PAGEPAGE1課時(shí)跟蹤檢測(三十一)[高考根底題型得分練]1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于()A.eq\f(－1n＋1,2) B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)π D．coseq\f(n＋2,2)π答案：D解析：令n＝1,2,3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確．2．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，那么數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是()A.eq\f(16,3) B．eq\f(13,3)C．4 D．0答案：D解析：∵an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2＋eq\f(3,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an取得最大值為0.3．[2022·湖北黃岡模擬]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－3 B．a(chǎn)n＝2n＋3C．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2)) D．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n＋3，n≥2))答案：C解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于a1的值不適合上式，應(yīng)選C.4．[2022·河北保定調(diào)研]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，那么其通項(xiàng)公式為an＝()A．2n－1 B．2n－1＋1C．2n－1 D．2(n－1)答案：A解析：解法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗(yàn)證可知，an＝2n－1.解法二：由題意知，an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.5．[2022·山西四校聯(lián)考]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝2an－n，那么an＝()A．2n－1－1 B．2n－1C．2n－1 D．2n＋1答案：B解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，假設(shè)a1＝2，那么a8－a4＝()A．7 B．6C．5 D．4答案：D解析：依題意，得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.7．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的個(gè)位數(shù)，那么a2015＝()A．8 B．6C．4 D．2答案：D解析：由題意，得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以數(shù)列中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2015＝a335×6＋5＝a5＝2.8．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)2014＝－1，S2014＝2 B．a(chǎn)2014＝－3，S2014＝5C．a(chǎn)2014＝－3，S2014＝2 D．a(chǎn)2014＝－1，S2014＝5答案：D解析：由an＋1＝an－an－1(n≥2)知，an＋2＝an＋1－an，那么an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以當(dāng)k∈N時(shí)，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2014＝a4＝－1，S2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*，都有a1a2a3·…·an＝n2，那么a3＋答案：eq\f(61,16)解析：由題意知，a1a2a3·…·an－1＝(n∴an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2(n≥2)，∴a3＋a5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(61,16).10．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，那么它的通項(xiàng)公式an＝________.答案：eq\f(1,n)解析：∵(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)＋an＋1·an－naeq\o\al(2,n)＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.又an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·eq\f(a5,a4)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)×…×eq\f(n－1,n)，∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).11．[2022·山西太原二模]數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，那么an＝________.答案：eq\f(2,n2－n＋2)解析：由，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝n，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝n－1，eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－2)＝n－2，…，eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝1，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝eq\f(nn－1,2)，∴eq\f(1,an)＝eq\f(n2－n＋2,2)，∴an＝eq\f(2,n2－n＋2).12．a(chǎn)n＝n2＋λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，那么實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．答案：(－3，＋∞)解析：因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.[沖刺名校能力提升練]1．[2022·山東日照實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考]如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1，且eq\f(an－1－an,an－1)＝eq\f(an－an＋1,an＋1)(n≥2)，那么這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)等于()A.eq\f(1,210) B．eq\f(1,29)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,10)答案：C解析：∵eq\f(an－1－an,an－1)＝eq\f(an－an＋1,an＋1)，∴1－eq\f(an,an－1)＝eq\f(an,an＋1)－1，eq\f(an,an－1)＋eq\f(an,an＋1)＝2，∴eq\f(1,an－1)＋eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列．又d＝eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,a10)＝eq\f(1,2)＋9×eq\f(1,2)＝5，故a10＝eq\f(1,5).2．{an}滿足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，那么eq\f(an,n)的最小值為()A．21 B．10C.eq\f(21,2) D．eq\f(17,2)答案：C解析：由條件可知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33.又n＝1時(shí)，a1＝33滿足此式，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1.令f(n)＝eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1，那么f(n)在[1,5]上為減函數(shù)，在[6，＋∞)上為增函數(shù)，又f(5)＝eq\f(53,5)，f(6)＝eq\f(21,2)，那么f(5)>f(6)，故f(n)＝eq\f(an,n)的最小值為eq\f(21,2).3．[2022·北京海淀區(qū)期末]假設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，那么數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為()A．6 B．7C．8 D．9答案：B解析：∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設(shè){an}的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0，))k∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3k＋1≤0，))∴eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3).∵k∈N*，∴k＝7.∴滿足條件的n的值為7.4．[2022·貴州貴陽監(jiān)測]數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，那么該數(shù)列的前2015項(xiàng)的乘積a1a2a3·…·a2015＝________.答案：3解析：由題意可得，a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝2＝a1，∴數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，而2015＝4×503＋3，a1a2a3a4＝1，∴前2015項(xiàng)的乘積為1503·a1a25．[2022·甘肅天水一模]數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵an＋an＋1＝2n，①∴an＋1＋an＋2＝2n＋1，②②－①，得an＋2－an＝2n.由a1＝1，a1＋a2＝2，得a2＝1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1＝2n－2＋2n－4＋…＋2＋1＝eq\f(1,3)×2n＋eq\f(1,3)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2＝2n－2＋2n－4＋…＋22＋1＝eq\f(1,3)×2n－eq\f(1,3).故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×2n＋\f(1,3)，n為奇數(shù)，,\f(1,3)×2n－\f(1,3)，n為偶數(shù).))6．?dāng)?shù)列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)假設(shè)a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)假設(shè)對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．解：(1)∵an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又∵a＝－7，∴an＝1＋eq\f(1,2n－9)