13/132022北京通州高三（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知集合，0，1，，，則A．，0，1，2， B．，0， C．， D．，2．（4分）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．4．（4分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項和，，，則A．31 B．63 C．127 D．2555．（4分）“直線與直線沒有公共點(diǎn)”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）若，則下列不等式成立的是A． B． C． D．7．（4分）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．奇函數(shù)，且最大值為1 C．偶函數(shù)，且最大值為2 D．偶函數(shù)，且最大值為18．（4分）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為A．8 B．10 C．12 D．149．（4分）經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為A． B． C．10 D．10．（4分）中國茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，有一種茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某研究人員在室溫下，每隔測量一次茶水溫度，得到數(shù)據(jù)如下：放置時間012345茶水溫度85.0079.0073.6068.7464.3760.43為了描述茶水溫度與放置時間的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①，，，②，，．選擇最符合實際的函數(shù)模型，可求得剛泡好的茶水達(dá)到最佳口感所需放置時間大約為（參考數(shù)據(jù)：，A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．12．（5分）最小正周期為2的函數(shù)的解析式可以是．（寫出一個即可）13．（5分）如圖，圓錐的體積為，過的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，設(shè)圓柱體積為，則．14．（5分）已知平面向量，的夾角為，且，，則的值為，的最小值為．15．（5分）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，則有一個零點(diǎn)；②若，，則有三個零點(diǎn)；③，在上是增函數(shù)；④，使得在上是增函數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（14分）在中，，．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．17．（14分）如圖，在長方體中，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．18．（14分）人類常見的遺傳病類型主要分為單基因遺傳病、多基因遺傳病和染色體異常遺傳病三大類，高度近視度以上）、紅綠色盲都是較常見的單基因遺傳?。硨W(xué)校課后實踐活動對學(xué)生這兩種遺傳病情況進(jìn)行統(tǒng)計，分別從男、女同學(xué)中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，對患病情況統(tǒng)計如下，其中“”表示是，“”表示否．人數(shù)男生高度近視紅綠色盲32112（Ⅰ）分別估計該校男生紅綠色盲的發(fā)病率和該校女生紅綠色盲的發(fā)病率；（Ⅱ）為做家庭訪問，從已調(diào)查出患紅綠色盲的同學(xué)中任選兩人，記這兩人中男同學(xué)人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)已知該校男生人數(shù)為1500，女生人數(shù)為2500，試估計該校學(xué)生的高度近視發(fā)病率與該校學(xué)生紅綠色盲發(fā)病率的大小關(guān)系，并說明理由．（注：某種遺傳病發(fā)病率19．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間與極值．20．（14分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，過，作直線的垂線，垂足分別為，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)．求證：四邊形為梯形．21．（15分）已知數(shù)列滿足以下條件：①，且；②共有100項，且各項互不相等．定義數(shù)列，，，，，2，3，，為數(shù)列的一個“10階連續(xù)子列”．（Ⅰ）若的通項公式為，寫出的一個“10階連續(xù)子列”，并求其各項和；（Ⅱ）求證：對于每個，都至少有一個10階連續(xù)子列的各項和不小于505；（Ⅲ）若對于每個，都至少有一個10階連續(xù)子列的各項和不小于正整數(shù)，求的最大值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：集合，0，1，，，則，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】直接由已知的復(fù)數(shù)得到其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】直接利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線的漸近線方程是：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．4．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)可得，從而求出值后再利用求出，進(jìn)一步利用等比數(shù)列前項和公式求出即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得或（舍去），又，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前項和公式，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】利用兩直線的位置關(guān)系，再結(jié)合充要條件的定義判定即可．【解答】解：若直線與直線沒有公共點(diǎn)，則直線與直線平行或異面，直線與直線沒有公共點(diǎn)是的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了兩直線的位置關(guān)系，充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】直接利用不等式的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：對于：當(dāng)，時，不等式不成立，故錯誤；對于：由于函數(shù)為減函數(shù)，故，故錯誤；對于：由于，所以，故錯誤；對于：由于，故滿足，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值．【解答】解：由題意，，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)即時，取最大值1．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】先安排小明和小李，然后剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，先分組后安排即可．【解答】解：小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則有種情況，剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，有，然后分配到參與兩個吉祥物的安裝，有，則共有種，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查排列組合的計數(shù)問題，利用先分組后分配的方法進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．9．【分析】根據(jù)弦長公式，三角形面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及圓的幾何性質(zhì)即可求出．【解答】解：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，而面積，而，即，所以當(dāng)時，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，面積最值問題等知識，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】由表中數(shù)據(jù)可得，每分鐘茶水的溫度的減少值呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢，故選用模型①，更符合實際的模型，將，代入可得，模型（1）的函數(shù)，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得，每分鐘茶水的溫度的減少值呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢，故選用模型①，更符合實際的模型，將，代入可得，，解得，故，令，即，故，即，剛泡好的茶水達(dá)到最佳口感所需放置時間大約為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】先確定焦點(diǎn)位置，即在軸正半軸，再求出的值，可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：拋物線是焦點(diǎn)在軸正半軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．屬基礎(chǔ)題．12．【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)的最小正周期為，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，分別計算圓錐和圓柱的體積，即可求解．【解答】解：設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，是的中點(diǎn)，圓柱底面半徑為，高為，則，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐和圓柱的體積比值的求法，考查圓錐、圓柱的體積公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14．【分析】直接利用向量數(shù)量積的定義求解的值，由已知條件可得，配方后可求得其最小值．【解答】解：因為平面向量的夾角為，且，所以，，所以當(dāng)時，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】對于①，當(dāng)時，則，分段討論得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，再由，（1）可判斷；對于②，當(dāng)時，則，分段討論函數(shù)的單調(diào)性，再由當(dāng)時，可判斷；對③，當(dāng)，即時，則，分段討論得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可判斷；對于④，當(dāng)，即時，則，分段討論函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷．【解答】解：因為函數(shù)，所以函數(shù)，對于①，當(dāng)時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，（1），所以函數(shù)有一個零點(diǎn)，故①正確；對于②，當(dāng)時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以在，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，所以，單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以在，，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，所以當(dāng)，函數(shù)只有兩個零點(diǎn)，故②不正確；對于③，當(dāng)，即時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上得，，在上是增函數(shù)，故③正確；對于④，當(dāng)，即時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，所以，單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以不存在，使得在上是增函數(shù)，故④不正確；綜上得，正確結(jié)論的序號是①③，故答案為：①③．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．【分析】由已知結(jié)合正弦定理可求，，然后結(jié)合所選條件，結(jié)合余弦定理及正弦定理可求，進(jìn)而可求；由已知結(jié)合正弦定理可求，然后結(jié)合三角形面積公式可求．【解答】解：因為，，由正弦定理得，，若選①：，此時，三角形無解；若選條件②：，由余弦定理得，，由為三角形內(nèi)角，得；若選條件③：，則，又，所以，即，所以；由，，，由正弦定理得，，所以，所以，的面積．【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）由線面平行的判定定理可得答案；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量、平面的一個法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案；（Ⅲ）直接利用向量根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式得到答案．【解答】（Ⅰ）證明：因為，平面，平面，故平面．（Ⅱ）解：如圖所示：以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，故，0，，，2，，，0，，，0，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，即，易知平面的一個法向量為，則，根據(jù)圖象知二面角的平面角為銳角，故平面與平面所成角的余弦值為．（Ⅲ）由（Ⅱ），2，，，故到平面的距離為．【點(diǎn)評】本題主要考查線面平行的證明，空間向量的應(yīng)用，面面角的計算，點(diǎn)面距離的計算等知識，屬于中等題．18．【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計算即可，由表中的數(shù)據(jù)可知，已調(diào)查的學(xué)生中，有5人患紅綠色盲，其中男生4人，女生1人，所以可能取1，2，然后求出各自對應(yīng)的概率，從而可得分布和數(shù)學(xué)期望，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)結(jié)合所給公式計算，，然后進(jìn)行比較．【解答】解：設(shè)該校男生紅綠色盲為事件，女生紅綠色盲為事件，則由表中的數(shù)據(jù)可知，已調(diào)查的學(xué)生中，有5人患紅綠色盲，其中男生4人，女生1人，所以可能取1，2，則，，所以的分布列為12所以，由題意得，，所以．【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）求出，繼而可求得和，利用直線的點(diǎn)斜式可得在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）求出，分的正負(fù)，令可得其增區(qū)間；，可得其減區(qū)間，進(jìn)而得到極值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時，，，，又，在點(diǎn)，處的切線方程為，即；（Ⅱ）函數(shù)，，由，可得和；當(dāng)時，，遞增；或，遞減．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和，，當(dāng)時，取得極小值，當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，或，遞增；，遞減．的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為和，當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查等價轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)求解算能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于，，的方程組，求得與的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）直線過定點(diǎn)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率公式證明，再由橢圓可得與相交，即可得到四邊形為梯形．【解答】解：（Ⅰ）由題意，，解得，，．橢圓的方程為；證明：（Ⅱ）直線過定點(diǎn)，設(shè)，，，，聯(lián)立，得．則△，且，，由已知可得，，，則，，若，則，即，，即，也就是，即，即，此時顯然成立．，由圖可知與相交，四邊形為梯形．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．【分析】由題意，寫出的各項，再求