隨機(jī)變量的數(shù)字特征第1課時離散型隨機(jī)變量的均值1.離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義:一般地,如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示:必備知識·素養(yǎng)奠基Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱E(X)=_________________________為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望).x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi(2)意義:它刻畫了離散型隨機(jī)變量X的_________.(3)性質(zhì):如果X和Y都是隨機(jī)變量,且Y=aX+b(a≠0),則E(Y)=E(aX+b)=________.平均取值aE(X)+b【思考】離散型隨機(jī)變量的均值和樣本的平均數(shù)相同嗎?提示:不相同.離散型隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均數(shù)是一個隨機(jī)變量,它隨樣本的不同而變化.

2.常見的幾種分布的數(shù)學(xué)期望名稱兩點分布二項分布超幾何分布公式E(X)=__E(X)=___E(X)=_____pnp【基礎(chǔ)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個隨機(jī)數(shù)值. ()(2)隨機(jī)變量的均值相同,則兩個分布也一定相同. ()(3)若X服從兩點分布,則E(X)=np.()提示:(1)×.離散型隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù),它不具有隨機(jī)性.(2)×.兩個隨機(jī)變量的分布相同,則它們的均值一定相同;反之不一定成立.(3)×.若X服從兩點分布,則E(X)=p.2.若隨機(jī)變量X的分布列為則E(X)= ()A.0 B.-1 C.- D.-【解析】選C.E(X)=(-1)×+0×+1×=-.3.設(shè)E(X)=10,則E(3X+5)=________.

【解析】E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.答案:35關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一離散型隨機(jī)變量的均值公式及性質(zhì)【典例】已知隨機(jī)變量X的分布列如表:(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).【思維·引】(1)利用分布列的性質(zhì)求解;(2)利用均值的公式求解;(3)利用均值的性質(zhì)求解.【解析】(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得解得m=.(2)E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×【類題·通】對于aX+b型的隨機(jī)變量求均值的方法(1)利用均值的性質(zhì)求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;(2)先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解.【習(xí)練·破】1.(2020·浙江高考)一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球,每次拿一個,不放回,拿出紅球即停,設(shè)拿出黃球的個數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=________;E(ξ)=________.

【解析】由題知,隨機(jī)取出紅球的概率為,隨機(jī)取出綠球的概率為,隨機(jī)取出黃球的概率為,ξ的取值情況共有0,1,2,P(ξ=0)=P(ξ=1)=P(ξ=2)=所以E(ξ)=1×答案:12.已知隨機(jī)變量X的分布列如表:若ξ=aX+3,且E(ξ)=5,則a的值為________.

【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得++m=1,解得m=E(X)=(-1)×+0×+1×=.因為E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=a+3=5,所以a=15.答案:15類型二求常見的幾種分布的均值角度1兩點分布與二項分布的均值【典例】某運(yùn)動員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次時命中次數(shù)X的均值;(2)求重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)Y的均值.【思維·引】(1)利用兩點分布求解.(2)利用二項分布的均值公式求解.【解析】(1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如表:X01P0.40.6則E(X)=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即Y～B(5,0.6),則E(Y)=np=5×0.6=3.【素養(yǎng)·探】★本例考查求兩點分布與二項分布的均值,同時考查了數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本例題干不變,(2)改為“重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)為Y,命中一次得3分”,求5次投籃得分的均值.【解析】由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即Y～B(5,0.6),則E(Y)=np=5×0.6=3.設(shè)投籃得分為變量η,則η=3Y.所以E(η)=E(3Y)=3E(Y)=3×3=9.角度2求超幾何分布的均值【典例】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取2件,用X表示取到次品的個數(shù),則E(X)等于 ()

【思維·引】先確定分布類型,可以求出分布列后再求均值,也可以直接利用超幾何分布的均值公式求解.【解析】選A.方法一:P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以E(X)=1×方法二:由題意知X服從N=10,M=3,n=2的超幾何分布,則E(X)=【類題·通】求常見的幾種分布的均值的關(guān)注點(1)關(guān)鍵:根據(jù)題意準(zhǔn)確判斷分布類型;(2)計算:若題中離散型隨機(jī)變量符合兩點分布、二項分布、超幾何分布,可直接代入公式求得期望.【習(xí)練·破】盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池,其中混有2節(jié)廢電池.(1)若無放回地每次取一節(jié)電池檢驗,直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及期望;(2)若有放回地每次取一節(jié)電池檢驗,求檢驗4次取到好電池次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)由題意,X可取的值為1,2,3,則P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=抽取次數(shù)X的分布列為E(X)=1×+2×+3×=1.5.(2)由題意,每次檢驗取到好電池的概率均為,故Y～B,則E(X)=4×【加練·固】已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機(jī)會均等)3個球,記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)求X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).【解析】(1)由題意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=,P(X=4)=P(X=5)=,P(X=6)=所以X的分布列為(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=.類型三均值的實際應(yīng)用【典例】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì),基地收益如表所示:周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無雨時收益為20萬元;有雨時收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請說明理由.【思維·引】(1)先列出基地收益X的分布列,再求基地收益X的均值即可;(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y萬元,求出Y的均值,與X的均值比較即可.【解析】(1)設(shè)下周一無雨的概率為p,由題意知,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5,則P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,所以基地收益X的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的預(yù)期收益為萬元.(2)設(shè)基地額外聘請工人時的收益為Y萬元,則其預(yù)期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(萬元),E(Y)-E(X)=1.6-a,綜上,當(dāng)額外聘請工人的成本高于萬元時,不外聘工人;成本低于萬元時,外聘工人;成本恰為萬元時,是否外聘工人均可以.【內(nèi)化·悟】想一想,現(xiàn)實生活中的哪些問題可以用期望進(jìn)行估計?提示:均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如對體育比賽的成績預(yù)測,消費(fèi)預(yù)測,工程方案的預(yù)測,產(chǎn)品合格率的預(yù)測,投資收益的預(yù)測等方面,都可以通過隨機(jī)變量的期望來進(jìn)行估計.【類題·通】均值實際應(yīng)用問題的解題策略首先應(yīng)把實際問題概率模型化,然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望,并根據(jù)期望的大小作出判斷.【習(xí)練·破】甲、乙兩射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽,射擊相同的次數(shù),已知兩運(yùn)動員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán).將他們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示.(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙=8),以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率;(2)根據(jù)這次比賽的成績估計甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大).【解析】(1)由題圖乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15,P(X甲=9)=0.3,所以P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65.(2)因為E(X甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,E(X乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,則有E(X甲)>E(X乙),所以估計甲的水平更高.【加練·固】購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi)a元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.999.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p;(2)設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位:元).【解析】各投保人是否出險相互獨立,且出險的概率都是p,記投保的10000人中出險的人數(shù)為ξ,則ξ～B(104,p).(1)記A表示事件:保險公司為該險種至少支付10000元賠償金,則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ=0,P(A)=1-P()=1-P(ξ=0)=1-(1-p),又P(A)=1-0.999,故p=0.001.(2)該險種總收入為104a元,支出是賠償金總額與成本的和.支出:104ξ+5×104,盈利:η=104a-(104ξ+5×104),由ξ～B(104,10-3),知E(ξ)=10,E(η)=104a-104E(ξ)-5×104=104a-105-5×104.由E(η)≥0?104a-105-5×104≥0?a-10-5≥0?a≥15.故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若隨機(jī)變量X～B(5,0.8),則E(X)的值為()【解析】選B.因為X～B(5,0.8),所以E(X)=5×0.8=4.2.若隨機(jī)變量X～H(8,2,3),則E(X)的值為()A. B. C. D.無法確定【解析】選C.因為X～H(8,2,3),所以E(X)=3.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為()則X的數(shù)學(xué)期望E(X)= ()或 【解析】選C.因為分布列中概率和為1,所以=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=