數(shù)值代數(shù)第二章第一節(jié)第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.1向量和矩陣范數(shù)/*NormsofVectorsandMatrices*/——為了誤差的度量向量范數(shù)/*vectornorms*/定義

Rn空間的向量范數(shù)||·||對任意滿足下列條件：（正定性

/*positivedefinite*/)對任意(齊次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)范數(shù)是一個(gè)n元連續(xù)函數(shù)（證明一下）pnipipxx/11||||||==v函數(shù)是一種范數(shù)嗎？第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日常用向量范數(shù)：==niixx11||||||v==niixx122||||||vpnipipxx/11||||||==v||max||||1inixx=v證明一個(gè)量是n維向量空間的一個(gè)范數(shù)需要利用一些著名的不等式Cauchy-Schwartz不等式Holder不等式第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日范數(shù)的一個(gè)應(yīng)用---討論向量序列的收斂性何謂向量序列？如何定義向量序列收斂比較合理？2-范數(shù)重要性質(zhì)：正交變換長度不變，向量間夾角不變第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–VectorNorms定義向量序列收斂于向量是指對每一個(gè)1in都有。可以理解為定理Rn上一切范數(shù)都等價(jià)?？梢岳斫鉃閷θ魏蜗蛄糠稊?shù)都成立。范數(shù)等價(jià)定義第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms矩陣范數(shù)/*matrixnorms*/定義

Rmn空間的矩陣范數(shù)||·||對任意滿足：（正定性

/*positivedefinite*/)對任意(齊次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)(4)*||AB||||A||·||B||

（相容

/*consistent*/

當(dāng)

m=n

時(shí))Ingeneral,ifwehave||AB||

||A||·||B||,thenthe3normsaresaidtobeconsistent.Ohhaven’tIhadenoughofnewconcepts?WhatdoIneedtheconsistencyfor?Whenyouhavetoanalyzetheerrorboundof

AB–imagineyoudoingitwithoutaconsistentmatrixnorm…第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms常用矩陣范數(shù)：Frobenius范數(shù)—向量||·||2的直接推廣如何證明上述定義的非負(fù)函數(shù)是一個(gè)范數(shù)？（驗(yàn)證方法）問題：矩陣的F范數(shù)是哪個(gè)矩陣的跡？和特征值的關(guān)系第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日矩陣范數(shù)的性質(zhì)任意兩個(gè)矩陣范數(shù)都是等價(jià)的（表達(dá)式）何謂矩陣序列的斂散性？矩陣序列收斂的充要條件矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容性第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNormsF-范數(shù)相容性：Frobenius范數(shù)—向量||·||2的直接推廣

對方陣以及有利用Cauchy不等式可證。第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms算子范數(shù)/*operatornorm*/

定理2.1.3設(shè)||·||是一種向量范數(shù)。若定義則上的一個(gè)矩陣范數(shù)。矩陣范數(shù)稱為從屬向量范數(shù)||·||的矩陣范數(shù)也稱為由向量范數(shù)||·||誘導(dǎo)出的算子范數(shù)第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日舉例說明算子矩陣范數(shù)的優(yōu)點(diǎn)研究方程組與方程組解之間的關(guān)系。那個(gè)上界更緊一些？不等式越緊越好，那些情況下不等式是無法在改進(jìn)的第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms算子范數(shù)/*operatornorm*/

由向量范數(shù)||·||p導(dǎo)出關(guān)于矩陣A

Rnn

的p范數(shù):則第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms特別有：（行和范數(shù)）（列和范數(shù)）（譜范數(shù)/*spectralnorm*/

）矩陣ATA的最大特征根/*eigenvalue*/定理2.1.5設(shè)則（3）2范數(shù)的正交不變性第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日算子范數(shù)的最優(yōu)性矩陣的F-范數(shù)與向量的2-范數(shù)的關(guān)系。（P72習(xí)題4）第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms注：Frobenius范數(shù)不是算子范數(shù)。

我們只關(guān)心有相容性的范數(shù)，算子范數(shù)總是相容的。若不然，則必存在某個(gè)向量范數(shù)||·||v使得對任意A成立。Counterexample?問題：矩陣的列和范數(shù)和其轉(zhuǎn)置矩陣的行和范數(shù)的關(guān)系。問題：矩陣的列和范數(shù)、行和范數(shù)和譜范數(shù)的等價(jià)關(guān)系是什么？第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日譜半徑/*spectralradius*/定義矩陣A的譜半徑記為(A)=，其中i

為

A的特征根。ReIm(A)第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理若A對稱，則有證明：A對稱若是A的一個(gè)特征根，則2必是A2的特征根。又：對稱矩陣的特征根為實(shí)數(shù)，即2(A)為非負(fù)實(shí)數(shù)，故得證。對某個(gè)

A的特征根成立所以2-范數(shù)亦稱為譜范數(shù)。第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理若矩陣B對某個(gè)算子范數(shù)滿足