第2課時離散型隨機變量的方差課標解讀課標要求素養(yǎng)要求1.理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.學握方差的性質以及兩點分布、二項分布的方差.3.會用方差解決-些簡單的實際問題1.數學抽象—能理解離散型隨機變量的方差、標準差的概念及其性質、掌握特殊分布的方差.2.數學運算—能借助方差的性質及兩點分布、二項分布的方差解決一些簡單的實際問題自主學習·必備知識教材研習教材原句要點一離散型隨機變量的方差與標準差（1）定義：如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xxx?x?xPpp?p?p因為X的均值為E(X)，所以D(X)=①[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+?+[xn（2）意義：方差和標準差均刻畫一個離散型隨機變量的離散程度（或波動大?。?（3）性質：若X與Y都是隨機變量，且Y=aX+b(a≠0)，則D(Y)=④a2要點二兩點分布及二項分布的方差（1）若隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則D(X)=⑤p(1-p).（2）若隨機變量X～B(n,p)，則D(X)=⑥np(1-p).自主思考1.如何刻畫一個隨機變量的離散程度?答案：提示方差（標準差）越大，越離散，方差（標準差）越小，越集中.2.兩點分布與二項分布的方差間存在怎樣的聯(lián)系?答案：提示由于兩點分布是特殊的二項分布，故兩者之間是特殊與一般的關系.即若X～B(n,p)，則D(X)=np(1-p)，取n=1，則D(X)=p(1-p)就是兩點分布的方差.名師點睛1.求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法（1）已知分布列型（非兩點分布和二項分布）：直接利用定義求解，具體如下，①求均值；②求方差.（2）若X服從兩點分布，則D(X)=p(1-p)；若X～B(n,p），則D(X)=np(1-p).（3）未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后求方差.（4）對于已知D(X)求D(aX+b)型，利用方差的性質求解，即利用D(aX+b)=a2D(X)2.解答離散型隨機變量的實際應用問題的關注點（1）分析題目背景，根據實際情況抽象出概率模型，特別注意隨機變量的取值及其實際意義.（2）弄清實際問題是求均值還是求方差，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高，若平均水平相同或接近，再計算方差，分析誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.因此，在一般情況下，利用均值和方差的意義去分析解決實際問題時，兩者都要分析.互動探究·關鍵能力探究點一離散型隨機變量的方差精講精練例袋中有20個大小相同的球，其中標號為0的有10個，標號為n的有n個(n=1,2,3,4).現從袋中任取一球，X表示所取球的標號.（1）求X的分布列、均值和方差；（2）若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11，試求a,b的值.答案：（1）易得X的分布列為X01234P11131答案：∴E(X)=0×1D(X)=(0-1.5)（2）由D(Y)=a又E(Y)=aE(X)+b，∴當a=2時，1=2×1.5+b，解得b=-2；當a=-2時，由1=-2×1.5+b，解得b=4，∴{a=2,b=-2解題感悟1.求離散型隨機變量X的方差的基本步驟：2.對于變量間存在關系的隨機變量的方差，在求解過程中應注意方差性質的應用，如D(aξ+b)=a2D(ξ)，這樣處理既避免了求隨機變量η=aξ+b遷移應用1.已知隨機變量X的分布列為X123Pxy若E(X)=158，則D(X)A.3364B.5564C.7答案：B解析：由分布列的性質得x+y=0.5，又E(X)=158，所以2x+3y=118，所以x=2.已知X的分布列如下.X-101P11a（1）求X2（2）求X的方差；（3）若Y=4X+3，求Y的均值和方差.答案：（1）由分布列的性質，知12+14+a=1，故a=X01P13答案：（2）由（1）知a=14，所以（3）E(Y)=4E(X)+3=4×(-14)+3=2探究點二兩點分布、二項分布的方差自測自評1.設一隨機試驗的結果只有A和Aˉ，且P(A)=m，令隨機變量ξ={1,A發(fā)生,0,A不發(fā)生,則A.mB.2m(1-m)C.m(m-1)D.m(1-m)答案：D解析：隨機變量ξ的分布列為ξ01P1-mm解析：∴E(ξ)=0×(1-m)+1×m=m，∴D(ξ)=(0-m)2.若隨機變量X～B(3,p)，D(X)=23，則答案：13或解析：∵X～B(3,p)，∴D(X)=3p(1-p)，∴3p(1-p)=23，解得p=133.某出租車司機從某飯店到火車站途中需經過六個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率均是13（1）求這位司機遇到紅燈的次數X的均值與方差；（2）若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機總共等待的時間Y（單位：秒）的均值與方差.答案：（1）由題意知X～B(6,13∴E(X)=6×1（2）由已知得Y=30X，∴E(Y)=30E(X)=60,D(Y)=900D(X)=1200.解題感悟1.如果隨機變量X服從兩點分布，那么其方差D(X）=p(1-p)（p2.如果隨機變量X服從二項分布，即X～B（n，p），那么方差D(X）=np(1-p)探究點三期望、方差的綜合應用精講精練例甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ,η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.（1）求ξ,η的分布列；（2）求ξ,η的數學期望與方差，并以此比較甲、乙兩名射手的射擊技術.答案：（1）由題意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1.因為乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為，所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987Pη10987P答案：（2）由（1）得：E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2；E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7；D(ξ)=(10-9.2)2D(η)=(10-8.7)E(ξ)＞E(η),D(ξ)＜解題感悟利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟1.比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，要先計算均值，看一下誰的平均水平高.2.在均值相等或相近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動（集中與離散）的程度.通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3.下結論.依據方差的實際意義給出結論.遷移應用1.甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有大致相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數量也大致相等.兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)現違反保護條例的事件次數的分布列分別為甲保護區(qū)：X0123P乙保護區(qū)：Y012P試評定這兩個保護區(qū)的管理水平.答案：甲保護區(qū)的違規(guī)次數X的數學期望和方差分別為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3；D(X)=(0-1.3)乙保護區(qū)的違規(guī)次數Y的數學期望和方差分別為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3；D(Y)=(0-1.3)因為E(X)=E(Y),D(X)＞D(Y)評價檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.設隨機變量ξ的方差D(ξ)=1，則D(2ξ+1)的值為()答案：C解析：D(2ξ+1)=4D(ξ)=4×1=4，故選C.2.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設摸得的白球個數為X，已知E(X)=3，則D(X)=()A.85B.65C.4答案：B解析：由題意，X～B(5,3m+3),∴E(X)=5×3m+3=3，∴m=23.若隨機變量ξ～B(4,12)答案：1解析：∵ξ～B(4,14.已知隨機變量X的分布列為X135P則X的標準差為.答案：89解析：E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2，∴D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)素養(yǎng)演練數學運算——判斷期望、方差的大?。ɑ蜃兓厔荩?.（2020山東濰坊高密一中高二模擬）已知隨機變量ξ滿足P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p，其中0＜p＜1.令隨機變量A.E(η)＞E(ξ)C.D(η)＞D(ξ)答案：D解析：解法一：隨機變量ξ滿足P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p，其中0＜p＜1ξ01P1-pp解析：所以E(ξ)=p,D(ξ)=p(1-p)，又隨機變量η=|ξ-E(ξ)|，所以當ξ=0時，η=|ξ-E(ξ)|=p，當ξ=1時，η=|ξ-E(ξ)|=1-p，所以隨機變量η=|ξ-E(ξ)|的分布列如下表所示（當p=0.5時，η只有一種情況，概率為1）：ηp1-pP1-pp解析：則E(η)=p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p)，D(η)=[p-2p(1-p)]2當E(ξ)=E(η)，即p=2p(1-p)時，解得p=12，所以A、BD(ξ)-D(η)=p(1-p)-p(1-p)(2p-1)2=4p2(1-p)解法二：（代特殊值）令p=0.5（極端與對稱思想），則隨機變量ξ的分布列為ξ01P解析：所以E(ξ)=0.5,D(ξ)=0.25，隨機變量η=|ξ-E(ξ)|的分布列為ηP1解析：所以E(η)=0.5,D(η)=0，故選D.素養(yǎng)探究：判斷期望、方差大小的題目，可以直接利用定義求出期望、方差，再比較大小，或者通過特殊值法驗證判斷.遷移應用1.（2020河北石家莊高二抽測）有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有1個紅球，乙盒子里有3個紅球和3個黑球，現從乙盒子里隨機取出n(1≤n≤6,n∈N*)個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為ξ，則隨著n(1≤n≤6,n∈A.E(ξ)增加，D(ξ)增加B.E(ξ)