì)：“在平面內(nèi)，周長一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，根據(jù)平面上的線的性質(zhì)類比空間的面的性質(zhì)，可得空間中“表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，體積最大是球體”，即可得到答案．【詳解】根據(jù)平面中有：“在平面內(nèi)，周長一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，利用類比推理，可得空間中“表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，球的體積最大”【點睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，其中類比推理是依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對應(yīng)的性質(zhì)類比到另一類數(shù)學(xué)對象上卻，其一般步驟：（1）找出兩類事物的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得很一個明確的結(jié)論，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)滿足約束條件，求目標(biāo)函數(shù)

的最小值

參考答案：略15.若函數(shù)在處取得最小值，則_________________________參考答案：略16.已知關(guān)于實數(shù)x的不等式的解集為，則的值為________．參考答案：－2【分析】由不等式的解集得到不等式所對應(yīng)的方程的根，在由根與系數(shù)關(guān)系列式求得b，c的值，則可求．【詳解】由題意知一元二次不等式的解集是

，即，是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系得：，即，，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，其中解答中熟記一元二次不等式與一元二次方程，以及一元二函數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．17.曲線和直線所圍成的圖形的面積為參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(cè)(左)視圖、俯視圖，側(cè)(左)視圖是底邊長分別為2和4的直角梯形，俯視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求出該幾何體的體積；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCD；（Ⅲ）求直線CE與平面BDE的夾角正弦值．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可知，四棱錐B－ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，則四棱錐B－ACDE的體積為．……4分（Ⅱ）如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

………5分設(shè)平面BDE和平面BCD的法向量分別為，取

………6分，取

………7分，∴平面BDE⊥平面BCD

………8分（Ⅲ），

………11分直線CE與平面BDE的夾角正弦值為

………12分略19.（本題滿分14分）．定義：已知函數(shù)與，若存在一條直線，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線為曲線與的“左同旁切線”．已知．（1）試探求與是否存在“左同旁切線”，若存在，請求出左同旁切線方程；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)是函數(shù)圖象上任意兩點，，且存在實數(shù)，使得，證明：．參考答案：（1）由題意知與有公共點，令其為，則，，即，解得．所以在公共點處的切線方程為．下證就是左同旁切線方程，即證．先構(gòu)造函數(shù)，則，易知在處取得最大值，所以，即．（再構(gòu)造函數(shù)，則，易知在處取得最小值，所以，即．故對任意，恒有成立，即就是左同旁切線方程．（2）因為，所以，所以．解法一：（作差法，利用（1）的結(jié)論）因為，，所以．解法二：（反證法，利用（1）的結(jié)論）令，則，顯然自相矛盾，故；同理可證．故．（14分）【解析】略20.如圖，已知直線l1：kx+y=0和直線l2：kx+y+b=0（b＞0），射線OC的一個法向量為=（﹣k，1），點O為坐標(biāo)原點，且k≥0，直線l1和l2之間的距離為2，點A、B分別是直線l1、l2上的動點，P（4，2），PM⊥l1于點M，PN⊥OC于點N；（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，求?的最大值；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．參考答案：【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】（1）若k=1，則可得|OM|=．|ON|=3，進而得到|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，利用柯西不等式可得≤32；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，當(dāng)且僅當(dāng)B取點（0，﹣2）時，|BM|+|QB|取得最小值．【解答】解：（1）∵k=1．∴射線OC的一個法向量為=（﹣1，1），∴射線OC的斜率為1，射線OC的方程為：y=x（x≥0）．∴|PN|==，|OP|==2，∴|ON|==3．直線l1：x+y=0，|PM|==3，∴|OM|==．∴|OM|+|ON|=4．（2）k≥0，b＞0，直線l1和l2之間的距離為2，∴=2，化為：b2=4（k2+1）．設(shè)A（m，﹣km），B（n，﹣kn﹣b）．∵P（4，2），|+|=8，∴=（m+n﹣8，﹣km﹣kn﹣b﹣4），則（m+n﹣8）2+（km+kn+b+4）2=64≥2（m﹣4）（n﹣4）+2（km+2）（kn+b+2），=（m﹣4）（n﹣4）+（﹣km﹣2）（﹣kn﹣b﹣2）=（m﹣4）（n﹣4）+（km+2）（kn+b+2）≤32，故?的最大值為32；（3）k=0，直線l1：y=0，直線l2：y+2=0，如圖所示．作出點P關(guān)于直線y=﹣1的對稱點M（4，﹣4），則|PA|=|BM|．設(shè)B（x，﹣2）．∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2=++2，同理由對稱性可得：當(dāng)且僅當(dāng)B取點（0，﹣2）時，|BM|+|QB|取得最小值2=4．∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值為4+2．21.如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1