2021年廣東省陽江市陽東區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、只有一個是正確的，請把答題卡上對應(yīng)題目所選的選項涂黑。

1.（3分）下列各實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）

A.AB.3.14C.0D.V5

3

2.（3分）數(shù)據(jù)2,6,5,0,1,6,8的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（)

A.0和6B.0和8C.5和8D.5和6

3.（3分）已知〃+。=工，貝IJ代數(shù)式2a+2Z?-3的值是（）

2

A.2B.-2C.-4D.-3工

2

4.（3分）若一個多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

5.（3分）將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形,若/68=30°,則/4圓的度數(shù)是（）

6.（3分）將拋物線y=3/向右平移4個單位長度后，再向上平移5個單位長度，所得到的

拋物線的頂點坐標(biāo)為（）

A.（4,-5）B.（4,5）C.（-4,5）D.（-4,-5）

7.（3分）如圖，在△AOB中，A,B兩點在x軸的上方，在x軸的下方按1：2的相似比作

△AOB的位似圖形△408.設(shè)點B的對應(yīng)點F的坐標(biāo)是（4,-2）,則點B的坐標(biāo)是（）

8.（3分）如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,B,以AB為直徑的圓經(jīng)過點

C,D,貝IJtan/AOC的值為（）

A.B.C.2D..3

131332

9.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+（1-a）x+a2=o的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，則a的值為

（）

A.1B.-1C.1或-1D.-1或2

10.（3分）如圖，四邊形48C。為正方形，/C4B的平分線交8c于點E,延長AE交CF

于點G,連接BG,OG與AC相交于點從有下列結(jié)論：①BE=BF；②NACF=/尸；

A.①②B.②③C.①②@D.①②③④

二、填空題（本大題7小題，每小題4分，共28分）請將下列各題的正確答案填寫在答題

卡相應(yīng)的位置上

11.（4分）分解因式：x^y-25y=.

12.（4分）若單項式1x211r3y4與3/嚴(yán)1的和仍是單項式，則,"〃=.

3

13.（4分）'x-l+ly+2|=0,則（x+y）2021=.

14.（4分）三角形的三邊長分別為5CTH,6cm,1cmcm.

15.（4分）如圖是由四個直角邊長分別為2和4的全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”

飛鏢板，小明站在投鏢線上向飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則針

扎在陰影部分的概率是.

16.（4分）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC是。ABCO

的對角線，Z￡>=108°,則NBAC=°.

17.（4分）如圖是由大小相同的線段組成的一系列圖案，第1個圖案由5條線段組成，第2

個圖案由8條線段組成，…，則第2021個圖案由條線段組成.

第1個第2個第3個第4個

三、解答題（-）（本大題3小題，每小題6分，共18分）

18.（6分）先化簡，再求值：&二旦+（2-y-2）,其中y=-l.

y-2y-2

19.（6分）如圖，在△ABO中，NABD=NADB.

（1）作點A關(guān)于3。的對稱點G（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）在（1）所作的圖中，連接BC

20.（6分）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織開展了豐富多彩的主題教育活動,

活動設(shè)置了“A：詩歌朗誦表演，C：書畫作品展覽，D；手工作品展覽”四個專項活動,

學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的條形統(tǒng)

計圖和扇形統(tǒng)計圖.

人數(shù)

（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是;

（2）請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“B”所在扇形的圓心角為度；

（4）若該校有學(xué)生1200人，則在這次活動中選擇“4詩歌朗誦表演”的學(xué)生約有多少

人？

四、解答題（二）（本大題3小題，每小題8分，共24分）

21.（8分）如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,連接A3,作線段A3關(guān)于

直線/的對稱線段A'B',連接。4,OB,OB',A'B'.

（1）求證：△OAB絲△QA'B'；

22.（8分）某校積極響應(yīng)國家號召，為落實垃圾”分類回收，科學(xué)處理”的政策，共需7200

元；若購買4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱

（1）每套100L垃圾箱和每套240A垃圾箱各多少元？

（2）學(xué)校決定購買100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的數(shù)量不少于

100L垃圾箱數(shù)量的工，求購買這20套垃圾箱的最少費用.

4

23.（8分）如圖，在RtZkABC中，ZBCA=90°,BC=8,點。在線段上，以點。為

圓心，OC為半徑的交線段AO于點。

（1）求證：AB是。。的切線;

五、解答題（三）（本大題2小題，每小題10分，共20分）

24.（10分）如圖，一次函數(shù)〉=履+6（憶/0）與反比例函數(shù)>=皿（，*W0,x>0）（4,A）,

x2

B（1,2）,4c_Lx軸于點C,軸于點。.

（1）根據(jù)圖象直接回答：在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值？

（2）求一次函數(shù)的解析式及m的值；

（3）P是線段A8上的一點，連接PC,PD,求點P的坐標(biāo).

25.（10分）如圖，點B,C分別在x軸和y軸的正半軸上，OC的長分別為/-8x+12=0

的兩個根（OC>OB）,點A在x軸的負(fù)半軸上，且OA=OC=3OB

（1）求過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A,點。從點。出

發(fā)，連接P。，當(dāng)點P到達(dá)點A時，求SACPQ的最大值；

（3）M是拋物線上一點，是否存在點使得NACM=15°?若存在；若不存在，請

說明理由.

2021年廣東省陽江市陽東區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、只有一個是正確的，請把答題卡上對應(yīng)題目所選的選項涂黑。

1.（3分）下列各實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）

A..1B.3.14C.0D.遍

3

【考點】算術(shù)平方根；無理數(shù).

【解答】解：A、上是分?jǐn)?shù)，故本選項不符合題意；

3

B、5.14是有限小數(shù)，故本選項不符合題意；

C、0是整數(shù)，故本選項不符合題意；

D、證是無理數(shù)；

故選：D.

2.（3分）數(shù)據(jù)2,6,5,0,1,6,8的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.0和6B.0和8C.5和8D.5和6

【考點】中位數(shù)；眾數(shù).

【解答】解：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：0,I,8,5,6,8,8數(shù)據(jù)，

處在中間位置的數(shù)為5,故中位數(shù)為8.

所以本題這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,眾數(shù)是6.

故選：D.

3.（3分）已知a+6=工，則代數(shù)式2。+28-3的值是（）

2

A.2B.-2C.-4D.-31

2

【考點】代數(shù)式求值.

【解答】解：

'：2a+2b-4=2（a+b）-3,

.,.將a+6=S代入得：2X@_

22

故選：B.

4.（3分）若一個多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為分

根據(jù)題意得：180°(〃-2)=1080°,

解得：n=8.

故選：C.

5.(3分)將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若NC4B=30°,則NACB的度數(shù)是()

A.75°B.63°C.55°D.45

【考點】平行線的性質(zhì).

【解答】解：,??將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，

：.ED//FA,NEBC=/CBA,

；?NEBC=NACB,ZCAB=ZDBA=3Q°,

VZEBC+ZCBA+ZABD=180°,

AZACB+ZACB+300=180°,

AZACB=75",

故選：A.

6.(3分)將拋物線y=3/向右平移4個單位長度后，再向上平移5個單位長度，所得到的

拋物線的頂點坐標(biāo)為()

A.(4,-5)B.(4,5)C.(-4,5)D.(-4,-5)

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【解答】解：將拋物線y=3/向右平移5個單位長度后，再向上平移5個單位長度2+6,

；?其頂點坐標(biāo)為(4,5),

故選：B.

7.（3分）如圖，在△AOB中，A,8兩點在x軸的上方，在x軸的下方按1：2的相似比作

△AOB的位似圖形OF.設(shè)點B的對應(yīng)點8的坐標(biāo)是（4,-2）,則點B的坐標(biāo)是（）

【考點】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；位似變換.

【解答】解：設(shè)點B的坐標(biāo)為（x,y）,

因為點B的對應(yīng)點8'的坐標(biāo)是（4,-2）,

所以根據(jù)位似變換的坐標(biāo)特點得-6?x=4,-2?y=-8,

即x~-2,y—1?8）.

故選：C.

8.（3分）如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,B,以AB為直徑的圓經(jīng)過點

C,D,貝Itan/AOC的值為（）

A.B.』后C.2D..3

131332

【考點】圓周角定理；解直角三角形.

【解答】解：如圖，連接AC.

VZADC和NABC所對的弧長都是余，

根據(jù)圓周角定理知，ZADC^ZABC,

'：AB為直徑，

AZACB=90°,

在RtZ\4C8中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知,

tanZABC-

BC3

tanZA￡)C=—.

3

故選：C.

9.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+（1-a）x+/=0的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，則a的值為

)

A.1B.-1C.1或-1D.-1或2

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.

【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程/+（1-a）x+/=0的兩個實數(shù)根互為倒數(shù),

???。2_一,3,

,a=土1.

當(dāng)a=l時，原方程為7+1=0,

VA=82-4X8X1=-4<4,

.,.此時方程無解，。=1舍去;

當(dāng)a=-1時，原方程為/+2x+l=4,

A=22-2X1X1=2,

???此時方程有解.

故選:B.

10.（3分）如圖，四邊形ABC。為正方形，NCAB的平分線交8c于點E,延長4E交CF

于點G,連接8G,OG與AC相交于點有下列結(jié)論：①BE=BF；②/ACF=NF；

④坐步.其中正確的是（）

DH°z

D

C.①②③D.①?@④

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與

性質(zhì).

【解答】解：①;四邊形43co為正方形,

：.AB=CB,ZABC=ZCBF=90Q,

VAG1CF,

???NAG/=90°，

：.ZGAF+ZF=90°,

VZBAF+ZF=90°,

:?/GAF=NBCF,

:?△ABE//\CBF(ASA),

；?BE=BF,

故①正確；

②由正方形的性質(zhì)得/BAC=NAC3=45°,

TAE平分NAC8,

：.ZBAE=ZBCF=22.5°,

AZACF=ZACB+ZBCF=67.5°,ZF=ZAEB=90Q-22.2°=67.5°,

AZACF=ZF=67.5°,

故②正確；

③/=90°,FG=CG,

:.BG=CG,

：?/CBG=NBCG,

?:NABC=NDCB=90°,

???NABG=NDCG,

?：AB=DC,

.?.△ABG絲ZXOCG(SAS),

ZAGB=ZDGC,

,：ZACF^ZF,AE平分NC4B,

J.AGA.CF,

：.ZAGB+ZDGA=ZDGC+ZDGA=90"，,

：.BG±DG,

故③正確；

④：△ABG絲△￡)CG,

NCDG=NBAG=ZCGA,

,/ZDCH=ZACE,

：./\DCH^/\ACE,

.DHDCV3

**AE=AC"2'

?AE_i—

,?麗唔

故④正確，

綜上，正確的結(jié)論是①②③④，

故選：D.

二、填空題(本大題7小題，每小題4分，共28分)請將下列各題的正確答案填寫在答題

卡相應(yīng)的位置上

11.(4分)分解因式：-25v=y(x+5)因-5).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【解答】解：fy-25y

=y(JC2-25)

=y(x+2)(x-5).

故答案為：y(x+5)(x-3).

12.(4分)若單項式二x2x3y4與3金產(chǎn)+1的和仍是單項式，則mn=12.

3

【考點】合并同類項.

【解答】解：???單項式［x5x3y4與2?嚴(yán)I的和仍是單項式，

3

單項式一|^2”5y4與3?/+|是同類項，

A2/n-7=5,〃+l=3,

解得：加=4,〃=3,

m〃=3X4=12,

故答案為：12.

13.（4分）A/xT+ly+2|=0,則（x+y）2021--1.

【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根.

【解答】解：???*I+|y+2|=6,

Ax-1=0,y+4=0.

y=-2.

（x+y）2021=（］-2）2021=-2.

故答案為：-1.

14.（4分）三角形的三邊長分別為5CTTJ,6c1cm9cm.

【考點】三角形中位線定理.

【解答】解：由三角形的中位線定理，得連接各邊中點所圍成的三角形的三邊分別是

2.5cm,2.5cm

???它的周長=2.6+3+3.6=9（cvn）,

故答案為：9.

15.（4分）如圖是由四個直角邊長分別為2和4的全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”

飛鏢板，小明站在投鏢線上向飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則針

扎在陰影部分的概率是

【考點】勾股定理的證明；幾何概率.

【解答】解：根據(jù)題意，“趙爽弦圖”中，

則陰影部分的正方形的邊長為4-2=2,即面積為4.

由勾股定理，可得大正方形的邊長為小^可不=后記=2、后?

故針扎在陰影部分的概率為2」.

205

故答案為：旦

5

16.（4分）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC^-ABCD

的對角線，ZZ）=108°,則NA4C=24°.

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【解答】解：???四邊形A3CO是平行四邊形，

AZABC=ZD=108°,AD=BC,

?：AD=AE=BE,

:?BC=AE=BE,

：.ZEAB=ZEBAfNBEC=NECB,

/BEC=/EAB+/EBA=2NEAB,

：.ZACB=2/CAB,

???NC4B+NAC8=2NC48=180°-N48C=180°-108°,

：.ZBAC=24°,

故答案為：24.

17.（4分）如圖是由大小相同的線段組成的一系列圖案，第1個圖案由5條線段組成，第2

個圖案由8條線段組成，…，則第2021個圖案由7075條線段組成.

第1個第2個第3個第4個

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【解答】解：根據(jù)題圖可以得出：

第1個圖案由5條線段組成，

第4個圖案由8條線段組成，

第3個圖案由12條線段組成,

第2個圖案由15條線段組成,

依次類推，第〃個圖案比第(丁2)個圖案多7條線段，

，奇數(shù)個圖案的線段條數(shù)為2+7(n-l)X-1-

偶數(shù)個圖案的線段條數(shù)為8+4(n-2)Xy)

.?.第2021個圖案的線段條數(shù)為7075,

故答案為：7075.

三、解答題(-)(本大題3小題，每小題6分，共18分)

18.(6分)先化簡，再求值：空包+(2-y-2),其中y=-].

y-2y-2

【考點】分式的化簡求值.

【解答】解：空且+(上

y-8y-2

_6(y-3)二「5_(y+2)(y-6),

y-2-y<J

；2(y-3)-5-y4+4

y-2y-2

=4(y-3),y-3

y-2(3+y)(3-y)

-_---6--

3+y

當(dāng)y=-1時，原式=----=_g.

3+(-1)

19.(6分)如圖，在△A3。中，ZABD^ZADB.

(1)作點A關(guān)于8。的對稱點C；(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)在(1)所作的圖中，連接

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；菱形的判定；作圖-軸對稱變換.

【解答】(1)解：如圖，點C為所求；

B

/O\/

AD

（2）證明：,：NABD=NADB,

：.AB=AD,

,：點C是點A關(guān)于BD的對稱點，

J.ACX.BD,OA=OC,

：.OB=OD,

：AC與互相垂直平分，

四邊形ABC。是菱形.

20.（6分）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織開展了豐富多彩的主題教育活動,

活動設(shè)置了“A：詩歌朗誦表演，C：書畫作品展覽，D：手工作品展覽”四個專項活動,

學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的條形統(tǒng)

計圖和扇形統(tǒng)計圖.

人數(shù)

（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是60；

（2）請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“8”所在扇形的圓心角為108度:

（4）若該校有學(xué)生1200人，則在這次活動中選擇“A：詩歌朗誦表演”的學(xué)生約有多少

人？

【考點】用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

【解答】解：（1）15?25%=60（人），

故答案為：60；

（2）C組人數(shù)是60-15-18-9=18,補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

人數(shù)

18

（3）“8”所在扇形的圓心角為：360°xli=108°,

60

故答案為：108；

（4）1200X-^=300（人）?

60

答：該校在這次活動中選擇“A：詩歌朗誦表演”的學(xué)生約有300人.

四、解答題（二）（本大題3小題，每小題8分，共24分）

21.（8分）如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,連接A8,作線段AB關(guān)于

直線/的對稱線段AE,連接。4,OB,OB',A'B'.

（1）求證：△OAB絲△OA'B'；

（2）求以點。為圓心的劣弧4V的長.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；弧長的計算；作圖-軸對

稱變換.

【解答】（1）證明：?.?線段A8與線段A5關(guān)于直線/對稱，

...點A,B分別與點4,

.?.直線/垂直平分4V,BB',

：.OA=OA',OB=OB',

在△OAB和△04'B'中，

0A=0A7

?OB=OBZ，

AB=AZB'

.?.△048絲△048'(SSS)；

(2)解：如圖，'：OA=OA'=^32+3272>A4'=8,

：.O/^+OA'2=AAa.

.?.△404'是直角三角形,

AZAOA'=90".

22.(8分)某校積極響應(yīng)國家號召，為落實垃圾”分類回收，科學(xué)處理”的政策，共需7200

元；若購買4套100Z,垃圾箱和6套240乙垃圾箱

(1)每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多少元？

(2)學(xué)校決定購買100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的數(shù)量不少于

100L垃圾箱數(shù)量的工，求購買這20套垃圾箱的最少費用.

4

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用.

【解答】解：(1)設(shè)每套100L垃圾箱x元，每套24(比垃圾箱〉元.

依題意，

得［8x+5y=7200,

I8x+6y=6400

解得卜=40。，

ly=800

每套100L垃圾箱400元，每套240L垃圾箱800元；

(2)設(shè)購買。套240Z,垃圾箱，則購買(20-a)套100L垃圾箱，

購買這20套垃圾箱的費用為w元.

依題意，

得w=400(20-a)+800a=400a+8000,

V400>0,

二w隨”的增大而增大，

?aA^(20-a)，

；.a24,

.?.當(dāng)a=8時，卬有最小值，

購買這20套垃圾箱的最少費用為9600元.

23.(8分)如圖，在RlZVlBC中，ZBCA=90",BC=8,點。在線段BC上，以點。為

圓心，OC為半徑的。0交線段40于點。

(1)求證：AB是。。的切線；

(2)求證：理誓_.

【考點】勾股定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

【解答】解：(1)如圖，過點。作OHLAB于點從

AB=7AC2+BC4=762+22=10-

丁SAABC=S>AOLSMBO,

?,』x6X8=1x3x5Ax10xOH，

KNN

，OH=4.

"：OC=3,

：.OH=OC.

又：OH_LAB,

是。。的切線.

(2)如圖，連接CD

是的直徑，

AZECD=90°=NACO,

ZECO=ZACD,

'：OC=OE,

:.NCEO=NOCE,

:.NACD=NCEO,

X'-'ZDAC=ZEAC,

：./\DAC^^CAE,

?ACAD

AE=AC)

：OC=3,

：.DE=1OC=6=AC.

?DEAD

**AE'DE'

五、解答題(三)(本大題2小題，每小題10分，共20分)

24.(10分)如圖，一次函數(shù)(&W0)與反比例函數(shù)(/70,x>0)(4,A),

x2

B(1,2),ACLx軸于點C,軸于點。.

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值？

(2)求一次函數(shù)的解析式及拼的值；

(3)P是線段AB上的一點，連接PC,PD,求點P的坐標(biāo).

y

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【解答】解：(1)由圖象得一次函數(shù)圖象在上的部分，l<x<4,

當(dāng)2Vx<4時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值;

(2)把A(4,旦)，B(1,得

2

「1

.3k+b=q,

k+b=4

k」

解得，《，2，

噸"

...一次函數(shù)的解析式為：y=-L+§；

62

把B(2,2)代入、=旦x>0)中，得

加=5X2=2；

(3)設(shè)P(n

一■H"

.?.AC=LBD=\,

8

■:SAACP=SABPD，

yAC'（XA-xpl^DMyB-ypA

2

p（5,5）

84

25.（10分）如圖，點2,C分別在x軸和y軸的正半軸上，OC的長分別為7-8x+12=0

的兩個根（0008）,點A在x軸的負(fù)半軸上，且OA=OC=3O8

（1）求過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A,點Q從點。出

發(fā)，連接PQ,當(dāng)點P到達(dá)點A時，求&CPQ的最大值；

（3）M是拋物線上一點，是否存在點M,使得NACM=15°?若存在；若不存在，請

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【解答】解：（1）由8x+12=7得x=6或x=2,

又；0C>0B,

.?.點B的坐標(biāo)為（8,0）,6）,

'：OA=OC,

.?.點A的坐標(biāo)為（-3,0）,

設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax1+bx+c,

將點A,B,C的坐標(biāo)代入y—ax6+bx+c中，

36a~6b+c=0

得48a+26+c=0，

c=6

,7

a--7

解得《

b=-2

c=4

...過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)解析式為y=_/x2-2x+6；

(2)'：OA=OC,

：.ZACO=45°,

由題意得PC=4f,CQ=6-t,

|xp|=POsin45。

"CPQ號XCQXIXpl^-x(6-t)xV2t=--y-(t2-7t),

???平<7，

2_

.?.當(dāng)r=3時，SACPQ有最大值，最大值為當(dāng)5；

(3)存在，

①如圖，當(dāng)點例在AC上方時，

作軸于點F,連接MC,

AZOCM=60°,

設(shè)點M的坐標(biāo)為（m,-■^?K-Zm+G則MF=-m,

在Rt/XMCF中，

MF

CF=

tanNMCF

,//MEO=NEOF=NMFO=90°,

??.四邊形"EOF是矩形，

:.ME=OF,

乙o

解得做=0（舍去），^^=-6-乙產(chǎn)

?imU迎16-473

,?ME=6+^-in=-----------，

24

...點M的坐標(biāo)為［-4-2互，卑"］，

33

設(shè)MC與1軸交于點G,連接MC,

設(shè)點M的坐標(biāo)為(n,-1*n2-2n+7)(n<-6)，

6

則。”=-〃，皿+—+211-7,

：/ACM=15°,ZC4O=45°,

二/CGO=NHGM=ZCAG+ZACM=60°,

在Rt4CGO中，

'：OC=6,

，0G=tanZCG0=2^

/.GH=OH-OG=-n-2V3-

在RtZ\MGH中，MH=GH'tanZHGM=V5GB，

,,■^?n3+2n-6=->/3n-6,

解得〃1=8（舍去），叼=-4-7百，

.?.GH=-n-2?=4,MH=V^GH=5?,

.?.點M的坐標(biāo)為（-4-8我，-478）,

綜上所述，存在點M,

且點M的坐標(biāo)為（.4-Z返，殳4、叵）或（一擊5匾,-W）.

33

考點卡片

1.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值

在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕時值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則

其中的每一項都必須等于0.

根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值.

2.算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于即，=a,那么這個正數(shù)

x叫做。的算術(shù)平方根.記為

（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)。是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本

身是非負(fù)數(shù).

（3）求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

3.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

（1）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負(fù)性.

（2）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也

是非負(fù)數(shù)列出不等式求解.非負(fù)數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值

問題.

4.無理數(shù)

（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周

率、2的平方根等.

（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小

數(shù)，③含有n的數(shù)，如分?jǐn)?shù)冗2是無理數(shù)，因為p是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

(1)開不盡的方根，如加，相等.

(2)特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…(兩個3之間依次多一個0).

(3)含有n的絕大部分?jǐn)?shù)，如2n.

注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如丁云是有理數(shù)，而不是

無理數(shù).

5.代數(shù)式求值

(1)代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

(2)代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以化簡，要

先化簡再求值.

題型簡單總結(jié)以下三種：

①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；

②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；

③己知條件和所給代數(shù)式都要化簡.

6.合并同類項

(1)定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

(2)合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

(3)合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系

數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)會

減少，達(dá)到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字母

和字母的指數(shù)不變.

7.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

8.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

9.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

10.二元一次方程組的應(yīng)用

(-)列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

(1)審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

(2)設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

(3)列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

(4)求解.

(5)檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

(二)設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

11.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：X\,X2是方程/+px+g=0的兩根時，Xl+X2=-P，

x\xi=q,反過來可得p=-(X1+X2),q=x\xi，前者是己知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：xi，花是一元二次方程o?+法+c=0(aWO)

的兩根時，Xl+X2=X\X2=—y反過來也成立，即旦=-(X1+X2)，—=XJX2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題:

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求另

一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，加2+切2等等.④判斷兩根的符

號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解

題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮△》()這兩個前提條件.

12.一元一次不等式的應(yīng)用

(1)由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以

得到實際問題的答案.

(2)列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中

的不等關(guān)系.因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

(3)列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

13.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱

坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離

求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去

解決問題.

14.一次函數(shù)的應(yīng)用

1、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學(xué)合理，又要符合實際.

2、函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù).

3、概括整合

(1)簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用.

(2)理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵.

15.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

(2)判斷正比例函數(shù)y=kix和反比例函數(shù)y="在同一直角坐標(biāo)系中的交點個數(shù)可總結(jié)

X

為：

①當(dāng)h與k2同號時，正比例函數(shù)y=hx和反比例函數(shù)尸”在同一直角坐標(biāo)系中有2個交

X

點；

②當(dāng)心與幻異號時，正比例函數(shù)y=hx和反比例函數(shù)y="在同一直角坐標(biāo)系中有0個交

x

點.

16.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)y=cM+〃x+c(〃W0)的頂點坐標(biāo)是(-4“c-b),對稱軸直線x=-±

2a4a2a

二次函數(shù)>=加+加汁。(aWO)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)〃>0時.，拋物線y=a?+法+c(〃W0)的開口向上，xV一旦時，y隨x的增大而減??；

2a

2

x>-旦時，y隨X的增大而增大；x=-2時，y取得最小值慫*即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當(dāng)。<0時，拋物線y=o?+Zzx+c(”W0)的開口向下，XV--L時，y隨x的增大而增大;

2a

2

x>一2時，y隨X的增大而減小；x=一應(yīng)時，y取得最大值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線尸^(?。)的圖象可由拋物線>=小的圖象向右或向左平移i--L|個單

2a

位，再向上或向下平移|電0：|個單位得到的.

4a

17.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

18.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

19.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

20.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

21.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中

任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

22.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是小b,斜邊長為c,那么

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+y=°2的變形有：a=,Jc2_b2,b=第口及c=點用.

（4）由于/+必=/>/,所以c>“，同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

23.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法,

然后再利用面積相等證明勾股定理.

（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的

面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

24.三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語言：

如圖，?.?點。、E分別是AB、AC的中點

：.DE//BC,DE=LBC.

2

A

D,

B

25.多邊形內(nèi)角與外角

（1）多邊形內(nèi)角和定理：（”-2）780°（"23且〃為整數(shù)）

此公式推導(dǎo)的基本方法是從〃邊形的一個頂點出發(fā)引出5-3）條對角線，將〃邊形分割為

（n-2）個三角形，這（〃-2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是〃邊形的內(nèi)角和.除此方法

之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也

是研究多邊形問題常用的方法.

（2）多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則〃邊形取〃個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角

和永遠(yuǎn)為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論:外角和=180°n-（"-2）780°=360°.

26.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

27.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：???48=8C=C￡）=D4，四邊形ABCD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）.

幾何語言：四邊形ABC。是平行四邊形.?.平行四邊形ABC。是菱形

A

D

0

28.正方形的性質(zhì)

(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(2)正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對