《高等數(shù)學(xué)》授課教案備注：A組題為基本題，B組題為提高題（選）。第頁《高等數(shù)學(xué)》-授課教案第一講高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹、函數(shù)一、新教程序言1、為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（1）文化基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)是一種文化，它的準(zhǔn)確性、嚴(yán)格性、應(yīng)用廣泛性，是現(xiàn)代社會(huì)文明的重要思維特征，是促進(jìn)社會(huì)物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；（2）開發(fā)大腦——數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，對于訓(xùn)練和開發(fā)我們的大腦（左腦）有全面的作用；（3）知識(shí)技術(shù)——數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，是我們生活和工作的一種能力和技術(shù)；（4）智慧開發(fā)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力。2、對數(shù)學(xué)的新認(rèn)識(shí)（1）新數(shù)學(xué)觀——數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，它為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)提供思想和方法，是推動(dòng)人類進(jìn)步的重要力量；（2）新數(shù)學(xué)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的目的：數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì)，包括發(fā)展人的思維能力和創(chuàng)新能力。（3）新數(shù)學(xué)素質(zhì)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的意義：通過“數(shù)學(xué)素質(zhì)”而培養(yǎng)人的“一般素質(zhì)”。[見教材“序言”]二、函數(shù)概念1、函數(shù)定義：變量間的一種對應(yīng)關(guān)系（單值對應(yīng)）。（用變化的觀點(diǎn)定義函數(shù)），記：（說明表達(dá)式的含義）(1)定義域：自變量的取值集合（D）。(2)值域：函數(shù)值的集合，即。例1、求函數(shù)的定義域？2、函數(shù)的圖像：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，則點(diǎn)集就構(gòu)成函數(shù)的圖像。例如：熟悉基本初等函數(shù)的圖像。3、分段函數(shù)：對自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的表達(dá)式。例如：符號(hào)函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值范圍的并集。例2、作函數(shù)的圖像？例3、求函數(shù)三、基本初等函數(shù)熟記：五種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。四、復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u),u=g(x)，且與x對應(yīng)的u使y=f(u)有意義，則y=f[g(x)]是x的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量。說明：(1)并非任意幾個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。如：就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個(gè)復(fù)合體定義域的交集。(3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進(jìn)行；復(fù)合時(shí)，則直接代入消去中間變量即可。例5、設(shè)例6、指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡單函數(shù)）構(gòu)成？(1)(2)(3)五、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合、四則運(yùn)算而成的函數(shù)，且用一個(gè)表達(dá)式所表示。說明：（1）一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但是初等函數(shù)；（2）初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運(yùn)算、四則運(yùn)算。思考題：1、確定一個(gè)函數(shù)需要有哪幾個(gè)基本要素？[定義域、對應(yīng)法則]2、思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？[奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性]3、任意兩個(gè)函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說明？[不能]小結(jié)：函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復(fù)合函數(shù)反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性；分段函數(shù)反映事物聯(lián)系的多樣性。第二講導(dǎo)數(shù)的概念（一）、極限與導(dǎo)數(shù)一、理論基礎(chǔ)——極限（復(fù)習(xí)）1、極限的概念（略講函數(shù)在某點(diǎn)的極限定義）2、極限的四則運(yùn)算法則（略）3、求函數(shù)的極限（幾類函數(shù)的極限）（1）若為多項(xiàng)式，則例1：求下列極限(1)(2)(3)（2）若為有理分式且,則（代入法）例2：求下列極限(1)(2)(3)（3）若分式,當(dāng)時(shí)，，則用約去零因子法求極限例3：求下列極限(1)(2)(3)（4）若分式,當(dāng)時(shí)，分子分母都是無窮大，則適用無窮小分出法求極限。例4：求下列極限(1)(2)(3)3、兩個(gè)重要極限（1）（2）說明：其中可以是的形式，且當(dāng)時(shí)，。例5：求下列極限(1)(2)(3)(4)二、導(dǎo)數(shù)定義（復(fù)習(xí)增量的概念）引例1、速度問題（自由落體運(yùn)動(dòng)）引例2、切線問題（曲線）以上兩個(gè)事例具體含義各不相同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點(diǎn)處的變化率，即計(jì)算函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，這種特殊的極限就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解決問題的思路：1、自變量x作微小變化x，求出函數(shù)在自變量這個(gè)小段內(nèi)的平均變化率，作為點(diǎn)處變化率的近似值；2、對求x0的極限，若它存在，這個(gè)極限即為點(diǎn)處變化率的精確值。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及附近有定義，當(dāng)在點(diǎn)取得增量時(shí)，相應(yīng)函數(shù)取得增量，若當(dāng)時(shí)，比值的極限存在，則稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)或微商。記，即說明：(1)比值是函數(shù)在上的平均變化率；而是在處的變化率，它反映函數(shù)在點(diǎn)隨自變量變化的快慢程度；(2)若不存在（包括），則稱在點(diǎn)不可導(dǎo)；(3)若在（a,b)內(nèi)每點(diǎn)可導(dǎo)，則稱函數(shù)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，記，稱為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。(4)f(x)是x的函數(shù)，而f(x0)是一個(gè)數(shù)值，f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值。三、導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是一種特殊（比值）的極限，即有導(dǎo)數(shù)-有極限，反之不成立。四、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義）由定義知求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：（三步驟）（1）求增量；（2）求比值；（3）求極限。例6、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例7、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？（推導(dǎo)）思考題：1、是否存在，為什么？[0]2、若曲線=在處切線斜率等于3，求點(diǎn)的坐標(biāo)。3、已知，利用導(dǎo)數(shù)定義求極限。[0]小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)從微觀（局部）上研究非均勻量（如：速度、密度、電流、電壓等）的變化率問題，是處理非均勻量的“除法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“勻”代“不勻”或“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。從函數(shù)的觀點(diǎn)看，導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)的局部線性形態(tài)，即可導(dǎo)函數(shù)表示的曲線在局部都可以近似為一條直線（切線），憑著切線的斜率，可以研究函數(shù)的整體性質(zhì)（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的單調(diào)性、極值等）。第三講導(dǎo)數(shù)的概念（二）授課提要：一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1、求的導(dǎo)數(shù)？（由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)）于是我們有公式：同樣，由定義可得基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（u,v為可導(dǎo)函數(shù)）1、代數(shù)和：2、數(shù)乘：例2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)例3、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值？(1)(2)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（作圖說明）結(jié)論：表示曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,f(x0)）的切線斜率。例4、求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程？例5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且，求曲線y=f(x)在點(diǎn)（1,f(1)）處的切線斜率？[導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義]四、導(dǎo)數(shù)的物理意義結(jié)論：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)方程為，則表示物體在時(shí)刻t的瞬間速度。例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求物體在時(shí)刻t=1時(shí)的速度？例7、求曲線上一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的切線平行于直線。[]例8、設(shè)某產(chǎn)品的成本滿足函數(shù)關(guān)系：(x為產(chǎn)量)，求x=2時(shí)的邊際成本，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。思考題：與有無區(qū)別？[，]小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：局部線性之美（）。它將可導(dǎo)曲線在局部線性化，它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法。第四講求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則（一）授課提要：一、基本導(dǎo)數(shù)公式由導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到如下基本導(dǎo)數(shù)公式：二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)u、v為可導(dǎo)函數(shù)，則1、2、3、4、例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)例2、求函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值？(1)(2)例3、設(shè)例4、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？三、二階導(dǎo)數(shù)1、定義：若導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)數(shù)，稱為的二階導(dǎo)數(shù)。記：2、求法：由定義知，求二階導(dǎo)數(shù)的方法與求一階導(dǎo)數(shù)的方法一致。例5、求下列二階導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：，則表示物體在時(shí)刻t的加速度。例6、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：，求t=2時(shí)的速度和加速度？小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運(yùn)動(dòng)的變化率。指路程對時(shí)間的變化率，指速度對時(shí)間的變化率。二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義：反映曲線的凹向。第五講求導(dǎo)法則（二）、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)授課提要：一、復(fù)習(xí)基本導(dǎo)數(shù)公式和法則舉例：（略）二、連續(xù)的概念（作圖直觀理解）1、定義：設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)及附近有定義，當(dāng)時(shí),有，則稱f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。說明：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)有極限，反之不成立。例1、試證在x=0處連續(xù)？三、函數(shù)連續(xù)的條件（１）f(x)在x0點(diǎn)及附近有定義（２）f(x)在x0點(diǎn)的極限存在（３）極限值等于函數(shù)值。例2、討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性？四、初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。五、可導(dǎo)與連續(xù)1、可導(dǎo)與連續(xù)的圖象特征（1）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。（作圖示例）（2）可導(dǎo)函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性（無尖點(diǎn)、折點(diǎn)）2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。例3、試證函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。例4、試證函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系xyOy=|x|xyOy=|x|11xyOy=-1-11六、連續(xù)函數(shù)的極限若f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則例5、求下列極限（1）(2)（3）(4)例6、討論在x=0處的連續(xù)性？思考題：1．如果在處連續(xù)，問||在處是否連續(xù)？[連續(xù)]2．如果在處可導(dǎo)，問||在處是否可導(dǎo)？[不一定]3．求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。小結(jié)：連續(xù)函數(shù)的美學(xué)意義：和諧與奇異之美。連續(xù)體現(xiàn)的是自然和諧、社會(huì)發(fā)展的生生不息；間斷則表現(xiàn)為不規(guī)則和與眾不同，體現(xiàn)了自然界的豐富多彩和社會(huì)發(fā)展中的跳躍性。第六講定積分的概念一、問題引入1、曲邊梯形的定義所謂曲邊梯形是指有三條直線段，其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。（如圖所示）2、引例：如何求曲線所圍成的面積？(特殊曲邊梯形)（1）分析問題若將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一條邊是曲的。設(shè)想：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細(xì)，所得的近似值越接近準(zhǔn)確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。y（2）解決問題（思路）yy=x2第一步：分割y=x2第二步：近似代替第三步：求和01x第四步：取極限 01x二、定積分的定義現(xiàn)實(shí)中許多實(shí)例，盡管實(shí)際意義不同，但解決問題的方法是一樣的：按“分割取近似，求和取極限”的方法，將所求的量歸結(jié)為一個(gè)和式極限。我們稱這種“和式極限”為函數(shù)的定積分。定義：（說明定積分中各符號(hào)的稱謂）由定積分的定義知，以上實(shí)例可以表示成定積分：面積說明：定積分是一個(gè)特殊的和式極限，因此，它是一個(gè)常量，它只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無關(guān)。三、定積分的幾何意義（作圖）當(dāng)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí)，定積分可分成三種形式：1、若在[a,b]上，，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A，即2、若在[a,b]上，，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即3、若在[a,b]上，f(x)可正可負(fù)，則定積分表示x軸上方圖形的面積A1與下方圖形的面積A2之差，即結(jié)論：定積分的幾何意義：“有號(hào)面積”，即。例1、用定積分幾何意義判定下列積分的正負(fù)：（1）（2）例2、用定積分表示由曲線y=x2+1,直線x=1,x=3和y=0所圍成的圖形面積？四、定積分的性質(zhì)（簡略）（1）（2）（3）（4）積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在以a，b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在a，b之間至少存在一個(gè)（中值），使=f()(b－a)y=f(x)xyOabfy=f(x)xyOabf()續(xù)且非負(fù)，定理表明在[a，b]上至少存在一點(diǎn)，使得以[a，b]為底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同底、高為f()的矩形的面積相等，如圖所示．因此從幾何角度看，f()可以看作曲邊梯形的曲頂?shù)钠骄叨?；從函?shù)值角度上看，f()理所當(dāng)然地應(yīng)該是f(x)在[a，b]上的平均值．因此積分中值定理這里解決了如何求一個(gè)連續(xù)變化量的平均值問題．思考題：1、用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù)。[矩形的面積]2、如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義求下列積分的值：（1）,（2）,（3）,（4）.小結(jié)：定積分的本質(zhì)：從宏觀（整體）研究非均勻量的“改變量”問題。是處理非均勻量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。其中，“分”是為了“勻”的需要，而“求和”是整體量的要求。第七講定積分與導(dǎo)數(shù)授課提要：前言：定積分是一個(gè)重要的概念，如果用定義來計(jì)算，計(jì)算復(fù)雜且不易，所以必須尋找新的計(jì)算方法。下面將研究定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。一、原函數(shù)的概念定義：若在某一區(qū)間上有，則稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。如：已知，所以是2x的一個(gè)原函數(shù)，同理，也是它的原函數(shù)。（說明：原函數(shù)不唯一）*二、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且，則稱函數(shù)為變上限函數(shù)。記。它有如下性質(zhì)：(1)；(2)若在[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上可導(dǎo)，且有。由性質(zhì)(2)及原函數(shù)的定義知，p(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。定理（原函數(shù)存在定理）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其原函數(shù)一定存在，且原函數(shù)可表示為例1、求？例2、求？三、N－L公式（直觀推導(dǎo)）設(shè)一輛汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)（如圖），從時(shí)刻a到b，求其經(jīng)過的路程？（1）若已知路程函數(shù)，則；（2）若已知速度函數(shù)，則由定積分有；（3）s(t)與v(t)有如下關(guān)系：，即s(t)是v(t)的一個(gè)原函數(shù)。一般地，有如下定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則說明：(1)N－L公式揭示了定積分與原函數(shù)（不定積分）間的聯(lián)系，給定積分的計(jì)算提供了有效而簡便的方法。(2)由定義知求定積分的步驟：①求原函數(shù)②求原函數(shù)的增量例3、求下列定積分：（1）（2）（3）例4、求由曲線，直線x=0，x=π，y=0所圍成的圖形面積？例5、求曲線所圍成的平面圖形的面積？例6、設(shè)物體的速度，求時(shí)段的距離？思考題：1、?答：因?yàn)槭且詾樽宰兞康暮瘮?shù)，故=0.2、答：因?yàn)槭浅?shù)，故.3、？答：因?yàn)榈慕Y(jié)果中不含，故0.4、？答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知.小結(jié)：N—L公式的意義：將矛盾的“微分”與“積分”統(tǒng)一起來，是哲學(xué)中的“對立統(tǒng)一”規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學(xué)價(jià)值：宏觀上的統(tǒng)一之美。第八講習(xí)題課（導(dǎo)數(shù)與定積分）一、基本概念及方法：1、極限的概念，求極限的方法；2、導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則3、導(dǎo)數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟(jì)意義4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義（經(jīng)濟(jì)意義）5、用N-L公式求定積分二、基本題型：1、求下列極限（1）（2）（3）（4）2、求下列導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）3、求下列導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）4、求下列積分（1）（2）（3）5、求曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程？6、求在t=2時(shí)的速度？7、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)，求其邊際成本？8、求曲線所圍成的圖形的面積？9、已知物體的速度為，求時(shí)段經(jīng)過的路程？10、設(shè)[可加性]11、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積為。[]三、提示與提高：1、無窮小的定義與性質(zhì)定義：若,則稱時(shí)為無窮小。性質(zhì)：有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。例1、求極限，？2、無窮小的比較：（略）當(dāng)時(shí)，有等價(jià)；當(dāng)時(shí)，；例2、當(dāng)時(shí)，比較的階？3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界定理；（2）最值定理；（3）零點(diǎn)定理；（4）介值定理例3、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=f(2),證明方程在[0，1]上至少有一實(shí)根。4、函數(shù)間斷點(diǎn)的分類（略）5、定積分的性質(zhì)（1）；（2）若在[a,b]上有，則特別地，若在[a,b]上有，則（3）對任意實(shí)數(shù)C有（4）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大、最小值分別為M、m，則有（5）設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其在[a,b]上的平均值例3、比較大?。号c例4、求定積分：，其中例5、求在區(qū)間[1,3]上的平均值？第九講求導(dǎo)法則（三）、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（一）一、復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（重點(diǎn)）二、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則（重點(diǎn)）設(shè)u(x),v(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則(1)(2)(3)例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)例2、求的導(dǎo)數(shù)？（由商的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)）于是有同理：例3、求函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)值？例4、求過點(diǎn)（1，2）且與曲線相切的直線方程？三、復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念及分解說明：復(fù)合函數(shù)分解一般從外向內(nèi)分解，分解至基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)即可例5、分解下列函數(shù)（1）（2）（3）四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，則說明：（1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先分清楚函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，求出每一層次簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再使用連鎖法則，就得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）復(fù)合函數(shù)的分解一般按由外向內(nèi)的順序進(jìn)行。例6、求下列導(dǎo)數(shù)（先分解后求導(dǎo)）(1)(2)(3)(4)例7、設(shè)在可導(dǎo)，且，記，其中a為常數(shù)，求？例8、設(shè)？[5e]思考題：1、設(shè)，求？[利用指數(shù)恒等式：]2、設(shè)求？[]小結(jié)：掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則；對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)明確：（1）熟練基本導(dǎo)數(shù)公式；（2）恰當(dāng)分解復(fù)合函數(shù)；（3）正確使用“連鎖法則”。第十講復(fù)合函數(shù)（二）、高階導(dǎo)數(shù)授課提要：一、復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（）例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）例2、設(shè)，求？[]例3、設(shè)[略]例4、設(shè)？[]二、高階導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。說明：求高階導(dǎo)數(shù)就是反復(fù)利用求一階導(dǎo)數(shù)的方法即可。例5、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)？(1)(2)(3)例6、設(shè)？例7、求和的n階導(dǎo)數(shù)？例8、求的n階導(dǎo)數(shù)？[]例9、求的n階導(dǎo)數(shù)？[]三、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義（復(fù)習(xí)）設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)，則表示物體在時(shí)刻t的加速度。例10、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：時(shí)的速度和加速度？小結(jié)：理解高階導(dǎo)數(shù)的“遞歸定義法”（即，高一階導(dǎo)數(shù)是通過低一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)而來）；一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以反映事物是增長還是減少；二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)則說明增長或減少的快慢。第十一講隱函數(shù)求導(dǎo)、對數(shù)求導(dǎo)法授課提要：一、隱函數(shù)概念自變量與因變量的函數(shù)關(guān)系由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。如：等所確定的y是x的隱函數(shù)。說明：有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù)，但更多的不能化成顯函數(shù)；同時(shí)應(yīng)明確并非任意一個(gè)方程都能確定一個(gè)隱函數(shù)。二、隱函數(shù)的求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)方法：在方程的兩邊各項(xiàng)分別對x求導(dǎo)，視y為x的函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，最后解出y'即可。例1、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例2、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例3、求隱函數(shù)在點(diǎn)（0，1）的導(dǎo)數(shù)值？[1/e]說明：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般是含x和y的表達(dá)式。例4、求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程？三、對數(shù)求導(dǎo)法對于冪指函數(shù)(其中u,v是x的函數(shù)），或由多項(xiàng)式乘除運(yùn)算和乘方、開方所得函數(shù)的求導(dǎo)，其方法：應(yīng)先對方程兩邊取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。（即先取對數(shù)，后求導(dǎo)數(shù)）例5、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例6、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?例7、求導(dǎo)數(shù)：*四、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)，且函數(shù)的反函數(shù)存在，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得：說明：參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)一般是含參變量t的表達(dá)式。例8、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？思考題：1、如何求的導(dǎo)數(shù)？[兩次取對數(shù)后再求導(dǎo)數(shù)]2、求的導(dǎo)數(shù)？[先區(qū)對數(shù)再求導(dǎo)數(shù)]3、一球形細(xì)胞以/天增長體積，當(dāng)3的半徑為時(shí)，其半徑增長速度是多少？[]小結(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵：（1）明確方程中是的函數(shù)，即；（2）方程中各項(xiàng)最終是關(guān)于求導(dǎo)；（3）解出（一般是含的表達(dá)式）。參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：其公式是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則推導(dǎo)得來。第十二講習(xí)題課（函數(shù)求導(dǎo)的方法）一、函數(shù)求導(dǎo)的基本方法：1、由定義求導(dǎo)（三步驟）；2、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與法則；3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（連鎖法則）；4、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法、對數(shù)求導(dǎo)法、*參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)5、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。二、基本題型：1、求下列導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）2、求下列導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）3、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)4、設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求物體在t=0時(shí)的速度和加速度？5、設(shè)，求？6、設(shè)？7、設(shè)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，求曲線在點(diǎn)處的切線方程？8、求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)9、求由方程所確定的函數(shù)y在點(diǎn)（0，1）處的導(dǎo)數(shù)？10、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？11、已知，求？第十三講函數(shù)的單調(diào)性授課提要：一、拉格郎日中值定理xyabPOAB若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在xyabPOAB說明：(1)此定理是微積分學(xué)的重要定理，它準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的平均變化率和函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，它是用函數(shù)的局部性來研究函數(shù)的整體性的重要工具。(2)此定理是充分而不必要的。例1、驗(yàn)證：函數(shù)是否滿足拉格郎日的條件，若滿足，求出？[任取閉區(qū)間]例2、證明：[用Lagrange定理]二、羅比達(dá)法則（敘述）1、使用條件：（1）屬于的不定式；（2）導(dǎo)數(shù)的極限存在；2、使用方法：先求導(dǎo)數(shù)，后求極限；滿足條件時(shí)可連續(xù)使用。例2、求下列極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）三、函數(shù)的單調(diào)性及判定（一階導(dǎo)數(shù)）1、復(fù)習(xí)單調(diào)性的概念：（略）2、作圖說明函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān)：（作圖演示）3、單調(diào)性判定定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(1)若,則f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)增加；(2)若,則f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)減少；(3)若,則在（a,b）內(nèi)，f(x)=C。例3、判定的單調(diào)性？例4、判定函數(shù)的單調(diào)性？ 四、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間1、駐點(diǎn)的概念（一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)）2、求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求出的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)將定義域區(qū)間分成若干部分區(qū)間；(3)列表討論函數(shù)在各部分區(qū)間上的單調(diào)性。例5、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？例6、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？ 例7、證明：當(dāng)（作輔助函數(shù)）第十四講函數(shù)的極值授課提要：一、函數(shù)的極值1、定義：（略）（作圖直觀理解）說明：(1)極值是一個(gè)局部概念；(2)極值點(diǎn)是函數(shù)增減或減增的分界點(diǎn)。2、極值存在的必要條件若函數(shù)f(x)在點(diǎn)取極值，則不存在。說明：(1)若,不一定是極值點(diǎn)。如：在x=0處。(2)若不存在，也可能是極值點(diǎn)。如：在x=0處。二、極值存在的第一充分條件（一階導(dǎo)數(shù)法：略）例1、求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值？例2、求的單調(diào)區(qū)間和極值？三、極值存在的第二充分條件（二階導(dǎo)數(shù)法）設(shè)f(x)在點(diǎn)有一、二階導(dǎo)數(shù)，且，則(1)若,則f(x0)為極小值；(2)若,則f(x0)為極大值。例3、求函數(shù)的極值？例4、求函數(shù)的極值？四、求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)定義域；(2)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，確定駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)用極值的第一或第二充分條件確定極值點(diǎn)；(4)把極值點(diǎn)代入原函數(shù)f(x)，求出極值并指明是極大還是極小。說明：利用第一、二充分條件都可判定函數(shù)的極值，但必須注意適用范圍。例5、試問a為何值時(shí)，函數(shù)處取得極值？是極大值還是極小值？并求極值？思考題：1、可能極值點(diǎn)有哪幾種？[駐點(diǎn)或不存在的點(diǎn)]2、如何判定可能極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？[兩個(gè)極值存在的充分條件]小結(jié)：函數(shù)的極值是指函數(shù)的局部性質(zhì)（小范圍），體現(xiàn)了事物的“相對性”。第十五講曲線的凹凸性授課提要：一、凹凸的概念1、在區(qū)間上作函數(shù)的圖像。（比較曲線的變化）說明：對函數(shù)的研究來說，僅有單調(diào)性、極值是不夠的。2、定義：（略）（通過曲線與切線的位置關(guān)系定義）說明：(1)注意拐點(diǎn)的定義（凹與凸的分界點(diǎn)，即二階駐點(diǎn)）；(2)凹凸性可看成二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。二、凹凸性判定定理：若函數(shù)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且對于任意有（1），則在內(nèi)是凹的；（2），則在內(nèi)是凸的；（3）凹與凸的分界點(diǎn)，稱為拐點(diǎn)。例1、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？例2、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？三、求曲線凹凸區(qū)間的步驟（比較求單調(diào)區(qū)間與極值的步驟）（1）求；（2）求二階駐點(diǎn)和二階奇點(diǎn)；（3）分段（區(qū)間）討論凹凸性、確定拐點(diǎn)。例3、求曲線的單調(diào)和凹凸區(qū)間，極值與拐點(diǎn)？四、凹凸性的應(yīng)用（1）由曲線的凹凸性可知函數(shù)增長和減少的快慢程度。例4、某公司的一次廣告促銷活動(dòng)中，銷量提高了，但銷量關(guān)于時(shí)間的曲線是凹的，這表明該公司的經(jīng)營情況如何？為什么？若曲線是凸的呢？[表明銷量增長速度很快]（2）了解曲線的凹凸性便于作函數(shù)的圖像。例5、作函數(shù)的圖像？思考題：1、畫出的圖像，說明函數(shù)遞增最快的點(diǎn)和遞增最慢的點(diǎn)？[參見教材P76]小結(jié)：曲線的凹凸性表明函數(shù)的遞增（或遞減）的快慢程度，它是指一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性。第十六講函數(shù)的最值授課提要：一、最值的定義（略）說明：最值是一個(gè)全局概念，是針對整個(gè)區(qū)間而言的。二、求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上最值的一般方法（比較法）。例1、求函數(shù)在[-2，2]上的最值？三、兩種特殊情況下求最值：(1)若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)、單調(diào)，則f(a),f(b)一定是最值；(2)若f(x)在某一區(qū)間上僅有唯一駐點(diǎn)，且該駐點(diǎn)是極值點(diǎn)，則此極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)。例2、求在[1，2]上和R上的最值？例3、求在[0，2]上的最值？四、最值應(yīng)用在用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題的最值時(shí)，若所建立的函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，又根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，可以判定(a,b)內(nèi)必有最大（最?。┲担椅ㄒ获v點(diǎn)就是最值點(diǎn)，勿需進(jìn)行數(shù)學(xué)判定。例4、用邊長為48cm的正方形鐵皮作一個(gè)無蓋鐵盒，問在四周截去多大的四個(gè)相同的小正方形后，才能使所作的鐵盒容積最大？例5、若長方形周長一定時(shí)，何時(shí)面積最大？說明：求實(shí)際問題的最值時(shí)，很重要一點(diǎn)是確定所建立函數(shù)關(guān)系的定義域。例6、設(shè)總成本和總收入由下式給出，其中，求獲得最大利潤的產(chǎn)量x?五、最優(yōu)化問題及數(shù)學(xué)建模（p71，例15）求出某些量的最大和最小對于許多實(shí)際問題都很重要，如求時(shí)間最短、利潤最大、成本最低等。相應(yīng)地，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題幾乎都是優(yōu)化問題，或必須用優(yōu)化思想、方法去分析解決問題。例7、樂山大佛通高71米，若乘船觀賞大佛的游人眼睛在大佛腳底水平線下1米，為得到觀賞大佛的最佳視角（應(yīng)使視角最大），這時(shí)游人離大佛（中心線）有多遠(yuǎn)的水平距離？[8.5米]思考題：畫圖說明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的極值與最值之間的關(guān)系。[局部與整體]小結(jié)：函數(shù)的最值指函數(shù)的區(qū)間特性。對于某個(gè)區(qū)間，它是絕對的，對于不同的區(qū)間，它是相對的；體現(xiàn)了“絕對性”與“相對性”的辨證統(tǒng)一。第十七講微分（一）x0x0x一、微分定義1、問題：一塊正方形鐵皮受溫度變化的影響，其邊長由變化到時(shí)，其面積改變了多少？解：當(dāng)較小時(shí)，。2、定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的微分，記dy，即，一般地，。若令,則,所以,即。(dx稱為自變量的微分)說明：（1）函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上自變量的微分。（2）說明微分、微商符號(hào)的含義。例1、設(shè),當(dāng)時(shí)，求dy和△y?例2、求下列函數(shù)的微分：(1)(2)(3)二、可微與可導(dǎo)之間的關(guān)系定理：若函數(shù)f(x)在某點(diǎn)可微，則函數(shù)在這點(diǎn)可導(dǎo)；反之，結(jié)論成立。說明：此定理僅對一元函數(shù)成立。例3、討論函數(shù)y=|x-1|在x=1處的可微性？（可導(dǎo)性）三、微分的幾何意義設(shè)y=f(x)，則dy等于曲線在點(diǎn)（x,y）處的切線的縱坐標(biāo)的增量。（作圖）四、微分基本公式由和導(dǎo)數(shù)基本公式得到微分基本公式。（略）五、復(fù)合函數(shù)的微分設(shè)y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成函數(shù)y=f[g(x)]，則說明：不論u是中間變量還是自變量，微分的形式都可表示為:（一階微分的形式不變性）例4、填空(1)(2)(3)(4)(5)(6)例5、求下列函數(shù)的微分：(1)(2)(3)例6、求函數(shù)在x=0和x=1處的微分？思考題：1、回答下列問題：(1)f(x)在點(diǎn)x0的微分是否是一個(gè)函數(shù)？[是](2)f(x)在(a,b)上可微，f(x)的微分隨哪些變量變化？[](3)du與△u是否相等？[u為中間變量時(shí)不相等]2、可導(dǎo)與可微有何關(guān)系？其幾何意義分別表示什么？有何區(qū)別？[等價(jià)]3、在一點(diǎn)可微，可導(dǎo)，連續(xù)間有何關(guān)系？小結(jié)：微分的本質(zhì)：函數(shù)增量的線性主部，是函數(shù)局部線性化的依據(jù)。第十八講微分（二）授課提要：一、湊微分式例1、填空：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)二、微分應(yīng)用1、利用微分求導(dǎo)數(shù)（微分的形式不變性）對于隱函數(shù)的求導(dǎo)，我們可以在方程的兩邊求微分，通過求微商而求出導(dǎo)數(shù)。例2、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例3、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？2、近似公式由微分的定義知，當(dāng)，于是有近似公式：例4、求近似值：？例5、球殼外徑為20厘米，厚度為2毫米，求球殼體積的近似值？在上面公式中，取例6、當(dāng)x較小時(shí)，證明下列公式：(1)(2)*3、泰勒公式（選講）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則例7、用泰勒公式求極限：[1/2]提示：小結(jié)：掌握微分的應(yīng)用——近似計(jì)算，熟練“湊微分”式子。第十九講習(xí)題課（導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、微分）一、基本概念拉格郎日定理、單調(diào)性、極值、最值、微分二、基本法則1、拉格郎日定理2、洛比達(dá)法則（求極限的方法）3、極值存在的充分條件4、單調(diào)性的判別法5、最值的求法6、微分的應(yīng)用三、典型例題1、求下列極限：(1)(2)(3)2、證明：。3、證明：。4、設(shè)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)為偶函數(shù)，則f'(x)為奇函數(shù)。5、證明：方程在內(nèi)有3個(gè)實(shí)數(shù)根。6、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？7、求的極值？8、求曲線的單調(diào)區(qū)間與極值，凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)？9、容積為16π立方分米的圓柱形罐頭盒，怎樣設(shè)計(jì)才能使用料最省？10、設(shè)函數(shù)在[0，1]上可導(dǎo)，對[0，1]上的任意x有0<f(x)<1，且，試證在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)x使f(x)=x11、填空(1)(2)(3)(4)(5)(6)12、證明近似公式：（當(dāng)|x|較小時(shí)）(1)(2)（3）13、求下列函數(shù)的微分：(1)(2)(3)14、已知，求？15、設(shè)提示：四、提示與提高1、洛比達(dá)法則求極限的注意事項(xiàng)（1）只有滿足定理?xiàng)l件時(shí)，才能使用。例1、求極限？（不滿足條件）（2）用一次法則后，若算式比較繁瑣應(yīng)進(jìn)行化簡；若算式中有非未定式，應(yīng)將其分離出來，并算出結(jié)果。例2、求極限？2、證明不等式的方法（拉格郎日定理、函數(shù)的單調(diào)性）在使用函數(shù)單調(diào)性證明不等式中，若的符號(hào)不能明顯確定，則需進(jìn)一步確定的單調(diào)性（即在某一部分區(qū)間上的符號(hào)。例3、證明當(dāng)3、求實(shí)際問題的最值時(shí)：（1）分析問題，建立目標(biāo)函數(shù)，并確定定義域；（2）求解極值問題。例4、用長200的線構(gòu)成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形，問如何分配才能使其構(gòu)成的圖形面積之和最小？第二十講不定積分的概念、直接積分法授課提要：一、不定積分的概念1、積分←→微分（互逆問題）如：已知，求f(x)?2、原函數(shù)定義：（略）例1、，求F(x)？說明：一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不唯一，各原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。3、原函數(shù)存在定理：（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)）結(jié)論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定有原函數(shù)。4、不定積分：原函數(shù)的全體。記：(說明符號(hào)意義)說明：（1）由定義知，求不定積分就是求原函數(shù)再加上任意常數(shù)即可；（2）積分號(hào)“”是一種運(yùn)算符號(hào)，它表示對已知函數(shù)求其全部原函數(shù)．所以在不定積分的結(jié)果中不能漏寫C．例2、求不定積分：(1)；(2)；(3)二、不定積分的性質(zhì)（體現(xiàn)了微分與積分在運(yùn)算上的互逆性）(1)(2)例3、判斷正誤：(1)；(2)；(3)三、不定積分基本公式：由不定積分定義和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式得到。（舉例說明）例4、求下列積分：(1)(2)(3)(4)四、直接積分法（包括：積分公式、代數(shù)變形、三角變形等）1、積分基本公式：（略P84）2、積分的運(yùn)算法則：；例5、求下列積分：(1)(2)(3)(4)小結(jié)：與求導(dǎo)數(shù)相比較，求不定積分更具有技巧和靈活性，往往對被積函數(shù)作恒等變形，轉(zhuǎn)化為基本公式中的積分形式后再計(jì)算，所以熟練基本積分公式是求不定積分的關(guān)鍵和重點(diǎn)。第二十一講換元積分法（一）授課提要：一、換元積分法問題：如何求積分：,等顯然，用直接積分法無法解決此類積分，必須引入新積分法換元積分。1、一般地，設(shè)F(u)是f(u)的原函數(shù)，且u=g(x)可導(dǎo)，則有湊微分換元回代說明：在換元積分中，最后結(jié)果一定要將新變量換成原來的積分變量。例1、求下列不定積分：（換元）(1)(2)(3)2、湊微分：在上述的換元積分中，由于,所以（湊微分）說明：與換元積分法比較，湊微分省略了“換元、回代”兩步，所以湊微分更簡單一些，其關(guān)鍵在于“湊微分”。例2、求下列不定積分：（湊微分）(1)(2)(3)(4)二、在湊微分時(shí)，常用下列微分式子：三、求下列不定積分：1、2、3、4、5、6、例3、證明：若，則第二十二講換元積分法（二）授課提要：一、復(fù)習(xí)湊微分式子（略）二、湊微分舉例求下列不定積分：(1)(2)(3)(4)(5)三、第二類換元積分法（包括根式換元、三角換元）求下列不定積分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)說明：1、當(dāng)被積函數(shù)中含有x的根式時(shí)，一般可作根式換元去掉根式，從而得到積分。2、三角換元用于(1)被積函數(shù)中含有，令x=asint或x=acost；(2)被積函數(shù)中含有，令x=atant或x=acott；(3)被積函數(shù)中含有，令x=asect或x=acsct．思考題：1、第一換元法（即湊微分法）與第二換元法的區(qū)別是什么？[順序相反]2、第二換元法有何規(guī)律可尋？[三角與根式換元]小結(jié)：本講讓學(xué)生掌握簡單函數(shù)的第二類換元積分。注意：第二類換元積分法主要用于被積函數(shù)中含有根式的情況，換元的目的是去掉根號(hào)。第二十三講分部積分法授課提要：一、問題：如何求,,等積分？二、分部積分公式：（乘積的微分公式的逆運(yùn)算）例1、求?(選x作為u,選exdx作為dv)說明：正確使用分部積分的關(guān)鍵是：適當(dāng)選擇u和dv.一般考慮兩點(diǎn)：(1)v要容易求得；(2)較更易積分。三、舉例：（三種類型的積分）(1)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)或三角函數(shù)的乘積，選冪函數(shù)為u；(2)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，選對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u；(3)循環(huán)積分：經(jīng)過有限次分部積分后，等式中出現(xiàn)相同積分式。分部積分法中u、v選擇的規(guī)律：被積表達(dá)式(Pn(x)為多項(xiàng)式)u(x)dvPn(x)sinaxdx，Pn(x)cosaxdx，Pn(x)eaxdxPn(x)sinaxdx，cosaxdx，eaxdxPn(x)lnxdx，Pn(x)arcsinxdx，Pn(x)arctanxdxlnx，arcsinx，arctanxPn(x)dxeaxsinbxdx，eaxcosbxdxeax，sinbx，cosbx均可選作u(x)，余下作為dv例2、求下列不定積分：1、2、3、4、5、6、7、例3、設(shè)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，求？[兩次使用分部積分]例4、設(shè)，求？[先換元再積分]例5、設(shè)[令lnx=t]四、總結(jié)求不定積分得一些技巧：求不定積分方法：考慮直接積分===》湊微分===》分部積分即：(1)首先考慮能否直接用積分基本公式和性質(zhì)；(2)其次考慮能否用湊微分法；(3)再考慮能否用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q即第二類換元法；(4)對兩類不同函數(shù)的乘積，能否用分部積分法；(5)能否綜合運(yùn)用或反復(fù)使用上述方法；(7)另外還可使用簡明積分表獲得啟發(fā)，或者運(yùn)用MathCAD數(shù)學(xué)軟件包得到結(jié)果。小結(jié)：本講讓學(xué)生掌握分部積分的方法。注意：分部積分法主要用于求被積函數(shù)是乘積的積分問題，實(shí)質(zhì)上是對函數(shù)乘積求導(dǎo)法則的逆運(yùn)算。第二十四講定積分的計(jì)算授課提要：N--L公式：設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則定積分計(jì)算方法（同不定積分方法一致）一、直接積分法例1、求下列定積分（1）（2）（3）二、換元積分法（湊微分）例2、求下列定積分（1）（2）（3）（4）（5）說明：在定積分的換元積分中，換元時(shí)，積分限也要換。若用湊微分法計(jì)算定積分時(shí)，就不用換積分限了。（建議：盡量使用湊微分法）三、分部積分法例3、求下列定積分（1）（2）（3）四、兩個(gè)重要結(jié)論結(jié)論：設(shè)f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，（1）若f(x)為奇函數(shù)，則；（2）若f(x)為偶函數(shù)，則。－a－axyOa－axyOa例4、利用上面結(jié)論求下列定積分：（1）（2）（3）（4）小結(jié)：掌握求定積分的N-L公式；熟練掌握定積分的計(jì)算方法。第二十五講定積分的應(yīng)用（一）授課提要：一、定積分的微元法在定積分的定義中，我們采用了“分割、取近似、求和、取極限”的方法，求得了一個(gè)整體量。在這四個(gè)步驟中，關(guān)鍵是“局部取近似”。事實(shí)上，許多幾何和物理量都可以使用此方法。為了方便，我們把計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的某個(gè)量Q的定積分的方法簡化為：（稱以下方法為微元法）（1）求微分：找出量Q在任一具有代表性的區(qū)間[x,x+dx]上部分量△Q的近似值dQ，即dQ=f(x)dx（微元）（2）求積分：整體量Q就是dQ在區(qū)間[a,b]上的定積分，即Q=。以求曲邊梯形面積A問題為例，用微元法就可以簡寫成這樣：xyOxx+dxSy=f(x)ab任取微段[xxyOxx+dxSy=f(x)abA=．二、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系中）1、復(fù)習(xí)曲邊梯形的定義：（略）2、面積計(jì)算：（用微元法或幾何意義求解）平面曲線所圍成的圖形的面積的計(jì)算，可歸結(jié)為曲邊梯形的面積計(jì)算，而曲邊梯形的面積計(jì)算就是定積分的計(jì)算問題。因此，求平面圖形的面積可概括為：平面圖形=曲邊梯形=定積分=通過定積分的計(jì)算求出面積例1、求曲線y=x2、直線x=1和x軸所圍成圖形的面積？y解：如圖所示，取x為積分變量，積分區(qū)間為[0,1]yx1則A=x1例2、求曲線y=x2、x=y2所圍成圖形的面積？xyOyxyOy2=xy=x211成為兩個(gè)曲邊三角形面積之差。即取x為積分變量，積分區(qū)間為[0,1]所以A=例3、求曲線y=x2、直線y=2x+3所圍成圖形的面積？例4、求曲線y=x3、直線y=8、x=0所圍成圖形的面積？說明：可以使用“微元法”求以上例題的面積。小結(jié)：微元法是用于求[a,b]區(qū)間上非均勻可加量的方法，其精神是：（1）局部求“微元”；（2）整體求“積分”。其關(guān)鍵是求“微元”，即尋找整體量的微分；其方法是：求的線性主部，或者說求與成線性關(guān)系的的等價(jià)無窮?。〞r(shí)）。第二十六講定積分的應(yīng)用（二）授課提要：旋轉(zhuǎn)體的體積1、旋轉(zhuǎn)體的定義：一平面圖形繞平面內(nèi)一定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的立體。如：圓柱體、圓錐體、球體等都是旋轉(zhuǎn)體。2、旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算：（用微元法或公式法求解）現(xiàn)求曲線y=f(x)、直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。（圖示如下）xxOyx=g(y)dcxxOyxA(x)f(x)bay=f(x)公式推導(dǎo)：由微元法知，取x為積分變量，在區(qū)間[a,b]上取任一小區(qū)間[x,x+dx]，此時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的體積微元所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：同理得曲線x=g(y)、直線y=c,y=d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。例5、求直線y=x,x=1,y=0所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得立體得體積？yy=x解：如圖所示，取x為積分變量yy=x積分區(qū)間為[0,1],則10x10x例6、求曲線y=x2、直線x=1,y=0所圍成圖形分別繞x、y軸旋轉(zhuǎn)所得立體得體積？例7、求曲線y=sinx(0x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積Vx．xOOy解：Vx=xOOy==．小結(jié)：掌握旋轉(zhuǎn)體的體積公式或利用“微元法”求旋轉(zhuǎn)體的體積。第二十七講習(xí)題課（不定積分、定積分）一、基本概念及方法1、原函數(shù)、不定積分2、不定積分的計(jì)算方法(1)直接積分法(2)湊微分法(3)分部積分法3、N--L公式4、求定積分的方法：(1)直接積分法(2)湊微分法(3)分部積分法二、如何求積分（難點(diǎn)）：由于積分只有兩條運(yùn)算法則，所以積分比微分的運(yùn)算要復(fù)雜得多，根據(jù)被積函數(shù)的不同情況，考慮使用直接、湊微分、分部積分法，同時(shí)，應(yīng)該明確有較多函數(shù)是不可積的。三、基本題型1、求不定積分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、設(shè)，求f(x)?3、設(shè)一曲線過點(diǎn)(1,-1)，且曲線上每點(diǎn)的切線斜率為1-x，求此曲線方程？4、判斷正誤：5、設(shè)作直線運(yùn)動(dòng)物體的加速度，當(dāng)t=0時(shí)，速度v=1，路程s=0，求物體的運(yùn)動(dòng)方程？6、設(shè)某函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)有極小值，當(dāng)x=-2時(shí)有極大值，已知此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求此函數(shù)？6、設(shè)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，求？7、設(shè)？8、求積分曲線族中，過點(diǎn)（0，1）的曲線方程？9、計(jì)算定積分：（1）（2）（3）10、求曲線與直線所圍成的平面圖形的面積？11、求與所圍平面繞x軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積？12、設(shè)13、求極限：？14、證明方程在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。15、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(x)>0，問方程在(a,b)內(nèi)有多少個(gè)實(shí)根？16、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明：。17、用定積分求極限：18、利用定積分的性質(zhì)求極限：？19、設(shè)三、提示與提高1、分段函數(shù)的不定積分（調(diào)整分段積分常數(shù)，使原函數(shù)在分段點(diǎn)連續(xù)）例1、設(shè)？2、第一類、第二類換元積分法的區(qū)別第一類換元積分（湊微分）：先分解被積函數(shù)，再作變換；第二類換元積分：先作變換，再求積分；例2、求下列積分（1）（2）（3）3、有理分式的積分通常將分式化成幾個(gè)簡單分式之和（方法：待定系數(shù)法或拼湊法），再求積分。例3、求下列積分（1）（拼湊）