考點(diǎn)06不等式與不等式組課標(biāo)對考點(diǎn)的要求對不等式與不等式組問題，中考命題需要滿足下列要求：（1）結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)。（2）能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集。（3）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題。重要問題解題思維方法總結(jié)（1）去分母；（2）去括號；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）系數(shù)化為1.2．一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。3．求不等式組解集的規(guī)律不等式解集在數(shù)軸上的表示方法：含≥或≤，用實(shí)心圓點(diǎn)，含＞或＜用空心圓圈。不等式組的解集有四種情況:若a>b，（1）當(dāng)時(shí),則不等式的公共解集為x>a;（2）時(shí),不等式的公共解集為b<x<a;（3）時(shí),不等式的公共解集為x<b;（4）當(dāng)時(shí),不等式組無解.4.不等式(組)的應(yīng)用(1)列不等式或不等式組解決實(shí)際問題，要注意抓住問題中的一些關(guān)鍵詞語，如“至少”“最多”“超過”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．這些都體現(xiàn)了不等關(guān)系，列不等式時(shí)，要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號．另外，對一些實(shí)際問題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際．(2)列不等式(組)解應(yīng)用題的一般步驟：1)審題；2)設(shè)未知數(shù)；3)找出能夠包含未知數(shù)的不等量關(guān)系；4)列出不等式(組)；5)求出不等式(組)的解；6)在不等式(組)的解中找出符合題意的值；7)寫出答案(包括單位名稱)．中考典例解析【例題1】（2021新疆）不等式2x﹣1＞3的解集是．【答案】x＞2．【解析】移項(xiàng)后合并同類項(xiàng)得出2x＞4，不等式的兩邊都除以2即可求出答案．2x﹣1＞3，移項(xiàng)得：2x＞3+1，合并同類項(xiàng)得：2x＞4，不等式的兩邊都除以2得：x＞2．【例題2】（2021貴州畢節(jié)）x取哪些正整數(shù)值時(shí)，不等式5x+2＞3（x﹣1）與≤都成立？【答案】1、2、3．【解析】根據(jù)題意分別求出每個(gè)不等式解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找，確定兩不等式解集的公共部分，即可得正整數(shù)值．根據(jù)題意解不等式組，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤3，∴﹣＜x≤3，故滿足條件的正整數(shù)有1、2、3．【例題3】（2021貴州銅仁）不等式組的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解兩個(gè)一元一次不等式，再在數(shù)軸上畫出兩個(gè)不等式的解集．解：，解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≥1，如圖，在數(shù)軸上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式組的解集是：1≤x＜3．故選：B．【例題4】（2021呼和浩特）已知關(guān)于x的不等式組無實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣ B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)＞﹣ D．a(chǎn)＞﹣2【答案】D【解析】分別解兩個(gè)不等式，根據(jù)不等式組無實(shí)數(shù)解，得到關(guān)于a的不等式，解之即可．解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，解不等式﹣1≥得：x≥2a+2，∵關(guān)于x的不等式組無實(shí)數(shù)解，∴不等式的解集為2a+2＞﹣2，解得：a＞﹣2．【例題5】（2021福建）某班計(jì)劃購買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊，已知購買1本手繪紀(jì)念冊和4本圖片紀(jì)念冊共需135元，購買5本手繪紀(jì)念冊和2本圖片紀(jì)念冊共需225元．（1）求每本手繪紀(jì)念冊和每本圖片紀(jì)念冊的價(jià)格分別為多少元？（2）該班計(jì)劃購買手繪紀(jì)念冊和圖片紀(jì)念冊共40本，總費(fèi)用不超過1100元，那么最多能購買手繪紀(jì)念冊多少本？【答案】見解析。【解析】（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊的價(jià)格為x元，每本圖片紀(jì)念冊的價(jià)格為y元，根據(jù)“購買1本手繪紀(jì)念冊和4本圖片紀(jì)念冊共需135元，購買5本手繪紀(jì)念冊和2本圖片紀(jì)念冊共需225元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)可以購買手繪紀(jì)念冊m本，則購買圖片紀(jì)念冊（40﹣m）本，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過1100元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊的價(jià)格為x元，每本圖片紀(jì)念冊的價(jià)格為y元，依題意得：，解得：．答：每本手繪紀(jì)念冊的價(jià)格為35元，每本圖片紀(jì)念冊的價(jià)格為25元．（2）設(shè)可以購買手繪紀(jì)念冊m本，則購買圖片紀(jì)念冊（40﹣m）本，依題意得：35m+25（40﹣m）≤1100，解得：m≤10．答：最多能購買手繪紀(jì)念冊10本．考點(diǎn)問題綜合訓(xùn)練一、選擇題1．（2020?貴陽）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．a(chǎn)+1b+1 D．ma＞mb【答案】D【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷．A．在不等式a＜b的兩邊同時(shí)減去1，不等號的方向不變，即a﹣1＜b﹣1，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B．在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘以﹣2，不等號方向改變，即﹣2a＞﹣2b，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C．在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘以，不等號的方向不變，即ab，不等式ab的兩邊同時(shí)加上1，不等號的方向不變，即a+1b+1，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D．在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原變形不正確，故此選項(xiàng)符合題意．2．（2020?蘇州）不等式2x﹣1≤3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．移項(xiàng)得，2x≤3+1，合并同類項(xiàng)得，2x≤4，x的系數(shù)化為1得，x≤2．在數(shù)軸上表示為：．3．（2021湖南邵陽）下列數(shù)值不是不等式組的整數(shù)解的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【解析】先分別求每個(gè)不等式的解集，取其解集的公共部分作為不等式組的解集，然后再確定其整數(shù)解．解：，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤1，∴不等式組的解集為：﹣＜x≤1，∴不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1．4．（2020?衢州）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別解兩個(gè)不等式，然后求它們的公共部分即可得到原不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可求解．，由①得x≤1；由②得x＞﹣1；故不等式組的解集為﹣1＜x≤1，在數(shù)軸上表示出來為：．5．（2020?株洲）下列哪個(gè)數(shù)是不等式2（x﹣1）+3＜0的一個(gè)解？（）A．﹣3 B． C． D．2【答案】A【解析】首先求出不等式的解集，然后判斷哪個(gè)數(shù)在其解集范圍之內(nèi)即可．解不等式2（x﹣1）+3＜0，得，因?yàn)橹挥些?，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一個(gè)解.6．（2020?株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，2）在第二象限內(nèi)，則a的取值可以是（）A．1 B． C． D．4或﹣4【答案】B【解析】根據(jù)第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)列出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍即可．∵點(diǎn)A（a，2）是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，∴a＜0，四個(gè)選項(xiàng)中符合題意的數(shù)是，7．（2020?廣元）關(guān)于x的不等式的整數(shù)解只有4個(gè)，則m的取值范圍是（）A．﹣2＜m≤﹣1 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣3＜m≤﹣2【答案】C【解析】先求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)已知不等式組的整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組，求出不等式組的解集即可．不等式組整理得：，解集為m＜x＜3，由不等式組的整數(shù)解只有4個(gè)，得到整數(shù)解為2，1，0，﹣1，∴﹣2≤m＜﹣18．（2020?天水）若關(guān)于x的不等式3x+a≤2只有2個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4【答案】D【解析】先解不等式得出x，根據(jù)不等式只有2個(gè)正整數(shù)解知其正整數(shù)解為1和2，據(jù)此得出23，解之可得答案．∵3x+a≤2，∴3x≤2﹣a，則x，∵不等式只有2個(gè)正整數(shù)解，∴不等式的正整數(shù)解為1、2，則23，解得：﹣7＜a≤﹣49．（2020?重慶）小明準(zhǔn)備用40元錢購買作業(yè)本和簽字筆．已知每個(gè)作業(yè)本6元，每支簽字筆元，小明買了7支簽字筆，他最多還可以買的作業(yè)本個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】設(shè)還可以買x個(gè)作業(yè)本，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總價(jià)不超過40元，即可得出關(guān)系x的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．設(shè)還可以買x個(gè)作業(yè)本，依題意，得：×7+6x≤40，解得：x≤4．又∵x為正整數(shù)，∴x的最大值為4．二、填空題1．（2021浙江衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解為．【答案】【解析】2（y+1）＜y+32y+2＜y+32y﹣y＜3﹣2y＜1．2．（2021山東東營）不等式組的解集為．【答案】﹣1≤x＜2．【解析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解．解不等式﹣≤1，得：x≥﹣1，解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，則不等式組的解集為﹣1≤x＜23．（2021吉林長春）不等式組的所有整數(shù)解為．【答案】0、1．【解析】求出第一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，從而得出答案．解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣，則不等式組的解集為﹣＜x≤1，∴不等式組的整數(shù)解為0、1．4．（2020?攀枝花）世紀(jì)公園的門票是每人5元，一次購門票滿40張，每張門票可少1元．若少于40人時(shí)，一個(gè)團(tuán)隊(duì)至少要有人進(jìn)公園，買40張門票反而合算．【答案】33．【解析】先求出購買40張票，優(yōu)惠后需要多少錢，然后再利用5x＞160時(shí)，求出買到的張數(shù)的取值范圍再加上1即可．設(shè)x人進(jìn)公園，若購滿40張票則需要：40×（5﹣1）＝40×4＝160（元），故5x＞160時(shí)，解得：x＞32，則當(dāng)有32人時(shí)，購買32張票和40張票的價(jià)格相同，則再多1人時(shí)買40張票較合算；32+1＝33（人）．則至少要有33人去世紀(jì)公園，買40張票反而合算．5．（2020?涼山州）若不等式組恰有四個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是．【答案】a．【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組有4個(gè)整數(shù)解可得關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得a的范圍．解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式組有4個(gè)整數(shù)解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：a6．（2020?黔東南州）不等式組的解集為．【答案】2＜x≤6．【解析】先根據(jù)解不等式的基本步驟求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“大小小大中間找”可確定不等式組的解集．解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，解不等式x﹣1≤4x，得：x≤6，則不等式組的解集為2＜x≤67．（2020?遂寧）若關(guān)于x的不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是．【答案】1≤m＜4．【解析】解不等式組得出其解集為﹣2＜x，根據(jù)不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解得出12，解之可得答案．解不等式，得：x＞﹣2，解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x，則不等式組的解集為﹣2＜x，∵不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，∴12，解得1≤m＜4三、解答題1.（2021浙江紹興）解不等式：5x+3≥2（x+3）．【解析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1可得．8x+3≥2（x+4），去括號得：5x+3≥5x+6,移項(xiàng)得：5x﹣5x≥6﹣3，合并同類項(xiàng)得：6x≥3，解得：x≥1．2．（2021江蘇鹽城）解不等式組：．【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)解不等式的表示方法分別解第一個(gè)和第二個(gè)不等式，解集依據(jù)：解的大于號后面是小數(shù)，小于號后面是大數(shù)，解就是在小數(shù)和大數(shù)中間．即可得答案．解：解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＜2，在數(shù)軸上表示不等式①、②的解集（如圖），∴不等式組的解集為1≤x＜2．3.（2021內(nèi)蒙古鄂爾多斯）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】﹣2≤x＜1，數(shù)軸看解答。由①得，4x﹣3x+6≥4，x≥﹣2；由②得，2（x﹣1）＞5（x+1）﹣10，2x﹣2＞5x+5﹣10，﹣3x＞﹣3，x＜1，所以不等式組的解集是：﹣2≤x＜1，它們的解集在數(shù)軸上表示如下：4．（2020?武威）解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】見解析。【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，則不等式組的解集為﹣2≤x＜3，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：5．（2020?上海）解不等式組：【答案】見解析。【解析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜5．故原不等式組的解集是2＜x＜5．6．（2020?北京）解不等式組：【答案】見解析?！窘馕觥糠謩e求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，解不等式，得：x＜2，則不等式組的解集為1＜x＜2．7．（2020?揚(yáng)州）解不等式組并寫出它的最大負(fù)整數(shù)解．【答案】見解析?！窘馕觥糠謩e求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同小取小確定不等式組的解集，從而得出答案．解不等式x+5≤0，得x≤﹣5，解不等式2x+1，得：x≤﹣3，則不等式組的解集為x≤﹣5，所以不等式組的最大負(fù)整數(shù)解為﹣5．8．（2021貴州銅仁）某快遞公司為了提高工作效率，計(jì)劃購買A、B兩種型號的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺A型機(jī)器人比每臺B型機(jī)器人每天多搬運(yùn)20噸，并且3臺A型機(jī)器人和2臺B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸．（1）求每臺A型機(jī)器人和每臺B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？（2）每臺A型機(jī)器人售價(jià)3萬元，每臺B型機(jī)器人售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購A、B兩種型號的機(jī)器人共20臺，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機(jī)器人分別采購多少臺時(shí)，所需費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？【答案】見解析【解析】（1）題目中的等量關(guān)系是：①每臺A型機(jī)器人比每臺B型機(jī)器人每天多搬運(yùn)20噸，②3臺A型機(jī)器人和2臺B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸．（2）題目中的不等關(guān)系是：每天搬運(yùn)的不低于1800噸，等量關(guān)系是：總費(fèi)用＝A型機(jī)器費(fèi)用+B型機(jī)器費(fèi)用，極值問題來利用函數(shù)的遞增情況解決．【解答】（1）解：設(shè)每臺A型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物x噸，每臺B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物y噸．解得（2）設(shè)：A種機(jī)器人采購m臺，B種機(jī)器人采購（20﹣m）臺，總費(fèi)用為w．100m+80（20﹣m）≥1800．解得：m≥10．w＝3m+2（20﹣m）＝m+40．∵1＞0，∴w隨著m的減少而減少．∴當(dāng)m＝10w有最小值，w?。?0+40＝50．∴A、B兩種機(jī)器人分別采購10臺，20臺時(shí)，所需費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是50萬．9．（2020?哈爾濱）昌云中學(xué)計(jì)劃為地理興趣小組購買大、小兩種地球儀，若購買1個(gè)大地球儀和3個(gè)小地球儀需用136元；若購買2個(gè)大地球儀和1個(gè)小地球儀需用132元．（1）求每個(gè)大地球儀和每個(gè)小地球儀各多少元；（2）昌云中學(xué)決定購買以上兩種地球儀共30個(gè)，總費(fèi)用不超過960元，那么昌云中學(xué)最多可以購買多少個(gè)大地球儀？【答案】見解析?！痉治觥浚?）設(shè)每個(gè)大地球儀x元，每個(gè)小地球儀y元，根據(jù)條件建立方程組求出其解即可；（2）設(shè)大地球儀為a臺，則每個(gè)小地球儀為（30﹣a）臺，根據(jù)要求購買的總費(fèi)用不超過960元，列出不等式解答即可．【解析】（1）設(shè)每個(gè)大地球儀x元，每個(gè)小地球儀y元，根據(jù)題意可得：，解得：，答：每個(gè)大地球儀52元，每個(gè)小地球儀28元；（2）設(shè)大地球儀為a臺，則每個(gè)小地球儀為（30﹣a）臺，根據(jù)題意可得：52a+28（30﹣a）≤960，解得：a≤5，答：最多可以購買5個(gè)大地球儀．10．（2020?蘇州）如圖，“開心”農(nóng)場準(zhǔn)備用50m的護(hù)欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設(shè)矩形花園的長為a（m），寬為b（m）．（1）當(dāng)a＝20時(shí)，求b的值；（2）受場地條件的限制，a的取值范圍為18≤a≤26，求b的取值范圍．【答案】見解析。【分析】（1）由護(hù)欄的總長度為50m，可得出關(guān)于b的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）由a的取值范圍結(jié)合a＝50﹣2b，即可得出關(guān)于b的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．【解析】（1）依題意，得：20+2b＝50，解得：b＝15．（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，∴，解得：12≤b≤16．答：b的取值范圍為12≤b≤16．11．（2020?自貢）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚