2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)120中學(xué)高二(上)期初數(shù)學(xué)

試卷

1.已知五=(2,-3,1),則下列向量中與方平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6，-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)

2.已知復(fù)數(shù)z=(2—i)i,則z=()

A.1—2iB.1+2iC.2—iD.—1—21

3.已知向量五=(1,1,0),b—(—1,04),且/c五+b與五互相垂直，則k=()

A.-B.-C.--D.--

3232

4.設(shè)%z,〃是兩條不同的直線(xiàn)，a,/?是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()

A.若mca,nu0,則?n_L幾

B.若m_La,mlIn,n//p,則a_L￡

C.若mJL幾，mca,nu0,則aJL￡

D.若a“B，mua,nu0,則7n〃幾

5.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為()

A.20+12^3B.28V2C.-D.—

33

6.鸛雀樓是我國(guó)著名古跡，位于今山西省永濟(jì)市，傳說(shuō)常有鸛雀在此停留，故有此

名.更有唐朝詩(shī)人王之渙在作品《登鸛雀樓》中寫(xiě)下千古名句“欲窮千里目，更上

一層樓”.如圖是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客(身高忽略不計(jì))從地面。點(diǎn)看

樓的項(xiàng)點(diǎn)C的仰角為30°,沿直線(xiàn)前進(jìn)51.9米到達(dá)E點(diǎn)，此時(shí)看點(diǎn)4的仰角為60。,

若點(diǎn)B,E,。在一條直線(xiàn)上，BC=2AC,則樓高AB約為(821.73).()

A.30米B.60米C.90米D.103米

7.北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球

靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌跡高度為36000/an(軌道高度

是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是一個(gè)球心為O,半徑，為6400切?的球,

其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆

地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積

S=2兀產(chǎn)(1一cosa)(單位：km2'),則S占地球表面積的百分比約為()

A.26%B.34%C.42%D.50%

8.a,6為空間兩條互相垂直的直線(xiàn)，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線(xiàn)與a,

6都垂直，斜邊48以AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線(xiàn)A3與a成60。角時(shí)，AB與人成30。角；

②當(dāng)直線(xiàn)AB與〃成60。角時(shí)，4B與。成60。角；

③直線(xiàn)AB與“所成角的最小值為45。；

④直線(xiàn)A8與“所成角的最大值為60。.

其中正確的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.已知向量五=（2,1）,方=（一3,1）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.（a+K）la

B.\a+2b\=5

C.向量五在向量E方向上的投影的數(shù)量是手

D.與向量五方向相同的單位向量是（等,9）

10.已知Zi，z2,z3GC,且z3Ko則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若Z[Z3=z2z3,則Zi=z2B.若Z1>Z2>則|z/>\z2\

c.1z71=D.ZiZ=zr-z2

31^312

II.一副三角板由一塊有一個(gè)內(nèi)角為60。的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如

圖所示，NB=4F=90。，乙4=60。，ND=45。，BC=DE,現(xiàn)將兩塊三角形板拼

接在一起，得三棱錐尸-C4B,取BC中點(diǎn)。與AC中點(diǎn)M,則下列判斷中正確的

是（）

A.直線(xiàn)8c_L平面OFM

B.AC與平面OFM所成的角為定值

C.設(shè)平面平面MOF=I,則有〃

D.三棱錐F-COM體積為定值

12.當(dāng)％€[o,蒙]時(shí)，函數(shù)y=sin（tox+s）與y=cos（a）x+（p）（3>0,|<p|<]）的圖象恰

有三個(gè)交點(diǎn)尸、M、N,且APMN是直角三角形，貝U（）

A.△PMN的面積S=1

D.0）=——71

2

第2頁(yè)，共18頁(yè)

C.兩函數(shù)的圖象必在％=三處有交點(diǎn)

0)

13.已知a,夕為銳角，sina=T薩，cos(a+4)=一/.則sin(2a+n)的值為.

14.在空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，設(shè)點(diǎn)M是點(diǎn)N(2,-3,5)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

點(diǎn)P(l,2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q,則線(xiàn)段MQ的長(zhǎng)度等于.

15.點(diǎn)尸為邊長(zhǎng)為1的正四面體ABC。底面BC。內(nèi)一點(diǎn)，且直線(xiàn)AP與底面BCO所成

角的正切值為通，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)長(zhǎng)度為.

16.矩形48co中，AB=V3,BC=1,現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線(xiàn)AC向上翻折，得到四面

體。-ABC,則該四面體外接球的體積為；設(shè)二面角。-AC-8的平面

角為。,當(dāng)。在修，自?xún)?nèi)變化時(shí)，陽(yáng)。|的范圍為.

17.如圖，在空間四邊形Q48C中，2麗=虎，點(diǎn)E為A。的中點(diǎn)，設(shè)65=日,礪=方，

OC=c.

(1)試用向量百，b,不表示向量瓦S

(2)若畫(huà)|=|兩=3,西|=2,^AOC=ABOC=Z.AOB=60°,求云的

值.

18.如圖.在四棱錐P-ABCC中，PAABCD,且48=2,AD=3,PA=V3,

AD//BC,AB1BC,/.ADC=45°.

(1)求異面直線(xiàn)PC與AO所成角的余弦值；

(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

19.已知△A8C的內(nèi)角4、B、C所對(duì)的邊分別是a,6,c,在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)：

(D(sinB-sinC)2=sin2i4—sinBsinC；②sing=、.丁；③bsin^1=asinB；并解

答以下問(wèn)題：

(1)若選(填序號(hào))，求乙4的值；

(2)在(1)的條件下，若a=g,b=m(m>0),當(dāng)△4BC有且只有一解時(shí)，求實(shí)數(shù)

m的范圍及4ABC面積S的最大值.

20.已知函數(shù)/'(x)=4sin號(hào)cos等+1,其中常數(shù)3>0.

(1)7=f(x)在[—?手上單調(diào)遞增，求3的取值范圍；

(2)若3<4,將函數(shù)y=/(x)圖像向左平移g個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，

且過(guò)P(”)，若對(duì)意的%€[—?*],不等式g2(x)-mg(x)—1W0恒成立，求實(shí)

數(shù)小的取值范圍.

21.正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多

邊形構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，

各相鄰面所成二面角都相等).數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正

四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正四面體QPTR

和一個(gè)正八面體AEFBHC的棱長(zhǎng)都是a(如圖)，把它們拼接起來(lái)，使它們一個(gè)表面

重合，得到一個(gè)新多面體.

(1)求新多面體的體積；

(2)求二面角4-BF-C的余弦值；

(3)求新多面體為幾面體？并證明.

22.已知矩形ABCD,AB=2BC,E為OC中點(diǎn)，將△BCD治8。折起，連結(jié)AC、AE、

BE.

(1)當(dāng)4E_LBC時(shí)，求證：4D1AC；

(2)當(dāng)荏?麗=一：時(shí)，求二面角C-BD—4的余弦值.

第4頁(yè)，共18頁(yè)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：a=(2,-3,1),

對(duì)于A,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,?.,?=白=9，故8正確；

2—31

對(duì)于C,欄=言轉(zhuǎn)，故C錯(cuò)誤；

2—35

對(duì)于。，。H3故。錯(cuò)誤.

-2-35

故選：B.

根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)公式可判斷出結(jié)果.

本題考查向量的運(yùn)算，考查向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：；復(fù)數(shù)z=(2-i)i=1+2i,

???z=1-2i,

故選：A.

先化簡(jiǎn)，再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義即可求解.

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共輾復(fù)數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，以及向量垂直的判定條件，屬于

基礎(chǔ)題.

根據(jù)k五+石與蒼互相垂直，(ka+bya=O,列出方程求出人的值.

【解析】

解：???向量R=(1,1,0),b=(-1,0,1).

fca+b=(fc-1,fc,1),

又k五+石與五互相垂直，

(ka+K)-a=0,

即(k-l)xl+k=0,

解得k=|.

故選B.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)

要注意空間思維能力的培養(yǎng).

由已知條件，利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系，能求出結(jié)果.

【解答】

解：若a1￡,mua,nu0,則m與〃還可能相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

rmla,m//n,n1a,

又???n〃氏??.aJL氏故8正確；

若jnln,mca,nu0,則a與/?還可能平行或a與口相交，故C錯(cuò)誤；

若mca,nc/?,則m〃n或〃?，"異面，故Z）錯(cuò)誤.

故選：B.

5.【答案】D

【解析】解:如圖，ABCD-48傳1。1為正四棱

臺(tái)，AB=2,A1B1=4,44i=2.

在等腰梯形48/4中，過(guò)A作AELAiBi，可

得4_=1,

AE=JAA：_A]E2=V4^1=V3.

連接AC,4G，

AC=V4T4=2V2,A?="6+16=4V2,

過(guò)A作4G_L4iG，=4v2~2—=V2,

AG=yjAA1-A^2=V4^2=VL

二正四棱臺(tái)的體積為：

S上+s下+\S±-S下

昨----------------'八

22+42+V22x42廣

=-------§-------xV2

_28V2

3'

故選：D.

過(guò)A作AE14/1，得4E=?=1,AE=-AH=VI連接AC,4G，過(guò)A

作4G14G，求出41G=&,從而4G=<44。-力仔=&,由此能求出正四棱臺(tái)的

體積.

本題考查四棱臺(tái)的體積的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，是中檔題.

第6頁(yè)，共18頁(yè)

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能

力，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用解直角三角形知識(shí)的應(yīng)用和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】

在RtAABE中，設(shè)AE=4x,所以BE=2x,AB=2V3x,

由于BC=24C,所以BC=^x,AC=—x,

33

45/3

在山△BCD中，利用tan3(T=哀盍，解得x=?，所以AB=2百x言a90米.

故選：C.

7.【答案】C

【解析】解：由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖,

則。8=36000+6400=424000,那么cosa=空”=-；

4240053

衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積S=27rr2(l-cosa),

那么，S占地球表面積的百分比為2上警=—?42%.

4"2106

故選：C.

由題意，地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，求解cosa,根據(jù)衛(wèi)星信號(hào)覆

蓋的地球表面面積可得S占地球表面積的百分比.

本題考查了對(duì)題目的閱讀能力和理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意知，a,b,AC三條直線(xiàn)兩兩相互垂直，如下圖，設(shè)CO為〃直線(xiàn),

則麗=(1,0,0),CE=(0,1,0),A(0,0,1)，依題意可設(shè)B(x,y,0),

等腰直角三角形ABC中，AC=BC,AC1BC,則點(diǎn)Be平面COE.

即點(diǎn)B在平面CQE內(nèi)的軌跡在以C為圓心，1為半徑的圓周上，即有/+y2=i,

AB=(x,y,-1),設(shè)直線(xiàn)AB與“成。角，直線(xiàn)A8與人成角.

則有cosJ=|cos<CD,Afi>|=號(hào)，cos(p=|cos<CE,AB>|=號(hào).

當(dāng)直線(xiàn)AB與a成60。角時(shí)，有稱(chēng)=[得到|x|=:

由M+y2=i,可得|y|=當(dāng)，此時(shí)COS0=5所以48與/?成60。角，故②正確；①不

正確.

由cos。=|cos<CD,AB>I=§>又|x|<1，故cos。G[0,爭(zhēng)，所以。G碎勻所以所以

③正確，④錯(cuò)誤

綜上可知選②③.

故選：C.

由題意知，a,b,AC三條直線(xiàn)兩兩相互垂直，設(shè)CD為a直線(xiàn)，CE為。直線(xiàn)，不妨設(shè)

AC=CD=CE=1,利用向量法求解判斷即可.

本題主要考查異面直線(xiàn)的夾角問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了向量垂直，模，投影與數(shù)量積的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系判斷A,利用求模公式判斷8,利用投影公式判斷C,利

用共線(xiàn)向量的性質(zhì)判斷D.

【解答】

第8頁(yè)，共18頁(yè)

解：A：va=(2,1),b=(—3,1),Aa4-h=(-1,2),

v(a4-K)-a=-1x24-1x2=0,A(a4-K)1a,A4正確，

B：va4-26=(-4,3)，|a+2h|=V42+32=5,正確，

C：?響量丘在向量方方向上的投影的數(shù)量是胃==-乎，C錯(cuò)誤,

?與向量五方向相同的單位向量是1=-^(2,1)=(等,?)，二。正確.

故選：ABD.

10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,「Z1Z3=Z2Z3,?,.紅”=%,即Z]=Z2，故A正確；

z3Z3

對(duì)于選項(xiàng)8,若Z[=0,z2=i,則z1>z%但區(qū)|<㈤，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)知，|2|="，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,若Zi=Q+bi,z2=c+di(QER,bER,cER,dER),

則Z1Z2=(Q+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,

故Z1Z2=ac—bd—(ad+be)3

zi,z2=(a-bi)(c—di)=ac—bd-(ad+bc)i,

故Z2Z2=Zi-Z2?故。正確.

故選：ACD.

對(duì)于選項(xiàng)A,由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得g=2且，化簡(jiǎn)即可；

Z3Z3

對(duì)于選項(xiàng)B,舉例Z]—0,Z2=i可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)C,由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di(aeR,b€R,ceR,deR),再化簡(jiǎn)判斷即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

由三角形的中位線(xiàn)定理和線(xiàn)面垂直的判定定理可判斷A；由線(xiàn)面角的定義可判斷&過(guò)

尸在平面OM尸內(nèi)作直線(xiàn)1〃OM,可判斷C；由三棱錐的體積可判斷D.

本題考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

【解答】

解：由0M為△ABC的中位線(xiàn)可得OM〃AB,則BC1OM,BC10F,且0MD。尸=。，

可得BC_L平面0pM,故A正確；

由BC1平面。&W,可得AC與平面。尸仞所成角為ZCM。，而4cM。=4048=60。,

故B正確;

C(D)B⑻

可過(guò)尸在平面OW內(nèi)作直線(xiàn)，〃0M,而OM〃/IB,所以/為平面OMF■和平面

A8F的交線(xiàn)，故C正確；

在三棱錐尸—COM中，CO1平面OMF,由于CO為定值，AOMF的面積不為定值，所

以三棱錐F-COM體積不為定值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查正弦，余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查三角函數(shù)的周期性以及學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，

屬于中檔題.

由已知推出三角形PMN的高為式的等腰直角三角形，進(jìn)而求出函數(shù)的周期以及3的值,

也即可求出三角形PMN的面積，再由已知x的范圍判斷選項(xiàng)C,。是否正確即可.

【解答】

解：由sin(o)x+3)=cos(a>x+<p)可得3X+8=3+k兀(kGZ),

而sinQ+kn)=±y(fceZ),

因?yàn)楫?dāng)xG[0,竽]時(shí)，函數(shù)y=sin(&)x+tp)與y=cos(cox+(p)(a)>0,\cp\<)的圖象恰

有三個(gè)交點(diǎn)P、M、N,且APMN是直角三角形，

則三角形PMN的高為或，且是等腰直角三角形，

所以斜邊長(zhǎng)為2&,即周期7=2魚(yú)，所以/=2/，解得3=4兀，故8正確；

三角形PMN的面積為S=：xV^x2魚(yú)=2,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)％6[0,嗡時(shí)，3X+”即號(hào)+?,由正弦，余弦函數(shù)的圖象可得：

一斗<0號(hào)且詈S季+@〈等，又⑼<某所以苗],故。正確;

137T

因?yàn)?X+W<當(dāng)，所以?xún)珊瘮?shù)的圖象在x=H處不可能有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.

丁4O)

故選：BD.

13.【答案】Y

【解析】解：因?yàn)?0為銳角，則a+/?W(0,7T),

則由已知可得cosa=71-sin2a=詈，

sin(a+S)=Jl-cos2(a+0)=等，

所以sin(2a+0)=sin[a+(a+/?)]=sinacos(a+/?)+cosasin(a+/?)

3V10、//Vs.,Vio2V5V2

=-X<-T)+^XV=-^

故答案為：一條

第10頁(yè)，共18頁(yè)

先求出a+0的范圍，然后根據(jù)正余弦的同角關(guān)系求出cosa,sin(a+￡)的值，然后根據(jù)

正弦的和角公式化簡(jiǎn)即可求解.

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)的公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

14.【答案】V6

【解析】解：由題意可知點(diǎn)M(2,—3,—5),點(diǎn)Q(L—2,-3),

線(xiàn)段MQ的長(zhǎng)度為。(2—1)2+(-3+2尸+(—5+3尸=瓜,

故答案為：V6.

根據(jù)題意求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)間距離公式求解.

本題主要考查了空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，以及空間兩點(diǎn)間距離公式，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】g

【解析】解：在正四面體ABCO中，△BCD是正三角形，設(shè)其中心為O,連接4。，OD,

PA,0P,如圖，

則4。1平面BCD,則乙4P。是直線(xiàn)AP與底面BCD所成角，tan^APO=V6,

???。為邊長(zhǎng)為1的正三角形8c。的中心，:=|x'x1=9,

在RtAA。。中，AO=VXD2-0D2==

V6

:.tanz.APO=煞=V6,OP=竿=唬=

???0到正三角形BCD的三條功的距離為：x"x1=與且曰＜；,

32663

???點(diǎn)P的軌跡是底面BCD內(nèi)以。為圓心，!為半徑的圓被三角形BCD的三條邊截得的三

段相等的弧，如圖，

D

rV5

?JOE*，ON/，???3田”需=年號(hào),

TT

???(EON=

6

vZ-BOE=/.Z.BON=

36

同理NBOM=A.?.NMON=工，

63

MON=ON-4MON=-x-=-,

339

.??動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)長(zhǎng)度為3標(biāo)麗=3x弓=*

故答案為：j.

取正三角形8。的中心為D,結(jié)合已知條件通過(guò)計(jì)算可得0P=/從而可得點(diǎn)P的軌

跡是底面BCZ）內(nèi)以0為圓心，：為半徑的圓被三角形BCD的三條邊截得的三段相等的

弧，再利用弧長(zhǎng)公式能求出結(jié)果.

本題考查正四面體的結(jié)構(gòu)特征、點(diǎn)的軌跡、弧長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、

運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.【答案】N

佟，當(dāng)

【解析】

【分析】

本題考查空間點(diǎn)線(xiàn)面距離的求法，幾何體的外接球的體積的求法，考查空間想象能力，

轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于較難題.

設(shè)AC中點(diǎn)為0,則0為四面體外接球球心，求出。4=1,即可求解if；作BEJ.4C交

AC于E點(diǎn)，作EFJ.AC,由余弦定理，進(jìn)行求解即可.

【解答】

第12頁(yè)，共18頁(yè)

解：設(shè)AC中點(diǎn)為0,如圖所示,

則。為四面體外接球球心，半徑。4=1,故囁；=^兀；

由矩形ABCD中，AB=V3,BC=1,可得4c=2,

作BEJ.4C交4c于E點(diǎn)，作EFJ.4C,

AB-X.BCV3

可得BE=

2

在RMBCE中，利用勾股定理可得CE=%則4E=|,

且AABEs^CFE,"=生=竺,可得EF=3,CF=宜，

BEAEAB63

故此時(shí)4BEF=6,由余弦定理求得BF2=EF2+BE2-2EF-BE-cos。,

62

Cf2+8C2-B尸2_同i+cos6)

在^尸中,由余弦定理求得

CBcos4BCF=2CFBC-4

在^BCD中，由余弦定理求得BO?=CD2+BC2-2BC-CDcosZ.BCF=4一|(1+cos。),

根據(jù)eG

即可確定，＜BD＜與士

4除m

小

-一

故答案為:32

17.【答案】解:(1)v2BD=DC,

/.i=|(0C-OF)=|(c-K),

故而=南+麗=方+工(口一尤)=29+工乙

3'733

???點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，

故赤=|(0X+OD)=^a+^b+咨

(2)由題意得：a-c=3x3xcos60°=

a'b=3x2xcos60°=3，

c-b=3x2xcos60°=3,

故元=c-a,

故OE,AC-Hc),(c—3)

1—?21T21—T1—T

=--a+-c-i--a-c+-b-c--b-a

26333

111911

=--x9+-x9+-x-+-x3--x3

263233

3

=------

2

【解析】(1)根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)求出示=15+^+)；

236

(2)AC=c-a,根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)代入計(jì)算即可.

本題考查了向量的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題.

18.【答案】解：(1)以4為原點(diǎn)，AB、AD.AP所在的直線(xiàn)分別為X、＞、z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),P(0,0,遮)，C(2,l,0),D(0,3,0),

PC=(2,1,-V3),AD=(0,3,0),

設(shè)異面直線(xiàn)PC與AD所成角為氏

加rcc。-國(guó)河―3一夜

則C°s9--赤-彳'

故異面直線(xiàn)PC與AD所成角的余弦值為

4

(2)由(1)知，PC=(2,1,-A/3),CD=(-2,2,0),AC=(2,1,0)

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),則［記?￡￡=2x+y-低=0,

{n?CD=-2x+2y=0

令x=l,則y=l,z=V3,An=(1,1,V3),

二點(diǎn)A到平面PCD的距離d=噂=在等=畔.

|n|VS5

【解析】(1)以4為原點(diǎn)，A3、A。、AP所在的直線(xiàn)分別為x、y、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，寫(xiě)出A、P、C、。的坐標(biāo)，設(shè)異面直線(xiàn)PC與AO所成角為9,由cos。=黑魯，

\PC\-\AD\

即可得解；

(2)根據(jù)法向量的性質(zhì)求得平面PCD的法向量血再由d=鬻即可得解.

本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，掌握利用空間向量處理異面直線(xiàn)夾角和點(diǎn)到平

面距離的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于

中檔題.

19.【答案】解:(1)若選①，由已知得siMB+si/C—siM/=sinBsinC,

故由正弦定理得垓+c2-小="

由余弦定理得cos4=警產(chǎn)=i

2bc2

因?yàn)椤＃糀＜180",

所以2=60°.

第14頁(yè)，共18頁(yè)

若選②，因?yàn)閟in?=與立，

44

由二倍角公式可得cos3=1—2sin2-=—,可得cos/=2cos2--1=L

24222

因?yàn)?。V4V180°,

所以4=60°.

若選③，由題設(shè)及正弦定理得sinBsin=sinAsinB,

因?yàn)閟inBH0,所以sin=sin>l,

由/+8+C=180°,可得sin=cosp

故cos-=2sin-cos-,

222

因?yàn)閏os［H0,

故sing=

22

因?yàn)?。VAV180°,

因此4=60°.

(2)由己知，當(dāng)^4BC有且只有一解時(shí),？nsing=遮或0VmW百，

???m￡(0,V5］U{2},

①當(dāng)m=2時(shí)，△ABC為直角三角形,S=/l?遍=?；

②當(dāng)0VmW百時(shí)，

va=y/3,A=p

由余弦定理可得小=ft2+c2-2bccosA>2bc-be=be,

??.be<3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，

二三角形面積為S=^-besinA<—,

24

48c面積的最大值Smax=乎.

【解析】(1)若選①，由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得反+。2-=兒，由余弦定理可得

COSA的值，結(jié)合0。<4<180。，可得A的值；

若選②，由已知利用二倍角公式可得cosA的值，結(jié)合0。<A<180。，可得A的值；

若選③，由題設(shè)及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求sinT=?進(jìn)而可求A的值.

(2)由題意可得當(dāng)△48c有且只有一解時(shí),?nsing=V5或0<m￡8，可得mG

(0,遮］11{2},分類(lèi)討論，利用三角形的面積公式，余弦定理即可求解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式，三角函數(shù)恒等變換，三角形的面積

公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴由題意得/'(無(wú))=4sin等cos等+1=2sin3%+1,

又3>0,得y=/(x)的最小正周期為7=手

由正弦函數(shù)的性質(zhì)，［―事,：］是函數(shù)f(x)=2singx+1的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2sin3x+1在［一,弓］上單調(diào)遞增，

(_3_V_三

則/314,解得0<3士|.

,2—3-N—43

(2)由(1)得/(x)=2sino)x+1,

將函數(shù)y=f(x)圖像向左平移g個(gè)單位，

得到函數(shù)g(x)=2sin(a)x4-^o>)+1的圖像，

???g(x)的圖像過(guò)P(±l),

???gg)=2sin(*3+合3)+1=1'Asinto=0,

?t?-a)=kn,fcGZ,???3=2/c,kEZ,

2

0V3V4,CD—2?

???g(x)=2sin(2x+爭(zhēng)+1,

??—H勺,2#+等嗚，也，

???g(x)e［2,3］,

令1=g(x)G［2,3］,參變分離得m>t一：在［2,3］恒成立，

令/i(t)=t-1,則函數(shù)九(t)在［2,3］上遞增，

當(dāng)t=3時(shí),/l(t)max=3-1=p"m-1

【解析】本題考查函數(shù)y=4sin(a)x+欠)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)

用，屬于中檔題.

(1)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出一個(gè)遞增區(qū)間［一/，勺，再利用子集列出不等式組即可;

(2)利用三角變換得到g(x)=2sin(3x+T3)+l,再求出3=2,再利用正弦函數(shù)的圖

象與性質(zhì)求出g(x)e［2,3］,最后換元利用分參求最值即可.

21.【答案】解：(1)連接2E、FH,交于0點(diǎn)，連接0A,四棱錐4一BFEH的高為A0,

四棱錐A-BFEH的體積為U-SBFEH-AO=|a2-Ja2-(^)2=等，

取PT中點(diǎn)N,連接NQ、NR,由NQ1P7,NR1PT,

三棱錐Q-P7R的體積為？=i.SANQR?PT=9?a?J(^)2-?a=等，

第16頁(yè)，共18頁(yè)

所以新多面體的體積為2U+7=2.學(xué)+等=噂.

6121Z

(2)取Ef1中點(diǎn)M連接4M、MC.M0,

設(shè)44Mo=6,cos。=—=-1-=—

力M叵3

2

由幾何體特征知，EF1MA,EF1MC,

二面角4-EF-C的平面角為44MC=26,

cos20=2cos20-1=

3

因?yàn)槎娼?-BF-C與二面角4-EF-C相等，

所以二面角A-BF-C的余弦值為一去

(3)新多面體為7面體，證明如下：

取A尸中點(diǎn)“，連接E”、BH,0H,

\[2ar

設(shè)N°HE=y,siny=