2021-2022學(xué)年北京四中高三（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

1.已知集合4={xWZ|（x+2）（x—l）V0},B=[-2,-1},那么4UB等于（）

A.{-2,—1,0,1}B.{-2,—1,0}C.{—2,—1}D.{—1}

2.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=巖對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1—31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.設(shè)86R,“sin。=cos。”是“cos28=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.三棱柱ABC-AiBiG中，AA^IffiABC,4B_LBC.則

下列兩條直線中，不互相垂直的是（）

A.44］和BC

B.AB1和BQ

C.aB和BC

D.AB和BiC

5.設(shè)E,尸分別是正方形ABCQ的邊AB,BC上的點(diǎn)，且AE=

BF=|BC,如果市=m超+n前（m,n為實(shí)數(shù)），

那么m+n的值為（）

A.--

2

B.0

C.-

2

D.1

6.已知4（1,0）,直線l:x—y+l=0,則點(diǎn)A到直線/的距離為（）

A.1B.2C.V2D.2V2

7.已知函數(shù)/'（X）=sin（3x+g）（3>0）的最小正周期為4兀，則（）

A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱

C.函數(shù)/"（乃圖象上的所有點(diǎn)向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,兀）上單調(diào)遞增

8.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,P為拋物線上一點(diǎn)，PALI,A為垂足.若

直線AF的斜率為一百，則仍可=（）

A.4V3B.6C.8D.16

9.已知函數(shù)/(無)=｛置學(xué)x<09>0且a芋1).若函數(shù)f(x)的圖象上有且只

有兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則〃的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,4)

C.(0,l)U(l,+8)D.(0,l)U(l,4)

10.數(shù)列｛an｝表示第八天午時(shí)某種細(xì)菌的數(shù)量?細(xì)菌在理想條件下第〃天的日增長(zhǎng)率5=

0.6(7=N)當(dāng)這種細(xì)菌在實(shí)際條件下生長(zhǎng)時(shí)，其日增長(zhǎng)率/會(huì)發(fā)生變

an

化.如圖描述了細(xì)菌在理想和實(shí)際兩種狀態(tài)下細(xì)菌數(shù)量Q隨時(shí)間的變化規(guī)律.那么，

對(duì)這種細(xì)菌在實(shí)際條件下日增長(zhǎng)率7的規(guī)律描述正確的是()

0.日增長(zhǎng)率

0.

A..

0.

時(shí)間C天)

日指長(zhǎng)率

第2頁，共17頁

0.6

0.4

c.

0.2

時(shí)間

?EN長(zhǎng)品

0.6

0.4*

D.?*

0.21..

**

051015

"阿t天、

11.在（產(chǎn)+晝）5的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）.

12.在數(shù)列｛%（｝中，?!=1>an-an+1=-2,則S[oo=.

13.雙曲線接一、=l（a>0,b>0）的漸近線為等邊三角形。A8的邊OA,OB所在直

線，直線AB過雙曲線的焦點(diǎn)，且|4B|=2,則。=.

14.如圖所示，點(diǎn)。在線段AB上，4a4。=30。，/.CDB=50°,。8=4.若再給出一條

線段的長(zhǎng)度，可以使AABC唯一確定，這個(gè)線段可以是.（只需寫出代表該線

段的字母，無需給出長(zhǎng)度）

15.已知曲線C的方程是（x—a2+（y一%2=8,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C與兩坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)；

②曲線C既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形；

③若點(diǎn)P,0在曲線C上，則IPQI的最大值是6企；

④曲線C圍成圖形的面積大小在區(qū)間（40,44）內(nèi).

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

16.在△ABC中，sinA=&sinB,b=&.再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中

選擇一個(gè)作為己知，使△力BC存在且唯一確定，并解決下面的問題：

（回）求角B的大小；

（團(tuán)）求AABC的面積.

條件①：c=4；

條件②：b2—a2=c2—y/2ac；

條件③：acosB=bsinA

17.如圖所示的多面體中，面42C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PDCQ平面A8CZ）,

PD1DC,E,F,G分別為棱BC,AD,PA的中點(diǎn).

（回）求證：EG〃平面PDC。；

（回）已知二面角P-BF-C的余弦值為冷，求四棱錐P-4BCD的體積.

6

18.2020年5月1日起，北京市實(shí)行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、

有害垃圾和其它垃圾四類.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1噸廢紙可再

造出0.8噸好紙，降低造紙的污染排放，節(jié)省造紙能源消耗.

某環(huán)保小組調(diào)查了北京市房山區(qū)某垃圾處理場(chǎng)2020年6月至12月生活垃圾回收情

況，其中可回收物中廢紙和塑料品的回收量（單位：噸）的折線圖如圖：

56

37

_包份

6H7H8H9H1OJJ11H12”

（助現(xiàn)從2020年6月至12月中隨機(jī)選取I個(gè)月，求該垃圾處理廠可回收物中廢紙

和塑料品的回收量均超過4.0噸的概率；

（團(tuán)）從2020年6月至12月中任意選取2個(gè)月，記X為選取的這2個(gè)月中回收的廢

紙可再造好紙超過3.0噸的月份的個(gè)數(shù).求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（團(tuán)）假設(shè)2021年1月該垃圾處理場(chǎng)可回收物中塑料品的回收量為〃噸.當(dāng)。為何值時(shí),

自2020年6月至2021年1月該垃圾處理場(chǎng)可回收物中塑料品的回收量的方差最小

.（只需寫出結(jié)論，不需證明）

第4頁，共17頁

（注：方差52=；[（X1-x）2+（刀2-x）2+…+0n-x）2],其中X為X2,...Xn

的平均數(shù)）

19.已知函數(shù)f（x）=+x-》（卜<o）.

（國）求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（回）是否存在實(shí)數(shù)屋使得函數(shù)f（x）的極大值等于3e-?若存在，求出k的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

20.已知橢圓C：2+《=1（。>6>0）的離心率為?，且點(diǎn)7'（2,1）在橢圓。上，設(shè)與

OT平行的直線/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，直線7P,70分別與x軸正半軸交于

M,N兩點(diǎn).

（/）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（團(tuán)）判斷|0M|+|0N|的值是否為定值，并證明你的結(jié)論.

21.設(shè)正整數(shù)數(shù)列A：%,a?，…，。'（%>3）滿足見<%,其中1Wi</WN.如果存

在ke{2,3,…，N},使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱A為“我

階平衡數(shù)列”.

（團(tuán)）判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”？

（團(tuán)）若N為偶數(shù)，證明：數(shù)列A：1,2,3,…,N不是"左階平衡數(shù)列”，其中kC{2,3,…,

N}.

（團(tuán)）如果42019,且對(duì)于任意ke{2,3,…，N},數(shù)列A均為“左階平衡數(shù)列”，

求數(shù)列A中所有元素之和的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查并集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意并集定義的合理運(yùn)用.

先求出集合A,由此利用并集的定義能求出AUB的值.

【解析】

解：B={-2,—1},

集合/={xeZ|(x+2)(%-1)<0}={-1,0},

???4UB={-2,-1,0}.

故選：B.

2.【答案】B

l+2i_(l+2i)(l+3i)1.1.

【解析】解:l

l-3i―(l-3i)(l+3i)2^2

則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(一位于第二象限.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：若sin6=cos。，則9=々兀+3，(k€z),

故28=21兀+］故cos26=0,是充分條件，

若cos2J=O則2。="+三，+(fc6z),

224

不是必要條件，

故選：A.

根據(jù)充分必要條件的定義以及三角函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：對(duì)于A,因?yàn)?41平面ABC,BCu平面ABC,所以441IBC；

對(duì)于8,AB1與BC］不一定垂直；

對(duì)于C,因?yàn)?411BC,AB1BC,且441nAB=A,所以BC_L平面ABB14,AB11BC；

對(duì)于力，因?yàn)?411平面ABC,CCJ//M1，所以CCiJ■平面ABC,所以CglAB,

又AB工BC,且BCDCCi=C,所以1平面BCGBi，

第6頁，共17頁

又u平面BCG&,所以AB1BC

故選：B.

根據(jù)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)，判斷即可.

本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了向量的線性運(yùn)算，合理利用向量的平行四邊形法則，

三角形法則，是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

如圖所示，EF=EA+AC+CF=-^AB+AC-^BC=

23

--AB+AC--(BA+AC)=一3荏+?前.即可求得加，〃即可.

2363

【解答】

解：如圖所示,

EF=EAAC+CF=-^ABAC-^BC

1―?—?1—,―.1―>2—,

=--AB^AC--(BA+AC)=--AB+-AC.

23、763

12

Am=——,n=-,

63

m4-n=-,

2

故選C.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題.

由題意利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得結(jié)果.

【解答】

解：???點(diǎn)4(1,0),直線，:x-y+l=0,則點(diǎn)A到直線/的距離為：=

故選：C.

7.【答案】C

【解析】解：函數(shù)/'(%)=sin(3%+鄉(xiāng)(3>0)的最小正周期為4兀，

6

2n.

???一=4〃，

0)

可得3=

那么f(%)=sin(|x+^).

由對(duì)稱中心橫坐標(biāo)方程：+g=kTT,kEZ,

可得：x=2kn

???4不對(duì)；

由對(duì)稱軸方程：-%+—=—+kji,kEZ,

262

可得：x=2kn+keZ,

B不對(duì)；

函數(shù)f(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移m個(gè)單位，可得：sin［；(x—9+勺=sin2x,圖象關(guān)

3236

于原點(diǎn)對(duì)稱.

???C對(duì)二

令---F2/CTT工—XH—W—F2/CTT,kGZ,

2262

可得：——+4/CTT4工4--~F4/CTT

???函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,兀)上不是單調(diào)遞增.

??.0不對(duì)；

故選：C.

函數(shù)f(x)=sin(3X+g)(3>0)的最小正周期為4兀，求出儂，可得/(%)解析式，對(duì)各選

項(xiàng)進(jìn)行判斷即可

本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：?.?拋物線方程為y2=8x,

焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線/方程為x=-2,

???直線AF的斜率為一百，直線AF的方程為y=-V3(x-2),

由二二KQ-2)'可得A點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,46)，

vPA1I,A為垂足，

??.P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4百，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4百)，

\PF\=\PA\=6-(-2)=8,

故選C.

先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)直線AF的斜率得到AF方程，與準(zhǔn)

線方程聯(lián)立，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镻A垂直準(zhǔn)線/,所以P點(diǎn)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，再代

第8頁，共17頁

入拋物線方程求P點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義就可求出|PF|長(zhǎng).

本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，定義的應(yīng)用，以及曲線交點(diǎn)的求法，屬于綜合題.

9.【答案】D

【解析】解：由題意，0<a<l時(shí)，顯然成立；

a>1時(shí)，/(x)=logaX關(guān)于y軸的對(duì)稱函數(shù)為/(x)=loga(-x),則loga4>1,1<a<

4,

綜上所述，a的取值范圍是(0,l)UQ4),

故選：D.

由題意，0<a<1時(shí)，顯然成立；a>1時(shí)，/"(X)=logM關(guān)于),軸的對(duì)稱函數(shù)為f(x)=

loga(-x),則loga4>l,即可得到結(jié)論.

本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的解析式，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：由圖象可知，第一天到第六天，實(shí)際情況與理想情況重合，

n=萬=%=0.6為定值，而實(shí)際情況在第io天后增長(zhǎng)率是降低的，并且降低的速度是

變小的，

故選8.

由圖象可知，第一天到第六天，實(shí)際情況與理想情況重合，q=0=6=0-6為定值，

而實(shí)際情況在第10天后增長(zhǎng)率是降低的，并且降低的速度是變小的，即可得出結(jié)論.

本題考查散點(diǎn)圖，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，比較基礎(chǔ)，

11.【答案】40

【解析】解：由于(%2+自5展開式的通項(xiàng)公式為4+]=去2，-0寸

令10-5r=0,解得r=2,故展開式的常數(shù)項(xiàng)是40,

故答案為40.

在(7+喜)5展開式的通項(xiàng)公式中，令x的幕指數(shù)等于零，求出廠的值，即可求出展開式

的常數(shù)項(xiàng).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬

于中檔題.

12.【答案】-50

【解析】解：根據(jù)題意，由%=1,ara2=-2,得出=一2,

又。2。3=—2，得。3=1，；a3a4=—2，得Q4=—2，...，

所以｛&；｝中所有的奇數(shù)項(xiàng)均為1,所有的偶數(shù)項(xiàng)均為-2,

所以Si。。=%+。2+…+的9+。10。=1—2+…+1—2=50x(—1)=—50.

故答案為：—50.

根據(jù)的=1,ara2=一2,得g=-2,a3=1,a4=-2,...,從而可發(fā)現(xiàn)｛a九｝中所有

的奇數(shù)項(xiàng)均為1,所有的偶數(shù)項(xiàng)均為一2,進(jìn)一步利用SIOO=QI+Q2+-+Q99+Q1OO=

1-2+???+1—2=50X(—1)進(jìn)行求解即可.

本題考查數(shù)列的遞推公式，分組求和法，考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

13.【答案】|

【解析】解：由于△048(。為坐標(biāo)原點(diǎn))是等邊三角形，

則由對(duì)稱可得,4。由尸=30°,

雙曲線的漸近線方程為y=+^x,

即有tan30°=?即。=當(dāng)a,

又c=yja2+b2=a=V3,

則a=|.

故答案為：*

由等邊三角形和雙曲線的對(duì)稱性，可得，^OAF=30",再由漸近線方程，可得b=與a,

再由a,b,c的關(guān)系和c的值，即可計(jì)算得到a.

本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】AD

【解析】解：如圖所示，點(diǎn)。在線段4B上，^CAD=30°,/COB=50°,DB=4,

所以4B=BD+AD=4+AD,

則AB為定值，

所以N4CD=Z.CDB-/.CAD=50°-30。=20°,

/.ADC=180°-Z.CDB=130°,

所以在△ADC中,

利用正弦定理:4C_AD

s\nz.ADCs\nz.ACD1

ADsinZ.ADC4Dsinl300

則AC=

sinZ-ACDsin200

故AC為定值;

AB,AC,乙CAB都為定值，4ABe唯一確定，

故答案為：AD.

直接利用正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬

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于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②③

(y+1產(chǎn)=8,

作出圖象：

依次分析4個(gè)結(jié)論：

對(duì)于①，由于y片0,曲線C與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，由圖可知，曲線C既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故②正確；

對(duì)于③，若點(diǎn)尸，Q在曲線C上，則當(dāng)且僅當(dāng)尸、Q與圓弧所在的圓心共結(jié)時(shí)取得最大

值，

故|PQ|的最大值是圓心距加兩個(gè)半徑，為2&+4&=6位,故③正確；

對(duì)于④，當(dāng)x>0,y>0時(shí)，方程為。一I/+(y-1產(chǎn)=8與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(夕+1,0)，

(0,b+1)平分圓，

則第一象限面積為Si>|X(V7+1)X(V7+1)+JX(2V2)2X7T-,

故總的面積為32+32兀€(40,44),故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

根據(jù)題意，對(duì)絕對(duì)值里面的正負(fù)分類討論求出方程，作出圖象，由此分析4個(gè)結(jié)論，即

可得答案.

本題考查考查曲線方程的圖象及性質(zhì)、涉及絕對(duì)值的含義、圓的性質(zhì)等，是中檔題.

16.【答案】解：(團(tuán))sin4=夜5勿B(yǎng),b=V2,

???a=—2,

若選①：c=4,此時(shí)a+b<c,三角形無解，

若選②：b2—a2=c2—V2ac,

???a2+c2—b2=\[2ac,

由余弦定理得，858=吆爐=毅=?,

2ac2ac2

又???86（0,兀），???B=g

若選③：acosB=bsinA,

則sinZcosB=sinBsinA,

又ainA>0,cosB=sinB,

即tanB=1,

又???8€（0,兀），.??B=%

（回）由（團(tuán)）可知8=3，a=2,b=V2,

由正弦定理得，號(hào)=-々，

siru4sinB

2X乎7r

???sinA=-p-=1,.**A=

V22

：?c=b=y/2f

.??AABC的面積為沙=|xV2xV2=l.

【解析】（/）由已知結(jié)合正弦定理可求a,b,然后結(jié)合所選條件，結(jié)合余弦定理及正弦

定理可求cosB,進(jìn)而可求B；

（〃）由已知結(jié)合正弦定理可求A,然后結(jié)合三角形面積公式可求.

本題主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中

檔題.

17.【答案】

證明：（回）取PO中點(diǎn)H,連接GH,HC,

因?yàn)?8C。是正方形，所以4D〃BC,AD=BC.

因?yàn)镚,H分別是PA,尸￡＞中點(diǎn)，所以GH〃AD,GH=\AD.

又因?yàn)镋C〃/W且EC=\AD,

所以GH〃EC,GH=EC,

所以四邊形GHCE是平行四邊形，

所以EG〃HC.

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又因?yàn)镋G<t平面PDCQ,HCu平面PDCQ

所以EG〃平面POCQ.

解：（回）因?yàn)槠矫鍼DCQJL平面A8CQ,

平面POCQD平面ABCO=CO,PD1DC,PDPDCQ,

所以PD1平面ABCD.

如圖，以。為原點(diǎn)，射線￡>A,DC,Z）P分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)

系.

設(shè)PD=a,則P（0,0,a）,F（l,0,0）,B（2,2,0）.

因?yàn)镻D1底面ABCD,所以平面ABC。的一個(gè)法向量為記=（0,0,1）.

設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量為元=（%,y,z）,

~PF=(1,0,-?).而=(1,2,0)

則”.元=0

?有=0

(x—az=0

叫nilX+2y=0

令x=l,得z=2,y=_j所以記=(1,_；,工)

a22a

由己知，二面角P-BF-C的余弦值為￡

6

V6

所以得|cos<m,n>|=

6

解得a=2,所以PD=2.

因?yàn)镻。是四棱錐P-4BC0的高，

所以其體積為Vp-ABCO=[X2X4=*

【解析】（團(tuán)）取P。中點(diǎn)“，連接GH,HC,通過證明EG〃HC然后證明EG〃平面PDCQ.

（團(tuán)）以。為原點(diǎn)，射線ZM,DC,。尸分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)

PD=a,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面ABCD的一個(gè)法向量，平面PFB的一個(gè)法向量，

求出|cos（沅，元>|,推出PQ,然后求解幾何體的體積.

本題考查空間向量求解二面角的平面角，幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判

斷.考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

18.【答案】解：（回）記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸”

為事件A........................（1分）

由題意，只有8月份的可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸.......（2分）

所以P（4）=*.....................................（4分）

（回）因?yàn)榛厥绽?噸廢紙可再造出0.8噸好紙

所以6月至12月回收的廢紙可再造好紙超過3.0噸的月份有：7月、8月、10月，共3

個(gè)月.

X的所有可能取值為0,1,2...................（5分）

P(X=1)=呼=-=

'7217

P(X=2)=.=^=a..................(8分)

所以X的分布列為：

X012

241

P

777

(9分)

E（X）=0x|+lxi+2xi=%..................（11分）

（I2）a=4.4..................（14分）

當(dāng)添加的新數(shù)a等于原幾個(gè)數(shù)的平均值時(shí)，方差最小.

【解析】（團(tuán)）記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸”為事件

A,推出只有8月份的可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸，然后求解概率.

（回）X的所有可能取值為0,1,2,求出概率得到分布列，然后求解期望即可.

（團(tuán)）求出a=4.4,判斷當(dāng)添加的新數(shù)。等于原幾個(gè)數(shù)的平均值時(shí)，方差最小.

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中

檔題.

19.【答案】解：(回)/'(X)的定義域?yàn)镽,

f'(x)=—ke~kx(x2+無一》+e~kx(2x+1)=e~kx[-kx2+(2-k)x+2],即/'(x)=

-e-kx(kx-2)(x+l)(/c<0).

令尸(x)-0,解得：x=—1或x-p

①當(dāng)k=-2時(shí),f(x)=2e2x(x+l)2>0,

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,+8);

②當(dāng)-2<k<0時(shí)，/(X),/'(%)隨x的變化情況如下：

222

X(-8工)-1(-1,4-CO)

k憶T）

f'(x)+0-0+

f(x)/極大值X極小值/

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,6和（一1,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是4,一1）.

③當(dāng)k<-2時(shí)，/（X）,/'（無）隨x的變化情況如下：

第14頁，共17頁

222

X(-00,-1)-1(『+8)

(TRk

f'M+0-0+

f。)/極大值極小值7

所以，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（—8,—1）和+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是（一11）.

綜上，當(dāng)卜=一2時(shí)，/（乃的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,+8）;當(dāng)一2<k<0時(shí)，/（乃的單調(diào)

遞增區(qū)間是（一8,6和（一1,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是（，一1）；

當(dāng)k<—2時(shí)，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,—1）和q,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是（—1,6.

國）①當(dāng)卜=一2時(shí)，/（X）無極大值.

②當(dāng)一2<fc<0時(shí),f（x）的極大值為居）=e-2煨+》，

令0-2（喪+》=3e-2,即q+1=3,解得k=一1或k=［（舍）.

③當(dāng)k<-2時(shí)，/（x）的極大值為八一1）=一￡.

因?yàn)閑k<e-2,0<-i<i,所以一［<豆-2.

因?yàn)椋篹-2<3e-2,所以/（x）的極大值不可能等于3e-2,

綜上所述，當(dāng)上=一1時(shí)，f（x）的極大值等于3e-.

【解析】（團(tuán)）求出（（x））=-e-kx（：kx-2）（x+l）（fc<0）,令/（x）=0,解得：x=-1或

x=今按兩根-1，3的大小關(guān)系分三種情況討論即可；

（回）由（回）分情況求出函數(shù)f（x）的極大值，令其為3e-2,然后解憶即可，注意k的取值范

圍；

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)極值問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生

邏輯推理能力，屬中檔題.

20.【答案】解：（團(tuán)）

由題意

解得:a=2y/2,b=

V2,c—V6

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

程為卷+§=1；

82

（團(tuán)）根據(jù)題意，假設(shè)直線7P或7Q的斜率不存在，則P點(diǎn)或Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）,

直線/的方程為y+1=［（x-2）,即y=［x-2.

1+J

聯(lián)立方程《82，得/-4x+4=o,

\y=2x~2

此時(shí)，直線/與橢圓C相切，不合題意.

故直線7P和7。的斜率存在.

設(shè)PQI，%)，<?(#2而，

則直線TP:y-l="(%-2),

直線TQ:y-1=/。-2)

故[0時(shí)|=2-署，|0N|=2-二

由直線07:y=gx,設(shè)直線PQ:y=gx+t(t十0)

仔+比=1

聯(lián)立方程，8：n/+2以+2t2-4=0

y=2x+t

4>

當(dāng)0時(shí)，xt+x2=-2t,Xj-x2=2t2—4,

|。叼+|附=4-(黑+造)=4-(京臺(tái)+凝”4-

%]%2+?-2)(%]+%2)-=4—2￡2_4+(￡―2)(-2t)_4(￡_l)_4

222

^x1X2+^(t-l)(x1+x2)+(t-l)^(2t-4)+i(t-l)(-2t)+(t-l)

信+Ai

【解析】(回)根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得｛於一82=。2,解可得。、。的值,

le=?c=TV3

將。、8的值代入橢圓方程，即可得答案；

(團(tuán))根據(jù)題意，假設(shè)直線7P或7。的斜率不存在，聯(lián)立直線與橢圓的方程分析可得直線

/與橢圓C相切，不合題意，則直線7P和TQ的斜率存在，進(jìn)而設(shè)P(xi，yi),Q(x2,y2)-

由此表示直線7P或7。的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系表示|OM|+

|ON|的值，即可得答案.

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，屬于綜合題，注意提升計(jì)算的

能力.

21.【答案】解：(助由"口不為整數(shù),

可得數(shù)列2,4,6,8,10不是4階平衡數(shù)列；

數(shù)列1,5,9,13,17為首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列，

則