2022年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共10個小題每小題4分共40分.在每道小題給出的四個備選答案中,

只有一個是符合題目要求的，請將答案涂在機讀卡上的相應(yīng)位置上）

1.（4分）已知集合/=-lWx<3},5={xeZ|x2<4},則（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

2.（4分）若2=擊，則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（4分）要得到函數(shù)y=k）g2（2x+4）的圖象，只需將函數(shù)y=log2（x+2）的圖象（）

A.向左平移2個單位長度B.向右平移2個單位長度

C.向上平移1個單位長度D.向下平移1個單位長度

4.（4分）“函數(shù)/（X）=sinx+（a-1）cosx為奇函數(shù)"是"a=l”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（4分）如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30,此時時針與分針的夾角為a（OVaW方）.若

一個扇形的圓心角為a,弧長為10,則該扇形的面積為（）

6.（4分）如圖，正方形”8中，E為。。的中點，若后=XAC+fiAE,WOA-口的值為（)

C.1D.-3

第1頁共16頁

7.（4分）大氣壓強「=壓巴工,它的單位是“帕斯卡”（Pa,lPa=lN/m2）,大氣壓強p

受力面積

（Pa）隨海拔高度〃（w）的變化規(guī)律是p=Poe-""（^=0.000126w1）,po是海平面大

氣壓強.已知在某高山小，兩處測得的大氣壓強分別為0,P2,"=那么小，血

P22

兩處的海拔高度的差約為（）（參考數(shù)據(jù)：/〃2Po.693）

A.550mB.1818mC.5500mD.8732/n

8.（4分）已知拋物線C：x2=2py（p>0）的準線/與圓M：（x-1）2+（j^-2）2=16相切，

則p=（）

A.6B.8C.3D.4

9.（4分）把函數(shù)/（x）=sin2x+Hcos2x的圖象向右平移（p個單位，再把所得圖象上各點

的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）=2sinx的圖象，則年的一個

可能值為（）

TTTlTTTC

A.一年B.-C.-YD.-

3366

10.（4分）/、8兩種品牌各三種車型2017年7月的銷量環(huán)比（與2017年6月比較）增長

率如表:

A品牌車型A\AiA3

環(huán)比增長率-7.29%10.47%14.70%

B品牌車型B\8283

環(huán)比增長率-8.49%-28.06%13.25%

根據(jù)此表中的數(shù)據(jù)，有如下關(guān)于7月份銷量的四個結(jié)論:

①小車型銷量比8］車型銷量多；

（2）A品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率可能大于14.70%；

③B品牌三款車型總銷量環(huán)比增長率可能為正；

@A品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率可能小于B品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（共5小題每小題5分共25分）

11.（5分）已知雙曲線C：x2-1=1,則漸近線方程為；離心率e為

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12.(5分)已知(x-2)7展開式中x5的系數(shù)為21,則實數(shù)。的值為.

13.(5分)設(shè)S,為公比qWl的等比數(shù)列{mJ的前〃項和，且如，2a2,。3成等差數(shù)列，則

14.(5分)設(shè)/(x)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，能說明“一定存在xo€R使得/(xo)

VI”為假命題的一個函數(shù)是/(x)=.

15.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)=『一叫X~1

{log3x,x>l.

(1)如果/(I)=3,那么實數(shù)。=；

(2)如果函數(shù)y=/(x)-2有且僅有兩個零點，那么實數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(共6小題共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

16.(14分)如圖，在直三棱柱N2C-4181cl中，A8=NC=2,/山=4,AB1AC,BELABi

交441于點E,，為CG的中點.

(I)求證：平面力8C；

(II)求二面角C-ABi-D的余弦值.

17.(14分)在△ABC中，已知6=5,cosB=再從條件①、條件②這兩個條件中選

擇一個作為已知.

(I)求sinJ；

(II)求△NBC的面積.

條件①:cosC=條件②：a=4.

18.(14分)某汽車品牌為了了解客戶對于其旗下的五種型號汽車的滿意情況，隨機抽取了

一些客戶進行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：

第3頁共16頁

汽車型號I11IIIV

回訪客戶(人250100200700350

數(shù))

滿意率0.50.50.60.30.2

滿意率是指：某種型號汽車的回訪客戶中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.假設(shè)客戶是否滿

意互相獨立，且每種型號汽車客戶對于此型號汽車滿意的概率與表格中該型號汽車的滿

意率相等.

(I)從所有的回訪客戶中隨機抽取1人，求這個客戶滿意的概率；

(II)若以樣本的頻率估計概率，從I型號和V型號汽車的所有客戶中各隨機抽取1人，

設(shè)其中滿意的人數(shù)為S，求?的分布列和期望；

(III)用“n1=1”，“0=1”，“小=1”，“n4=1”，'5=1”分別表示用II,III,IV,

V型號汽車讓客戶滿意，“川=0”，>2=0"，“中=0"，“1]4=0"，“小=0”分別表示不滿

意.寫出方差。川，。12,。中，6]4,的大小關(guān)系.

19.(14分)已知函數(shù)/(x)=2ln(x+1).

(I)若函數(shù)/(x)在點尸(xo,/(xo))處的切線平行于直線y=2x-2,求切點尸的坐

標及此切線方程；

(II)求證：當碼0,e-1]時,/(%)-2x.(其中e=2.71828)

20.(15分)己知點P(I,2)到拋物線C：y2=2px(p>0)準線的距離為2.

(I)求C的方程及焦點廠的坐標；

(II)設(shè)點P關(guān)于原點O的對稱點為點0,過點0作不經(jīng)過點O的直線與C交于兩點4

B,直線以，尸8分別交x軸于也，N兩點.求的值.

21.(14分)若對任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)〃?，使得數(shù)列｛或｝的前"項和5=",”，則

稱｛.”｝是“回歸數(shù)列”.

(I)①前”項和為Sn=2”的數(shù)列｛斯｝是否是“回歸數(shù)列”？并請說明理由：

②通項公式為方=2〃的數(shù)列｛加｝是否是“回歸數(shù)列”？并請說明理由；

(II)設(shè)｛““｝是等差數(shù)列，首項“1=1,公差1<0,若｛“"｝是"回歸數(shù)列”，求d的值；

(III)是否對任意的等差數(shù)列總存在兩個“回歸數(shù)列"獨"｝和｛?｝,使得斯=Z>"+Cn

(〃6N*)成立，請給出你的結(jié)論，并說明理由.

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2022年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個小題每小題4分共40分.在每道小題給出的四個備選答案中，

只有一個是符合題目要求的，請將答案涂在機讀卡上的相應(yīng)位置上）

1.（4分）已知集合4={x|-l〈xV3},5={XGZ|X2<4},則ZC18=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【解答】解：解，<4得，-2<x<2；

又xez；

...5={-l,0,1},且/={x|-lWx<3}；

：.AQB^{-1,0,1}.

故選：B.

2.（4分）若2=擊,則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：分啟=湍福4+|i,

._12.

",z=5~51'

復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（春，-|）,在第四象限.

故選：D.

3.（4分）要得到函數(shù)y=log2（2x+4）的圖象，只需將函數(shù)y=log2（x+2）的圖象（）

A.向左平移2個單位長度B.向右平移2個單位長度

C.向上平移1個單位長度D.向下平移1個單位長度

【解答】解：y=log2（2x+4）=log22（x+2）=log22+log2（x+2）=l+log2（x+2）,

故只需將函數(shù)y=log2（x+2）的圖象向上平移1個單位長度，即可，

故選：C.

4.（4分）“函數(shù)/（x）=sinx+（a-1）COST為奇函數(shù)”是“a=l”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若"x）是奇函數(shù)，則a-1=0,解得a=l,

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故“函數(shù)/G）=sin_t+（。-1）cosx為奇函數(shù)”是“〃=1”的充要條件，

故選：C.

5.（4分）如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30,此時時針與分針的夾角為a（0<三今）.若

一個扇形的圓心角為a,弧長為10,則該扇形的面積為（）

【解答】解：???時鐘顯示的時刻為3：30,此時時針與分針的夾角為a（0<aW*）,

?.?一個扇形的圓心角為a,弧長為/=10,設(shè)其半徑為,

則10=ar=存，

7T

1124120

該扇形的面積S=W=2X1°?盛=二「

故選：D.

6.（4分）如圖，正方形48。。中，￡：為。。的中點，若易）=

XAC+fiAEf則入-|i的值為（）

DEc

口

A.3B.2C.1D.-3

【解答】解：由題意，因為E為。。的中點，所以旗=51（T4。+佝T，

所以元）=2/一成，即云）=-北+26，所以入=-1,[i=2t

所以入-p=-3；

故選：D.

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7.(4分)大氣壓強「=一層」上,它的單位是“帕斯卡”(尸"，18=1^加2),大氣壓強p

受力面積

(Pa)隨海拔高度〃(m)的變化規(guī)律是p=p()e-*"(左=0.000126加1),po是海平面大

氣壓強.已知在某高山41,血兩處測得的大氣壓強分別為pi,pz，-=那么小，Ai

P22

兩處的海拔高度的差約為()(參考數(shù)據(jù)：7/72^0.693)

A.550mB.1818wC.5500〃？D.8732加

【解答】解：設(shè)小，加兩處的海拔高度分別為/n,歷,

-

八1nz,0.000126/ii

_A___0.000126(h2-%)

-

P2-2poe-ooooi26/t2-e，

1

/.0.000126=(叼=一/2,-0.693,

得電-八】=-0.；潞6=-5500m.

工小，山兩處的海拔高度的差約為5500加.

故選：C.

8.(4分)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的準線/與圓W：(x-1)2+(^-2)2=16相切,

則p=()

A.6B.8C.3D.4

【解答】解：拋物線C：/=2處(p>0)的準線/：y=—5與圓M：(x-1)2+(y-2)2

=16相切，

可得￡+2=4,解得p=4.

故選：D.

9.(4分)把函數(shù)/(x)=sin2x+gcos2x的圖象向右平移年個單位，再把所得圖象上各點

的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)=2sinx的圖象，則中的一個

可能值為()

TT7T7771

A.一等B.一C.一?D.一

3366

【解答】解：f(x)=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+^),

函數(shù)/(x)=sin2x+Wcos2x的圖象向右平移(p個單位，得y=2sin[2(x-(p)+?=2sin

(2x-2(p+。)，

再把所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，

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則g(x)=2sin(x-2(p+。)=2sinx,

則-2(p+攝=2An,ZrGZ,

貝U（p=

當20時i=4

故選：D.

10.（4分）A.8兩種品牌各三種車型2017年7月的銷量環(huán)比（與2017年6月比較）增長

率如表：

A品牌車型

A\AiA3

環(huán)比增長率-7.29%10.47%14.70%

8品牌車型

B2Bi

環(huán)比增長率-8.49%-28.06%13.25%

根據(jù)此表中的數(shù)據(jù)，有如下關(guān)于7月份銷量的四個結(jié)論:

①小車型銷量比例車型銷量多；

（2）A品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率可能大于14.70%；

③8品牌三款車型總銷量環(huán)比增長率可能為正；

@A品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率可能小于B品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，對關(guān)于7月份銷量的四個結(jié)論：

對于①，小車型銷量增長率比以車型銷量增長率高，但銷量不一定多，①錯誤;

對于②，A品牌三種車型中增長率最高為14.70%,

所以總銷量環(huán)比增長率不可能大于14.70%,②錯誤；

對于③，8品牌三款車型中有銷量增長率為13.25%,

所以它的總銷量環(huán)比增長率也可能為正，③正確；

對于④，由題意知/品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率，

也可能小于B品牌三種車型總銷量環(huán)比增長率，④正確：

綜上所述，其中正確的結(jié)論序號是③④.

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故選：B.

二、填空題（共5小題每小題5分共25分）

11.（5分）已知雙曲線C：?=1,則漸近線方程為2x土產(chǎn)0；離心率6為_遍_.

【解答】解：雙曲線C：/一。=1，可得。=1,6=2,則。=遍，

所以漸近線方程為2x土y=0,雙曲線的離心率為：e=￡=病.

故答案為：2x±y=0；V5.

12.（5分）已知（X—￡）7展開式中x5的系數(shù)為21,則實數(shù)。的值為-3.

【解答】解：。一“7展開式中的通項公式7T（一少『=（-a）中工,

令7-2r=5,解得/?=1.

/.-=21,解得a=~3.

故答案為：-3.

13.（5分）設(shè)S7為公比的等比數(shù)列｛板｝的前〃項和，且3ai,2a2,。3成等差數(shù)列，則

【解答】解：S〃為公比夕W1的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且3m,2a2,的成等差數(shù)列,

可得4〃2=3。］+。3，

即有4〃i夕=3ai+aiq2,

即7-4夕+3=0,解得q=3（1舍去），

S4==40〃1,S2=4〃1,

"呼i-oJ）

則”詈=10,

S24al

故答案為：3,10.

14.（5分）設(shè)/（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，能說明“一定存在xoeR使得f（xo）

<1”為假命題的一個函數(shù)是f（x）=4）斗1.

【解答】解：根據(jù)題意，若“存在xoWR使得/（xo）VI”為假命題，其反例可以為一個

值域大于等于1的減函數(shù)，

1

分析可得：f（x）=（-）、+1符合要求；

故答案為：（g）X+1（答案不唯一）.

第9頁共16頁

15.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)=1%~1

{log3x,x>l.

(1)如果/(I)=3,那么實數(shù)°=-2或4；

(2)如果函數(shù)y=/G)-2有且僅有兩個零點，那么實數(shù)〃的取值范圍是(-1,

3]-.

【解答】解：(1)如果/(1)=3,則/(I)=|1-“|=3,解得。=-2或4,

(2)當x>1由/(x)-2=0得/(工)=2,即log3%=2,解得x=9,

若函數(shù)y=/(x)-2有且僅有兩個零點，則等價為當xWl時，|x-0=2只有一個交點，

由|x-“|=2,解得x=a+2或x=q-2,

若當xWlfl寸，|x-〃|=2只有一個根，

則滿足。+2>1且a-2Wl,

即a>-1且“W3,

即-1V0W3.

故答案為：-2或4；(~1,3].

三、解答題(共6小題共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

16.(14分)如圖，在直三棱柱N8C-/i8|Cj中，AB=AC=2,AA\=4,AB±AC,BEVAB\

交441于點E,。為CG的中點.

(I)求證：.平面/8C；

(II)求二面角C-4B「D的余弦值.

【解答】(I)證明：因為三棱柱Z8C-/I6ICI為直三棱柱，所以/小，平面/8C,

所以44i_L/C.........（1分）

因為/CJ_48,ABC\AAi=A,所以/C_L平面//2力.(3分)

第10頁共16頁

因為8Eu平面441818,所以NC_L8E.（4分）

因為BEUBi,ACQABi^A,

所以8EJ_平面力81c..........(5分)

(H)解：由(I)知AB,AC,AA\兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標系孫z.

則)(0,0,0),B\(2,0,4),D(0,2,2),B(2,0,0)..........(7分)

設(shè)E(0,0,a),所以G=(0,2,2),AB1=(2,0,4),BE=(-2,0,a),

因為aRj.晶，所以4〃-4=0,即a=l..........（8分）

所以平面481c的一個法向量為晶=（-2,0,1）..........（9分）

設(shè)平面月小。的法向量為n=（x,y,z）,

所以n?"=0,所以［2y+2z=0,即,=-z,.......(京分)

InTB1=0.(2%+4z=0.("-2z.

令x=-1,則x=2,v=l,

所以平面/小。的一個法向量為3=（2,1,-1）.（11分）

EG”_n，BE__5_

所以cos<BE，n>——~~=r~—,泛后—---T—.（12分）

\n\\BE\767s0

由已知，二面角C-/8i-D為銳角，

V30

所以二面角C-4Bi-D的余弦值為丁.（13分）

6

q

17.（14分）在△ZBC中，已知b=5,cosB=yp再從條件①、條件②這兩個條件中選

第11頁共16頁

擇一個作為已知.

(I)求siM；

(II)求的面積.

條件①：cosC=崟；條件②：a=4.

【解答】解：若選擇條件①：

(I)因為cosB=m,cosC=g,B,C6(0,TT),

r-r-pi.口-5".r_3用

月T以SIYLB—1ufsiviC――—.

ioo

E[I、],/D?/^\_,DrD,r_、,1?93-77_0

所以SlTl(D+C)=SLTLDCOSC+COSDSITLC—1ux6+*rzx-Q———7~.

iooloo4

所以sinA=sin(B+C)二孝.

(II)由正弦定理得a=-^sinA=4.

SlTlD

所以SMBC=4absEC=-x4x5x=17.

若選擇條件②：

(I)由cosB=,BG(0/TT),可得SITIB--

由正弦定理得sinA=^sinB=條

(II)由余弦定理b2=a2+c2-2accos&得25=16+c?-2x4xcx卷.

即2c2-9c-18=0,解得c=6,(c=-*|舍).

所以SMBC=今QCsinB=x4x6x存，=

18.(14分)某汽車品牌為了了解客戶對于其旗下的五種型號汽車的滿意情況，隨機抽取了

一些客戶進行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：

汽車型號I11IIIWV

回訪客戶(人250100200700350

數(shù))

滿意率0.50.50.60.30.2

滿意率是指：某種型號汽車的回訪客戶中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.假設(shè)客戶是否滿

意互相獨立，且每種型號汽車客戶對于此型號汽車滿意的概率與表格中該型號汽車的滿

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意率相等.

(1)從所有的回訪客戶中隨機抽取1人，求這個客戶滿意的概率：

(II)若以樣本的頻率估計概率，從I型號和V型號汽車的所有客戶中各隨機抽取1人,

設(shè)其中滿意的人數(shù)為講求E的分布列和期望；

(III)用“巾=1”,“碓=1”，“巾=1”,“平=1","巾=1”分別表示I,II,III,IV,

V型號汽車讓客戶滿意，“m=0”，“@=0”，“中=0”，“n4=0”，“巾=0”分別表示不滿

意.寫出方差。中，0rl2,0T13,0114.。下的大小關(guān)系.

【解答】解：(I)設(shè)“從所有的回訪客戶中隨機抽1人，這個客戶滿意”為事件

由題意知，樣本中的回訪客戶的總數(shù)是250+100+200+700+350=1600,

滿意的客戶人數(shù)是250X0.5+100X0.5+200X0.6+700X0.3+350X0.2=575，

故所求概率為2的=襦=磊

(II)『，1-2.

設(shè)“從I型號汽車所有客戶中隨機抽取的人滿意”為事件4

“從V型號汽車所有客戶中隨機抽取的人滿意”為事件反

根據(jù)題意，P(4)估計為0.5,P(5)估計為0.2,4與8相互獨立.

所以p(《=0)=p(而)=(1一P(4))(l-P(B))=0.5x0.8=0.4；PR=1)=P(4初+

P(AB)=PG4)(1-P(8))+(1-P(4))P(B)=0.5X0.84-0.5X0.2=0.5；

P(?=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5X0.2=0.1.

所以s的分布列為：

012

P0.40.50.1

所以t的期望E(P=0X0.4+1X0.54-2X0.1=0.7.

(Ill)用“n2=1"，"巾=1"，‘飛4=1"，『5=1”分別表示/，//,/〃，/匕V

型號汽車讓客戶滿意，

“中=0”,"112=0”，“113=0"，"平=0'',"2=0”分別表示/,〃，/〃，/匕p型號汽車

讓客戶不滿意.

則51=0.5(1-0.5)=0.25,52=0.5(1-0.5)=0.25,。中=0.6(1-0.6)=0.24,

OT]4=0.3(1-0.3)=0.21,0115=0.2(1-0.2)=0.16.

方差。r)l,￡>T]2，Dv\i，55的大小關(guān)系為：￡>T]l=￡)T]2>￡)T]3>￡)r)4>￡)T]5.

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19.(14分)已知函數(shù)[(x)=2In(x+1).

(I)若函數(shù)/(x)在點P(xo)/(xo))處的切線平行于直線y=2x-2,求切點P的坐

標及此切線方程；

(II)求證：當xe[0,e-1]時，/(x)(其中e=2.71828)

【解答】(/)解：由題意得，/。)=擊，

所以切線斜率2=/(xo)=岳~，

1.十X。

解得xo=O,即尸(0,0),此時切線方程為y=2x；

(〃)證明：令g(x)=2ln(x+1)-X2+2X,XE[0,e-1],

則g'(x)=磊一2》+2=崎科，

當0<xV&時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當時，g1(x)<0,g(x)單

調(diào)遞減，

又g(0)=0,g(e-1)=2+(e-1)(3-e)>0,

所以g(X)Min=g(0)=0,

所以g(x)20恒成立，

所以當x€[0,e-1]時，f(x)>x2-2x.

20.(15分)已知點P(1,2)到拋物線C：y=2px(p>0)準線的距離為2.

(I)求C的方程及焦點F的坐標；

(II)設(shè)點P關(guān)于原點O的對稱點為點。，過點Q作不經(jīng)過點O的直線與C交于兩點A,

B,直線％,P8分別交x軸于M,N兩點.求|〃/卜|叼的值.

【解答】(共13分)

解：(I)由已知得1+與=2,所以p=2.

所以拋物線C的方程為f=4x,焦點廠的坐標為(1,0)…(4分)

(〃)設(shè)點A(xlry1),B(X2>y2),由已知得。(-1，-2),

由題意直線AB斜率存在且不為0.

設(shè)直線力8的方程為y=a(x+1)-2(左#0).

：4x，得"-心+軟-8=0,

k(x+l)-2/'

48

則yi+丫2=及，y，2=4-亍

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所以yF=4xi，y2=4X,即4=爵二|=?"馬4

因為點力,8在拋物線C上,2