立體幾何——二面角問題方法歸納本頁(yè)僅作為文檔封面，使用時(shí)可以刪除Thisdocumentisforreferenceonly-rar21year.March二面角的求法一、定義法：1〔全國(guó)卷Ⅰ理〕S1〔全國(guó)卷Ⅰ理〕SABCDABCDSDABCDAD2MSCABM=60°〔I〕證明：MSC的中點(diǎn)〔II〕SAMB的大小。2練習(xí)1〔山東〕如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，ABC60,E，F(xiàn)BCPC的中點(diǎn).〔Ⅰ〕證明：AE⊥PD;〔Ⅱ〕HPD上的動(dòng)6點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為6

2，求二面角E—AF—C的余弦值.二、三垂線法P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。E、FAD、AA、AB的中點(diǎn)。11DC(1)證明：直線EE1//平面FCC1；(2)求二面角B-FC1-CE、FAD、AA、AB的中點(diǎn)。11DC(1)證明：直線EE1//平面FCC1；(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。 ABEDCE2〔天津〕PABCD中，底面ABCD是矩形．AFB〔Ⅰ〕證明AD平面PAB；〔Ⅱ〕求異面直線PC與AD所成的角的大??；〔Ⅲ〕PBDA的大小．AB3,〔Ⅰ〕證明AD平面PAB；〔Ⅱ〕求異面直線PC與AD所成的角的大小；〔Ⅲ〕PBDA的大小．三．補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線〔稱為補(bǔ)棱〕，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決P3〔湖南〕P-ABCDABCD1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PAABCD，PA＝2.P〔Ⅰ〕PBEPAB;〔Ⅱ〕PADPBE所成二面角〔銳角〕的大小.D ECAB3ABC—A1B1C1a600BCC1B1⊥底面ABC。AB1C1ABC所成的二面角〔銳角〕的大小。2

scos 射影S 〕凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式S〔cosS射〕求出二面角的大小。斜例4．〔北京理〕PABCACBC2ACB90，APBPAB，PCAC． P〔Ⅰ〕PCAB；〔Ⅱ〕BAPC的大??；A BCCC1AB1EA1B1C1D1所成銳角的余弦值.D CA B ED CA B圖五、向量法1AF=AB=BC=FE=2AD(II)AMDCDE；A-CD-E的余弦值。1AF=AB=BC=FE=2AD(II)AMDCDE；A-CD-E的余弦值。練習(xí)5、〔湖北〕練習(xí)5、〔湖北〕ABCABCABCAABB.〔Ⅰ〕ABBC；11 111〔Ⅱ〕ACABC所成的角為,ABCA的大小為，試推斷與1的大小關(guān)系，并予以證明.13

法 的 歸 類 分 析P小。HP小。HjDBC1在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PAABCD，PA=AB=aB-PC—-D的大二、三垂線法：二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面 Lp 角；例2在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角 P-BC-A的大小。A DB H C知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；3在四棱錐P-ABCD，ABCD，PA⊥ABCD，PA=AB=a，求B-PC-DPHj D

B Cscos 射影S 〕凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式S〔cosS射〕求出二面角的大小，其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；斜4在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PAABCD，PA＝AB＝aPBA與平面PDC所成二面角的大小。五、補(bǔ)棱法:對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延長(zhǎng)兩個(gè)半平面，使之相交消滅棱，然后再選用上述方法〔尤其要考慮射影法〕。5、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PAABCD，PA＝AB＝aPBAPDC所成二面角的大小?！惭a(bǔ)形化為定義法〕PAPADl向量法解立體幾何中是一種格外簡(jiǎn)捷的也是格外傳統(tǒng)的解法，可以說(shuō)全部的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量計(jì)算解題。4例6、〔湖北〕ABCABC

ABCAABB.11 1 1 15〔Ⅰ〕ABBC；〔Ⅱ〕ACABC所成的角為,A

BCA的大小為，試推斷與的大小關(guān)系，并予以證明.1 1由此可見，二面角的類型和求法可用框圖呈現(xiàn)如下：二面角大小的求法答案定義法：本定義為解題供給了添關(guān)心線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一點(diǎn)〔B〕向棱AM作垂線，得垂足〔F〕；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足〔F〕作棱AM的垂線〔如GF〕，這兩條垂線〔BF、GF〕便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1〔2023全國(guó)卷Ⅰ理〕證〔I〕解〔II〕：ABMBBFAMAM于點(diǎn)MSCAM⊥SCGF⊥AM，∴GF∥ASFAM的中點(diǎn)，∴GFAMSG是ASGFB即為所求二面角..∵SM 2，則GF2MSCAM⊥SCGF⊥AM，∴GF∥ASFAM的中點(diǎn)，∴GFAMSG是ASGFB即為所求二面角..∵SM 2，則GF22，又∵SAAC6，∴AM2,GAMAB2ABM600ABMBF3,F在△GAB 中，AG62，AB2，GAB900，∴BG3421121311

SAMB

arccos( 6)cosBFGGF2FB2BG2

2 2 6,∴二面角

的大小為 32GFFB

2 2 3 6 32兩邊SE與SC，進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值?！泊鸢福憾娼堑挠嘞抑禐?55〕二、三垂線法本定理亦供給了另一種添關(guān)心線的一般規(guī)律。如〔例2〕過二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一點(diǎn)B作另一半平面FC兩邊SE與SC，進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。〔答案：二面角的余弦值為155〕二、三垂線法本定理亦供給了另一種添關(guān)心線的一般規(guī)律。如〔例2〕過二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一點(diǎn)B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂PPB，便形成了三垂線定理的根本構(gòu)圖〔斜線PB、垂線BO、射影OP〕。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。AB=4,BC=CD=2,、FAB,BF=BC=CF,△BCF為正三角形,CFO,OB⊥CF,又因ABCD-A1B1C1D1

D C1A F1 B15 E1A

D P E OF B中,CC1ABCD,CC1⊥BO,OBCC1F,過OCC1FOP⊥C1F,垂足為P,BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角,在△BCF為正三角形中,OB 3,在Rt△CCF中,△OPF∽△CCF,∵OP OF∴1 1 1 CCCF11OP12211OP1222222,227

, OPOP2OB2132OP2OB213214

7,所以二面角B-FC1-C的余弦值為 7 .BP 14 72練習(xí)2〔2023天津〕分析：此題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，簡(jiǎn)潔覺察平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)P就是二面角P-BD-A的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過點(diǎn)P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂〔答案：二面角三．補(bǔ)棱法

PBDA

arctan39〕439〕P例3〔2023湖南〕分析：此題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法明顯要補(bǔ)充完整〔AD、BEFPF.〕PF.上找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之?！并瘛匙C略解〔Ⅱ〕AD、BEFPF.過點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由〔Ⅰ〕知,平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，由于∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.Rt△PAFPFGAG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角〔銳角〕.

GFH D ECA

AG

PA222

BRt△PAB中，AH

APABPB

APABAP2AB2

.252 5252 52 55210A2 55210ACBALsinAGH .PBE

所以，在Rt△AHG中，

arcsin

AG 510.105

故平面PAD和平面練習(xí)3提示：此題需要補(bǔ)棱，可過A點(diǎn)作CB的平行線L〔答案：所成的二面角為45O〕s

cos 射影S 〕 C B4．〔2023北京理〕分析：此題要求二面角B—AP—C的大小，假設(shè)利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射

ACBC，APBP，△APC≌△BPC．又PCAC，PCBC．又ACB90，即ACBC，且AC PCC，BC平面PAC．取AP中點(diǎn)E．連結(jié)BE，CE． ABBP，BEAP． EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，CEAP．AB2AE2∴△ACE是△AB2AE2

ABBPAP AC2CB22 ，1 222P1 222P2BE

6，AEEC

則S 2射2

ACE

AECE2

1，EC63S S 1AEEB1 2 EC63原 ABE 2 2 ,3S 1 B33設(shè)二面角BAPC的大小為，則cosS射 3 A3原

BAPC

的大小為

arccos3336：分析A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必需先作兩個(gè)平面的交線，AB1EA1B1C1D1A1B1C1，從而求得兩個(gè)三角形的面積即可求2得二面角的大小?！泊鸢福核蠖娼堑挠嘞抑禐閏osθ=3〕.例4例4：〔009理〕AAB依題意得B0C0，D0，E1，F(xiàn)1M111.，〔I〕F，DE，于是cosBDE2 2BFDEBFDE2 2 .2DE600.〔II〕證明：AM ，，11CEAD0CEAM0，2 2CEAD0.因此，CEAM，CEAD.又AM ADA，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.〔III〕解：設(shè)平面CDE的法向量為u(x，y，z)

uCE， xz于是

u..，則.uE.又由題設(shè)，平面ACD 的一個(gè)法向量為v().

yz0令x練習(xí)5、〔2023湖北〕分析：由條件可知：平面ABB1A1BCC1B1⊥平面ABC于是很簡(jiǎn)潔想到以B點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的向量，先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。

arcsin

a ac a，且 ＜ ,〕a2c2 b a2c2 a2c2擇使用。PAAB PBPD、

AB=AD=a

PAAD PBPD BCDCPBDPDC

,H，連結(jié) ，ABADa PCPC ，DH⊥DH⊥PC 故∠BHD為二面角B-PC-D的平面角因PB=2a,BC=a,PC=311a,2PB·BC=S△PBC=2PC·BHa則BH= 3

BD= 2a,在△BHD

中由余弦定理，得： 6 2

6 2 2 cos∠BHD＝

2a6BH2DH2BD22a6

3

3

B-PC-D的大小是2BHBD

2 a 6a 23 323。2解：〔三垂線法〕如圖 PA⊥平面BD，過A作AH⊥BC于H，連結(jié)PH，則PH⊥BC又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面a Rt△ABH，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=2,在Rt△PHA，tan∠PHA=PA/AH=a2

2，則∠PHA=arctan2.

2a,BC=a,PC=2

1 13解〔垂面法〕如圖 PA⊥平面BDBD⊥ACBD⊥BCBDBDH⊥PCH3解〔垂面法〕如圖 PA⊥平面BDBD⊥ACBD⊥BCBDBDH⊥PCHPC⊥DH、BH∠BHDB-PC-D3a

=DH， 又BD=2aPH2aPHjDPADB lB C 6a2 6a2

a23 3 2在△BHD：cos∠BH