PAGEPAGE52022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一局部專題篇專題三數(shù)列第二講數(shù)列的綜合應(yīng)用課時作業(yè)理1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1(n∈N*)，那么a2017＝()A．1 B．0C．－1 D．2解析：∵an＋1＝(an－1)2，又a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項為1，∴a2017＝1，應(yīng)選A.答案：A2．正項數(shù)列{an}的前n項的乘積Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))(n∈N*)，bn＝log2an，那么數(shù)列{bn}的前n項和Sn中的最大值是()A．S6 B．S5C．S4 D．S3解析：Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝log2(a1a2…an)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝log22＝－2n2＋12n＝－2(n－3)2＋18.∴當(dāng)n＝3時，Sn最大，即S3最大．應(yīng)選D.答案：D3．(2022·株州模擬)函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，當(dāng)x<0時，f(x)>1，且對任意的實數(shù)x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．假設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝eq\f(1,f－2－an)(n∈N*)，那么a2017的值為()A．4033 B．4029C．4249 D．4209解析：根據(jù)題意，不妨設(shè)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，那么a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝eq\f(1,f－2－an)，∴an＋1＝an＋2，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴an＝2n－1，∴a2017＝4033.答案：A4．(2022·河南名校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中的a4，a2016是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的極值點，那么loga1010＝()A.eq\f(1,2) B．2C．－2 D．－eq\f(1,2)解析：因為f′(x)＝3x2－12x＋4，而a4和a2016為函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的極值點，所以a4和a2016為f′(x)＝3x2－12x＋4＝0的根，所以a4＋a2016＝4，又a4，a1010，a2016成等差數(shù)列，所以2a1010＝a4＋a2016，即a1010＝2，所以loga1010＝－eq\f(1,2)，應(yīng)選D.答案：D5．?dāng)?shù)列{an}滿足eq\f(lna1,2)·eq\f(lna2,5)·eq\f(lna3,8)·…·eq\f(lnan,3n－1)＝eq\f(3n＋2,2)(n∈N*)，那么a10＝()A．e26 B．e29C．e32 D．e35解析：由題意可知，等式左邊各個因式的分母成等差數(shù)列{3n－1}，右邊為eq\f(3n＋2,2)，又因為左邊是連乘式，因此各個因式的分子與后一個因式的分母相同，因此lnan對應(yīng)的下一個因式的分母是3n＋2，即lnan＝3n＋2，所以an＝e3n＋2，所以a10＝e32，應(yīng)選C.答案：C6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足S15>0，S16<0，那么eq\f(S1,a1)，eq\f(S2,a2)，…，eq\f(S15,a15)中最大的項為()A.eq\f(S6,a6) B.eq\f(S7,a7)C.eq\f(S9,a9) D.eq\f(S8,a8)解析：由S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8>0，得a8>0.由S16＝eq\f(16a1＋a16,2)＝eq\f(16a9＋a8,2)<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0.所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．所以a1，…，a8為正，a9，…，an為負(fù)，且S1，…，S15為正．所以eq\f(S9,a9)<0，eq\f(S10,a10)<0，…，eq\f(S15,a15)<0.又0<S1<S2<…<S8，a1>a2>…>a8>0，所以0<eq\f(S1,a1)<eq\f(S2,a2)<…<eq\f(S8,a8).所以最大的項為eq\f(S8,a8)，應(yīng)選D.答案：D7．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，那么S2017＝________.解析：∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n，①∴n＝1時，a2＝2，n≥2時，an·an－1＝2n－1，②∵①÷②得eq\f(an＋1,an－1)＝2，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，∴S2017＝eq\f(1－21009,1－2)＋eq\f(2×1－21008,1－2)＝21010－3.答案：21010－38．(2022·昆明模擬)函數(shù)f(x)由下表定義：x12345f(x)41352假設(shè)a1＝5，an＋1＝f(an)(n∈N*)，那么a2017＝________.解析：依題意得a1＝5，a2＝f(a1)＝2，a3＝f(a2)＝1，a4＝f(a3)＝4，a5＝f(a4)＝5，a6＝f(a5)＝2，…，易知數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，注意到2017＝4×504＋1，因此a2017＝a1＝5.答案：59．(2022·天津模擬)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(2＋cosnπ)(an－1)＋3，n∈N*，那么數(shù)列{an}的通項公式為________．解析：當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋2＝(2－1)(an－1)＋3＝an＋2，因而a1，a3，…，a2n－1，…是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，此時a2n－1＝2n－1；當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋2＝(2＋1)(an－1)＋3＝3an，因而a2，a4，…，a2n，…是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，此時a2n＝2×3n－1.從而an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，n為奇數(shù).,2×3，n為偶數(shù).))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，n為奇數(shù),2×3，n為偶數(shù)))10．(2022·廣西模擬)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(3,2)an－1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝2log3eq\f(an,2)＋1，求eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bn－1bn).解析：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝eq\f(3,2)a1－1，∴a1＝2，當(dāng)n≥2時，∵Sn＝eq\f(3,2)an－1，①Sn－1＝eq\f(3,2)an－1－1(n≥2)，②①－②得：an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)an－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)an－1－1))，即an＝3an－1，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，∴an＝2×3n－1.(2)由(1)得bn＝2log3eq\f(an,2)＋1＝2n－1，∴eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bn－1bn)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2n－32n－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))＝eq\f(n－1,2n－1).11．(2022·廣東五校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，a3＝5，S8＝64.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝an·2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解析：(1)由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5,8a1＋\f(8×7,2)d＝64))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,d＝2)).∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)·2n，那么Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，①2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，②①－②得－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1＝2＋2×eq\f(41－2n－1,1－2)－(2n－1)×2n＋1＝－6－(2n－3)×2n＋1，∴Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1.12．(2022·湖南東部六校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}滿足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)假設(shè)bn＝an＋log2eq\f(1,an)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋a3＝3a2,a2＋a4＝2a3＋2))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＋q2＝3a1q①,a1q＋q3＝2a1q2＋4②))，由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.當(dāng)q＝1時，不合題意，舍去；當(dāng)q＝2時，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.故所求數(shù)列{an}的通項公式an＝2n(n∈N*)．(2)因為bn＝an＋log2eq\f(1,an)＝2n＋log2eq\f(1,2n)＝2n－n，所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2