學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第18講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式1。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1)平方關(guān)系：.

(2)商數(shù)關(guān)系：。

2。誘導(dǎo)公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α+2kπ（k∈Z）π+α-απ—απ2π2正弦sinα

sinαcosαcosα余弦cosα

cosα

sinα

正切tanα

—tanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變,符號(hào)看象限記憶規(guī)律奇變偶不變,符號(hào)看象限常用結(jié)論1。sin(kπ+α）=（—1）ksinα.2。在△ABC中:（1）sin（A+B）=sinC，cos(A+B）=-cosC,tan(A+B）=-tanC；（2）sinA+B2=cosC2,cosA+題組一常識(shí)題1.［教材改編］已知cosα=1213,且α是第四象限角,則sinα的值為2。［教材改編］已知sinα-2cosα3sinα+5cosα=—3.[教材改編］已知sinα=33，則cos3π2+4.[教材改編]求值：sin(—1200°)·cos1290°=.

題組二常錯(cuò)題◆索引:平方關(guān)系沒有考慮角的象限導(dǎo)致出錯(cuò)；擴(kuò)大角的范圍導(dǎo)致出錯(cuò);不會(huì)運(yùn)用消元的思想；kπ±α的形式?jīng)]有把k按奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)致出錯(cuò).5.已知△ABC中，cosAsinA=—125，則cos6.已知cos32π+α=-35,且α是第四象限角,則cos（-3π+α)=。

7.已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5，則sin2α—8。已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(k探究點(diǎn)一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式例1(1）［2018·遵義聯(lián)考］若sinπ2+α=-35，則cos(2π-α）A。—35 B。C.—45 D.(2）[2018·桂林模擬]已知f（α）=sin(π-α)cos(2πA。12 B.C.-12 D。—

[總結(jié)反思］(1）已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解。轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”的應(yīng)用。（2)對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡或求值時(shí),要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.特別要注意每一個(gè)角所在的象限,防止符號(hào)及三角函數(shù)名出錯(cuò)。變式題(1)[2018·廣東名校聯(lián)考］若cosα+π6=45,則sinα-π3=A。45 B。C。-35 D。-（2）［2018·江西六校聯(lián)考］若點(diǎn)(a,32)在函數(shù)y=2x的圖像上，則tanaπ3的值為 （A。3 B.3C.—3 D。-3探究點(diǎn)二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系微點(diǎn)1切弦互化例2(1)［2018·南充模擬]已知tanα=2，則sinα+cosαsinA。-3 B.3 C.13 D.—（2）［2018·貴陽模擬］已知sin（π—α）=—23，且α∈-π2,0，則tan(2π-αA.255 BC。52 D。-

[總結(jié)反思］(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的功能是根據(jù)角的一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值，主要利用商數(shù)關(guān)系sinαcosα=tanα和平方關(guān)系1=sin2α+cos2α；(2）在弦切互化時(shí),要注意判斷角所在的象限微點(diǎn)2“1"的變換例3(1)[2018·廣東六校三聯(lián)］已知sinπ2+θ+3cos（π—θ)=sin(—θ），則sinθcosθ+cos2θ= (）A。15 B.C。35 D.（2)[2018·武漢調(diào)研］已知sinαcosα=310，則tanα=

[總結(jié)反思］對(duì)于含有sin2x,cos2x，sinxcosx的三角函數(shù)求值問題，一般可以考慮添加分母1,再將1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，從而求解.微點(diǎn)3和積轉(zhuǎn)換例4[2018·濰坊模擬]若α∈(0，π)，sin(π—α）+cosα=23，則sinα—cosα的值為 (A。23 B?！狢.43 D。—

[總結(jié)反思］對(duì)于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα）2=1±2sinαcosα可以達(dá)到轉(zhuǎn)換、知一求二的目的。應(yīng)用演練1?！疚Ⅻc(diǎn)1】［2018·南昌模擬]已知sinθ=13,θ∈π2,π,則tanA.-2 B.—2 C。-22 D。-2.【微點(diǎn)1】已知tanx=-125,x∈π2,π，則cos—x+3π2=A.513 B?！?C。1213 D.-3.【微點(diǎn)2】［2018·遵義模擬］若點(diǎn)(2，tanθ）在直線y=2x-1上,則sinθcosθ1A.2 B。3 C。4 D。64?！疚Ⅻc(diǎn)3】若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的兩根,則m的值為.

第18講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式考試說明1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1,sinxcosx=2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1。（1)sin2α+cos2α=1(2）sinαcosα=tanα，α≠kπ+π22.—sinα-sinα—cosα—cosα-sinαtanα-tanα對(duì)點(diǎn)演練1。—513[解析]由于α是第四象限角,故sinα=-1-co2.-2316[解析]由sinα-2cosα3sinα+5cosα=-5，知cosα≠0,等式左邊分子分母同時(shí)除以cosα,可得3。33［解析］cos3π2+α=cosπ+π2+α=—4.34[解析]原式=—sin（120°+3×360°）cos（210°+3×360°）=-sin120°·cos210°=-sin（180°—60°)·cos(180°+30°)=sin60°·cos30°=32×325?！?213［解析］∵cosAsinA=-125,∴sinA=—512cosA,∵A為△ABC的內(nèi)角,∴sinA>0,∴cosA〈0。又sin2A+cos2A=1,6.—45[解析]cos32π+α=sinα=—35,且α是第四象限角，所以cosα=45，所以cos(—3π+α)=-cosα=-7。25[解析]由sinα+3cosα3cosα-sinα=5，知cosα≠0,等式左邊分子分母同時(shí)除以cosα，得tanα+33-tanα=5，得tanα=2，所以8。｛2,-2｝［解析]當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),A=sinαsinα+cosαcosα=2;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),A=【課堂考點(diǎn)探究】例1［思路點(diǎn)撥］(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算;（2)根據(jù)誘導(dǎo)公式整理函數(shù)f(α)，再將α=—8π3代入求值(1）A(2）B［解析］(1）∵sinπ2+α=cosα=-35,∴cos（2π—α）=cosα=-3（2)由題可知,f（α)=sinαcosα-cos則f-8π3=-sin-8π3=sin8π3=sin2π+2π3=sin2π變式題（1)D（2)C［解析](1）∵cosα+π6∴sinα-π3=sinα+π6-π2（2）∵點(diǎn)(a,32）在函數(shù)y=2x的圖像上,∴32=2a，∴a=5,則tanaπ3=tan5π3=tan2π-π3故選C。例2[思路點(diǎn)撥］(1）利用sinαcosα=tanα直接將待求式轉(zhuǎn)化成只含tanα的式子,再求值;（2）由題設(shè)條件可得sinα，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得cosα，tanα(1)A(2)A[解析]（1）∵tanα=2,∴cosα≠0,∴sinα+cosαsinα-3cosα=tan(2）∵sin（π—α)=—23，∴sinα=—2又∵α∈-π2,0，∴cosα=1-sin2α=5∵tan(2π—α）=-tanα，∴tan（2π—α）=255.故選例3［思路點(diǎn)撥］(1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及已知等式得出tanθ,將待求式添加分母1（利用1=sin2α+cos2α），轉(zhuǎn)化為含tanθ的式子，代入求值;(2)sinαcosα可變形為sinαcosα1,利用1=sin2α+cos2α,從而把已知等式化為關(guān)于tanα的等式，解出tan(1）C(2）3或13［解析](1）由sinπ2+θ+3cos(π—θ)=sin（—θ),得cosθ—3cosθ=-sinθ，所以所以sinθcosθ+cos2θ=sinθcosθ+cos2θsi（2）由題可知,sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan例4［思路點(diǎn)撥］根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,得2sinαcosα=-79<0,進(jìn)而求得(sinα—cosα)2=169,C［解析]由誘導(dǎo)公式得sin（π—α）+cosα=sinα+cosα=23，兩邊平方得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=29,則2sinαcosα=—7所以（sinα-cosα）2=1—2sinαcosα=169又因?yàn)棣痢剩?,π），sinαcosα〈0，所以sinα-cosα>0，所以sinα—cosα=43,故選C應(yīng)用演練1.D[解析]∵sinθ=13，θ∈π2,π,∴cosθ=—1-sin2θ=-223,則tan2.D[解析]∵tanx=-125，x∈π2,π，∴sinx=1213,∴cos-x3.B[解析］由題意知,tanθ=4-1=3,∴sinθcosθ1-sin2θ=4。1—5[解析]由題意知sinθ+cosθ=-m2,sinθcosθ=m4,又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,所以m24=1+m2,解得m=1±5。又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4，所以【備選理由】例1進(jìn)一步考查利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡與求值；例2考查弦切互化，是平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用;例3結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出tanα,再巧妙使用sin2α+cos2α=1代換求值;例4考查sinα+cosα與sinα-cosα之間的轉(zhuǎn)換,對(duì)于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個(gè)式子,利用（sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二.例1［配合例1使用］已知cosα=45，則sin(α[答案]-15［解析]因?yàn)閏osα=45，所以sin(α-π)-2cosπ2例2[配合例2使用]［2018·黃山一模］已知α∈R,sinα+2cosα=102，則tanα=［答案］3或—1［解析］∵sinα+2cosα=102，sin2α+cos2α=∴（sinα+2cosα）2=sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52∴1+3cos2α+4sinαcosα=52,即3cos2α+4sinαcosα=32,∴3cos∴3+4tanαtan2α+1=32，解得tan例3[配合例3使用］［2018·重慶調(diào)研］若曲線f（x）=lnx—1x在點(diǎn)（1,f(1）)處的切線的傾斜角為α，則1sinα［答案］5［解析］因?yàn)閒(x)=lnx-1x所以f'(x）=1x+1x2,所以f'（1)=2，則tan所以1sinαcosα-cos2α例4［配合例4使用][2018·衡水武邑中學(xué)月考]已知-π2<α〈0,sinα+cosα=15,則1cosA。75 B。C.725