第五章計(jì)數(shù)原理§1基本計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.結(jié)合實(shí)際問題，理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)一、計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1

有一項(xiàng)活動(dòng)，需在3名教師、8名男學(xué)生和5名女學(xué)生中選人參加.（1）若只需1名參加，共有多少種選法？（2）若需教師、男學(xué)生、女學(xué)生各1名參加，共有多少種選法？解（1）只要選出1名就可以完成這件事，而選出的1名有3種不同類型，即教師、男學(xué)生或女學(xué)生，因此要分3類相加：第1類，選出的是教師，有3種選法；第2類，選出的是男學(xué)生，有8種選法；第3類，選出的是女學(xué)生，有5種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N＝3+8+5＝16種選法.（2）完成這件事，需要分別選出1名教師、1名男學(xué)生和1名女學(xué)生，可以先選教師，再選男學(xué)生，最后選女學(xué)生，因此要分3步相乘：第1步，選1名教師，有3種選法；第2步，選1名男學(xué)生，有8種選法；第3步，選1名女學(xué)生，有5種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N＝3×8×5＝120種選法.反思感悟利用基本計(jì)數(shù)原理解決問題的一般步驟

（1）認(rèn)真審題，弄清楚要完成的一件事情是什么.

（2）根據(jù)要完成的一件事情的特點(diǎn)，確定是分類還是分步才能完成這件事情.

（3）確定好分類、分步的標(biāo)準(zhǔn)，弄清楚每一類、每一步中的方法種數(shù).

（4）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理列式求解.1.某教師有相同的語(yǔ)文參考書3本，相同的數(shù)學(xué)參考書4本，從中取出4本贈(zèng)送給4位學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(

)A．20種B．15種C．10種

D．4種B解析

若4本中有3本語(yǔ)文參考書和1本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，若4本中有1本語(yǔ)文參考書和3本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，若4本中有2本語(yǔ)文參考書和2本數(shù)學(xué)參考書，則有6種方法，若4本都是數(shù)學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有4＋4＋6＋1＝15(種).故選B.跟蹤訓(xùn)練

2.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同的選法的種數(shù)是(

)A．56B．65C．30D．11解析

(1)第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有56種不同的選法．故選A.A

3.如圖，A、B、C、D為四個(gè)村莊，要修筑三條公路，將這四個(gè)村莊連起來，則不同的修筑方法共有(

)A．8種B．12種

C.16種

D．20種[解析]

分為以下兩類：第一類，從一個(gè)村莊出發(fā)向其他三個(gè)村莊各修一條路，共有4種方法；第二類，一個(gè)村最多修兩條路，但是像下面這樣的兩個(gè)對(duì)應(yīng)一種修路方法，A－B－C－D，D－C－B－A，要去掉重復(fù)的這樣，因此共有有12種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，知道共有4＋12＝16(種).C4.A與B是I＝{1，2，3，4}的子集，若A∩B＝{1，2}，則稱(A，B)為一個(gè)理想配集，若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)是()A．4

B．8

C．9

D．16[解析]對(duì)子集A分類討論．當(dāng)A是二元集{1，2}，B可以為{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}共4種情況；當(dāng)A是三元集{1，2，3}，B可以取{1，2，4}，{1，2}共有2種情況；當(dāng)A是三元集{1，2，4}，B可以取{1，2，3}，{1，2}，共有2種情況；當(dāng)A是四元集{1，2，3，4}，此時(shí)B為{1，2}有1種情況，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得4＋2＋2＋1＝9(種)，故符合此條件的“理想配集”有9個(gè).C5.現(xiàn)有4種不同顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行涂色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有(

)A．24種B．30種

C．36種

D．48種對(duì)于區(qū)域②，與區(qū)域①相鄰，有3種顏色可選，有3種涂色方法，對(duì)于區(qū)域③，與區(qū)域①②相鄰，有2種顏色可選，有2種涂色方法，對(duì)于區(qū)域④，與區(qū)域②③相鄰，有2種顏色可選，有2種涂色方法，則不同的涂色方法有4×3×2×2＝48(種)；故選D.[解析]根據(jù)題意，設(shè)需要涂色的四個(gè)部分依次分①、②、③、④，對(duì)于區(qū)域①，有4種顏色可選，有4種涂色方法，6.4張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成

個(gè)不同的三位數(shù).

解析

分三個(gè)步驟:第一步:百位可放8-1=7個(gè)數(shù);第二步:十位可放6個(gè)數(shù);第三步:個(gè)位可放4個(gè)數(shù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成N=7×6×4=168個(gè)不同的三位數(shù).1687.如圖所示的電路圖,從A到B共有

條不同的線路可通電.

解析

先分三類.第一類,經(jīng)過支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過支路②有1種方法;第三類,經(jīng)過支路③有2×2=4種方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.88.如圖,一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從頂點(diǎn)A爬到相對(duì)頂點(diǎn)C1,求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條?解

從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過

.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過,有=1×2=2條;第二類:經(jīng)過,有=1×2=2條;第三類:經(jīng)過,有

=1×2=2條.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,從頂點(diǎn)

到頂點(diǎn)

經(jīng)過3條棱的路線共有=2+2+2=6條.

N解

由題意知,有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ),6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ).方法一:分兩類.第一類:從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法,從會(huì)日語(yǔ)的3人中選1人有3種選法.此時(shí)共有6×3=18(種)選法.第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人有2種選法,此時(shí)有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.9.某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門,其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?

隨堂小測(cè)1.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是(

)A．48 B．18C．24 D．36[解析]

分類討論：第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12(個(gè))．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．D隨堂小測(cè)2.如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為____.解析：可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．當(dāng)S、A、B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S、A、B已染好時(shí)，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)．420隨堂小測(cè)3.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是(

)A．60 B．48C．36 D．24解析：長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”個(gè)數(shù)為6×6＝36，另令4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6×2＝12(個(gè))．故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48(個(gè))．B兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.課堂小結(jié)2.區(qū)別

類別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”