第09講有理數(shù)的乘方

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

i.理解并掌握有理數(shù)的乘方，幕，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義.

2.會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)第.

3.知道有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序；能正確進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算。

4.熟練正確地進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算。

5.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識、解決問題能力。

【基礎(chǔ)知識】

1.有理數(shù)的乘方

乘方的概念：求個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕.

一般地，個相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；

在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當(dāng)看作的次方的結(jié)果時，讀作的次幕.

注意：①乘方運(yùn)算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；

②乘方運(yùn)算，代表的是多個相同因數(shù)相乘，要與乘法運(yùn)算區(qū)分開來；

③在運(yùn)算時要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；

如：，其底數(shù)為，；

,其底數(shù)為，；

,其底數(shù)為，；，其底數(shù)為，；

,帶分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運(yùn)算.

2.有理數(shù)指數(shù)幕的符號規(guī)律：

1）負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次基是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；

2）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次幕都是0.

注意:除。以外的任何數(shù)的“0次塞”結(jié)果為I.

3.有理數(shù)混合運(yùn)算的步驟

做有理數(shù)的混合運(yùn)算時，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：

1）先乘方，再乘除，最后加減；2）同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

3）如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.

注意：1.運(yùn)算時要特別注意運(yùn)算的順序；2.要注意各部分屬于那一部分運(yùn)算，運(yùn)用對應(yīng)的法則；3.要注意符

號問題.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：有理數(shù)的乘方的相關(guān)概念

例1.（2021?興化市七年級期中）對于與，下列說法正確的是

A.它們的意義相同B.它們的結(jié)果相等

C.它們的意義相同，結(jié)果相等D.它們的意義不同，結(jié)果不相等

變式1.（2021?浙江七年級單元測試）下列說法正確的是（）

A.的底數(shù)是B.讀作：2的3次方C.27的指數(shù)是0D.負(fù)數(shù)的任何次幕都是負(fù)數(shù)

考點(diǎn)二：有理數(shù)的乘方運(yùn)算

例2.（2021?湖北襄陽市?九年級二模）的倒數(shù)是（）

A.-4B.C.D.4

變式2.（2021?山東德州市?七年級期中）計算（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)三：有理數(shù)乘方逆運(yùn)算（簡算）

例3.（2021?湖南株洲市?七年級期中）計算的結(jié)果是（）

A.B.C.D.

變式3.（2021?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校初二月考）計算（）239.（-1.5）2。2。的結(jié)果是（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)四：乘方運(yùn)算的符號規(guī)律

例4.（2021?江蘇蘇州市?七年級月考）互為相反數(shù)，下列各數(shù)中，一定互為相反數(shù)的一組為（）A.與

B.與C.與（為正整數(shù)）D.與（為正整數(shù)）

變式4.（2021?平山縣外國語中學(xué)七年級期末）當(dāng)“<0時，在下列等式①。2。21<0；②屏。21=（_“）2叫③

〃。2。=（也）2。2。；④“2。21=_/。21中，使等式成立的有（）

A.①②③B.②③④C.①D.①③④

考點(diǎn)五：乘方的應(yīng)用-進(jìn)制問題

例5.（2021?福建省初一期中）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄

數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄采集到的野

果數(shù)量，由圖可知，她一共采集到的野果個數(shù)為（）

A.3123B.3214C.3258D.3236

變式5.（2021?西安同仁中學(xué)初三模擬）利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識別.某校建立了一個身份識別

系統(tǒng)，圖2是某個學(xué)生的識別圖案，黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0.將第一行數(shù)字從左到右依次

記為，，，，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為.如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0,I,0,I,

序號為，表示該生為5班學(xué)生.表示6班學(xué)生的識別圖案是（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)六：乘方的應(yīng)用-末位數(shù)字問題

例6.（2021?山東濰坊市?七年級期末）觀察下列等式：.............根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個

位數(shù)字是.

變式6.（2021?重慶市大坪中學(xué)校七年級月考）閱讀材料，解決問題：由，..........................不

難發(fā)現(xiàn)3的正整數(shù)塞的個位數(shù)字以3、9、7、1為一個周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得到：因?yàn)?，所以個位數(shù)字

與的個位數(shù)字相同，應(yīng)為1;因?yàn)?，所以的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，應(yīng)為3.

（1）請你仿照材料，分析求出的個位數(shù)字及的個位數(shù)字；

（2）請?zhí)剿鞒龅膫€位數(shù)字；

（3）請直接寫出的個位數(shù)字.

考點(diǎn)七：有理數(shù)的混合運(yùn)算

例7.（2021?湖北黃石市?七年級月考）計算:

(1)；(2)

變式7.（2022?浙江七年級單元測試）計算

(1)(2)

(3)(4)

(5)(6)

(7)(8)

【真題演練】

1.（2021?河北九年級二模）表示的意義是（）

A.B.C.D.

2.（2020?浙江臺州?七年級期中）”，匕互為相反數(shù)，，〃為自然數(shù)，則下列敘述正確的有（）個

①互為相反數(shù);②互為相反數(shù);③互為相反數(shù);④互為相反數(shù)

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2021?浙江金華市?七年級期中）所得的結(jié)果是（）

A.B.C.D.

4.（2021?江蘇蘇州市?七年級月考）計算等于（）.

A.B.C.D.

5.（2021?甘肅白銀市?七年級期末）觀察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=

128,28=256,…用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出22。2。的末位數(shù)字是（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2021?四川達(dá)州市?中考真題）生活中常用的十進(jìn)制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：，；

計算機(jī)也常用十六進(jìn)制來表示字符代碼，它是用0??來表示0~15,滿十六進(jìn)一，它與十進(jìn)制對應(yīng)的數(shù)如下表:

十進(jìn)制012891011121314151617

十六進(jìn)制012891011

例：十六進(jìn)制對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，那么十六進(jìn)制中對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為（）

A.28B.62C.238D.334

7.（2021?江蘇省初一期中）已知m>2,定2,且巾、力均為正整數(shù)，如果將m"進(jìn)行如圖所示的''分解”,

那么下列四個敘述中正確的有（）

①在25的“分解”結(jié)果是15和17兩個數(shù).②在42的“分解”結(jié)果中最大的數(shù)是9.

③若小的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是23,則m=5.④若3"的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是79,則n=5.

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.（2021?成都市溫江區(qū)新世紀(jì)光華學(xué)校七年級期中）的底數(shù)是.

9.（2021?河南省初一期中）一質(zhì)點(diǎn)P從距原點(diǎn)1個單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動，第一次跳動到OA的中

點(diǎn)處，第二次從點(diǎn)跳動到。的中點(diǎn)處，第三次從點(diǎn)跳動到O的中點(diǎn)處，如此不斷跳動下去，則第5次跳動

后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為.

10.（2020?湖北孝感市，七年級期末）閱讀材料：求的值.

解：設(shè)

將等式兩邊同時乘以2,得

將下式減去上式，得

即

請你仿照此法計算：(1)(2)

11.(2021?漣水金城外國語學(xué)校初一期中)規(guī)定兩數(shù)之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么.例如：因?yàn)?

所以.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：,,=;

(2)小明在研究這種運(yùn)算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：，小明給出了如下的證明：

設(shè)，貝即，所以，即，所以，

請你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個等式：

12.(2022?全國七年級專題練習(xí))計算：

(1)(2)-12x(-5)引一32+(-2)21.

13.(2022?全國初一單元測試)計算下列各題:

(1)(2)

(3)(4)

1.（2021?四川成都市?九年級二模）計算-23的正確結(jié)果是（）

A.-6B.-8C.8D.6

2.（2021?河北張家口市?九年級一模）若k為正整數(shù)，則（公）3表示的是（）

A.3個（N）相加B.2個（K）相加C.3個（右）相乘D.5個左相乘

3.（2021?山東聊城市?九年級一模）的相反數(shù)是（）

A.1B.C.2021D.

4.（2021?相城中學(xué)七年級月考）計算所得的結(jié)果是（）

A.B.2C.D.

5.(2021?江蘇江都初一月考)計算：(-2)1997x()1996=()

A.2B.1C.0D.-2

6.（2020?江蘇相城初一月考）數(shù)32。19.72。2。?⑶⑼的個位數(shù)是（）

A.1B.3C.7D.9

7.（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級開學(xué)考試）定義一種關(guān)于整數(shù)的“”運(yùn)算:

（1）當(dāng)是奇數(shù)時，結(jié)果為;

（2）當(dāng)是偶數(shù)時，結(jié)果是（其中是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.

例如：取，第一次經(jīng)運(yùn)算是29,第二次經(jīng)運(yùn)算是92,第三次經(jīng)運(yùn)算是23,第四次經(jīng)運(yùn)算是；若，則第2017

次運(yùn)算結(jié)果是（）

A.1B.2C.7D.8

8.（2021?蘇州新草橋中學(xué)七年級月考）大于1的正整數(shù)m的三次基可“分裂”成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，如,

若分裂后，其中有一個奇數(shù)是75,則的值是—.

9.（2021?山西長治市?七年級期末）的底數(shù)是

10.（2021?江蘇七年級月考）計算：

(1),⑵，

(3),(4)

11.(2022?全國初一單元測試)計算

(1)(2)

(3)(4).

12.(2021?婁底市第二中學(xué)七年級期中)求1+2+22+23+...+2236的值,

令S=l+2+22+23+...+22016,則2S=2+22+23+...+22016+22017,

因此2S-5=22