中學(xué)數(shù)學(xué)基本能力培養(yǎng)第9

掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中規(guī)定的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一。它能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和發(fā)展。數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和能力三者是緊密聯(lián)系在一起的整體，它們是相輔相成、互相依存、互相促進(jìn)的。能力是在知識(shí)的學(xué)習(xí)和技能的訓(xùn)練過(guò)程中通過(guò)有意識(shí)地培養(yǎng)而發(fā)展的。與此同時(shí)，能力的提高又會(huì)促進(jìn)知識(shí)的深刻理解和技能的掌握

§9．1運(yùn)算能力的培養(yǎng)

一、什么是運(yùn)算能力?

所謂運(yùn)算是在運(yùn)算律指導(dǎo)下對(duì)具體式子變形的演繹過(guò)程，它主要包括數(shù)值運(yùn)算、變換，對(duì)各種代數(shù)式或方程作等價(jià)或不等價(jià)變形的代數(shù)運(yùn)算、命題演算等。

運(yùn)算能力是正確運(yùn)用各種運(yùn)算規(guī)律合乎邏輯地進(jìn)行各種數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，其事實(shí)上是邏輯思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。這里的運(yùn)算能力主要指會(huì)根據(jù)法則、公式正確地進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)，并理解算理，據(jù)問(wèn)題條件尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。運(yùn)算能力具有綜合性和層次性的特點(diǎn)。綜合性是指運(yùn)算能力不可能獨(dú)立地存在和發(fā)展，而是與記憶、理解、表達(dá)、空間想象等能力互相滲透、互相支持。學(xué)生不熟記各種數(shù)據(jù)和公式，就無(wú)法正確、迅速地進(jìn)行各種運(yùn)算。若對(duì)數(shù)學(xué)概念或基礎(chǔ)知識(shí)的理解不透徹，運(yùn)算時(shí)就會(huì)帶有盲目性。學(xué)生不善于推理，就無(wú)法選取合理的運(yùn)算方法，甚至對(duì)顯然不合理的運(yùn)算結(jié)果也覺(jué)察不出。運(yùn)算能力的綜合性特點(diǎn)說(shuō)明運(yùn)算能力的培養(yǎng)決不能離開(kāi)其它能力的培養(yǎng)而孤立地進(jìn)行。

sinx+cosx=tanx+cotx例1：把一塊木板鋸成兩塊，第一塊的長(zhǎng)度是整塊的三分之二，但比第二塊短四英尺，問(wèn)木板在鋸開(kāi)前的長(zhǎng)度是多少？例2：牛＼羊＼船長(zhǎng)年齡問(wèn)題

運(yùn)算能力的層次性是指運(yùn)算能力的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從低級(jí)到高級(jí)、從具體到抽象、有層次地發(fā)展起來(lái)。從直接運(yùn)用單一知識(shí)運(yùn)算，公式逆用到運(yùn)用兩個(gè)以上的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單多步運(yùn)算，以及運(yùn)用概念、公式、性質(zhì)、法則的各種變形進(jìn)行綜合運(yùn)算。運(yùn)算能力是否只在代數(shù)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)?

二、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)呢？1加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式等是進(jìn)行運(yùn)算的依據(jù)，若對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)理解得清楚、深刻，則在運(yùn)算時(shí)就能思路敏捷、迅速正確，否則便會(huì)陷入一種盲目遲鈍的狀態(tài)。學(xué)好有關(guān)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的根本。當(dāng)前教學(xué)中不少教師只注重算法和運(yùn)算結(jié)果，很少注意算理和運(yùn)算過(guò)程。數(shù)學(xué)運(yùn)算也是一種推理，是一種根據(jù)運(yùn)算定義、性質(zhì)從已知數(shù)據(jù)及算式推導(dǎo)結(jié)果的推理，因此要引導(dǎo)學(xué)生在算理的指導(dǎo)下完成算法。2加強(qiáng)基本技能的訓(xùn)練

能力總是存在于人的具體活動(dòng)之中，離開(kāi)具體活動(dòng)就無(wú)所謂能力，因此要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，就必須加強(qiáng)基本技能的訓(xùn)練?；炯寄馨ㄐ乃?、速算等的訓(xùn)練，它們是提高運(yùn)算能力的有效途徑之一，可節(jié)省時(shí)間和精力達(dá)到迅速運(yùn)算的目的。如十位數(shù)相同，個(gè)位數(shù)之和為10的兩位數(shù)的乘積規(guī)律。用乘法公式簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，用分母有理化方法求根式的值，用韋達(dá)定理求解一元二次方程，利用1的變形求值等。

為了提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性，還應(yīng)要求學(xué)生熟記一些常用值：1—20的平方，勾股數(shù)，π，e的近似值，特殊三角函數(shù)值、正三角形的高、面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系。其次加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)，講究訓(xùn)練層次，由模仿練習(xí)到變式練習(xí)，由單一訓(xùn)練到綜合訓(xùn)練。3掌握運(yùn)算的通法通則盡管數(shù)學(xué)運(yùn)算種類(lèi)繁多，運(yùn)算方法因人而異，但有些方法、法則具有共同性。運(yùn)算程序先高級(jí)后低級(jí)，四則運(yùn)算要求先乘除、后加減，先內(nèi)層、后外層，先局部后整體，先化簡(jiǎn)后代值。掌握運(yùn)算的基本思路。4提高運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性和驗(yàn)算能力(元認(rèn)知能力)運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性是提高運(yùn)算能力的核心。一般的運(yùn)算大多數(shù)有一定的模式可循，但由于所選擇的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的不同，往往繁簡(jiǎn)各異，因此要使學(xué)生會(huì)做并不困難，困難的是使學(xué)生達(dá)到靈活、簡(jiǎn)捷。(例題)已知:§9．2思維能力的培養(yǎng)

一、邏輯思維能力的培養(yǎng)邏輯思維能力包含的基本內(nèi)容有：能正確理解和運(yùn)用各種邏輯方法和推證方法，思維過(guò)程目的明確、條理清楚，善于將知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。邏輯思維能力具有層次性(由填充理由，了解推理格式到掌握簡(jiǎn)單證法，過(guò)渡為進(jìn)行復(fù)雜的推理和表述)。培養(yǎng)邏輯思維能力要求在思考問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)能夠正確使用概念、恰當(dāng)?shù)嘏袛?，合乎邏輯地進(jìn)行分析和綜合、抽象概括和推理論證。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，可考慮以下做法。1培養(yǎng)學(xué)生正確運(yùn)用邏輯思維形式的能力基礎(chǔ)知識(shí)是邏輯思維能力形成的基礎(chǔ)，是構(gòu)成判斷、推理的要素。概念、判斷、推理是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的基本思維形式。因此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，首先要培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確地使用概念，恰當(dāng)?shù)嘏袛嗪秃虾踹壿嫷剡M(jìn)行推理的能力。

概念的思維訓(xùn)練中體現(xiàn)具體--抽象-具體，利用反例強(qiáng)化概念。判斷是把概念之間以一定方式連結(jié)起來(lái)，是對(duì)事物有所斷定的思維形式。推理是從已知判斷推出新的判斷的思維形式。在教學(xué)中注重分析，講清思路和推理格式。如三垂線定理的證明，不等式證明的基本思路。（what?how?why?)2指導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格遵守思維規(guī)律，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維的習(xí)慣。嚴(yán)格遵守思維規(guī)律，推理嚴(yán)謹(jǐn)、言必有據(jù)，這是邏輯思維的核心問(wèn)題。首先在教學(xué)中重視邏輯初步知識(shí)的教學(xué)，諸如形式邏輯的基本規(guī)律，命題的四種關(guān)系、充分條件、必要條件等。

教師做出示范，通過(guò)反例剖析、糾正邏輯性錯(cuò)誤。不允許偷換論題，否則違反同一律。不允許假造論據(jù)，否則違犯充足理由律，不允許判斷自相矛盾，否則違反矛盾律，不允許模棱兩可，否則違犯排中律，不允許循環(huán)論證，不允許用特例驗(yàn)證來(lái)代替一般性證明。(三角形內(nèi)角和的代數(shù)證明.一組對(duì)邊和一組對(duì)角)學(xué)生犯錯(cuò)誤不可怕，可怕的是教師錯(cuò)誤地對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤?！?重視知識(shí)獲取過(guò)程的教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的教學(xué)。教師講課的重點(diǎn)是知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，講解問(wèn)題解決的思維過(guò)程，揭示問(wèn)題解決的思想和方法。(等比數(shù)列)

如何從實(shí)際事物中發(fā)現(xiàn)和抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，怎樣對(duì)實(shí)際事物或已有知識(shí)進(jìn)行分析、綜合、抽象、概括，如何綜合和選取已有的數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，問(wèn)題解決的思維過(guò)程和思想方法。適當(dāng)揭示前人在抽象數(shù)學(xué)概念和尋找數(shù)學(xué)定理、公式時(shí)艱苦的思維過(guò)程，開(kāi)始如何考慮，思維受阻后又如何進(jìn)行思考，從失敗中獲得成功。有利于學(xué)生從中吸取經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展邏輯思維能力。培養(yǎng)邏輯思維能力的過(guò)程也是逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決問(wèn)題的能力的過(guò)程。(稚化思路,避免過(guò)早說(shuō)破)你有5瓶藥。每粒藥丸重10克，只有一瓶藥受到了污染，藥丸的重量發(fā)生了變化，。每粒藥丸重9克，你怎樣一次就測(cè)出哪瓶藥是遭到污染的呢？1、給每個(gè)瓶子標(biāo)上1，2，3，4，52、1號(hào)瓶中取1個(gè)藥丸，2號(hào)瓶中取2個(gè)藥丸，3號(hào)瓶中取3個(gè)藥丸，4號(hào)瓶中取4個(gè)藥丸，5號(hào)瓶中取5個(gè)藥丸。3、稱(chēng)出這些藥丸的重量4、用1*10+2*10+3*10+4*10+5*10-稱(chēng)出的重量；5、結(jié)果就是受污染的藥丸的瓶子號(hào)碼。二、創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)創(chuàng)造性思維是人類(lèi)高級(jí)的思維活動(dòng)，是指人們對(duì)事物間的聯(lián)系進(jìn)行前所未有的思考，并產(chǎn)生創(chuàng)見(jiàn)的思維。即通過(guò)思維不僅能揭示客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律，而且在此基礎(chǔ)上可以產(chǎn)生新穎、獨(dú)特的想法，至少是思維者頭腦中以前不存在的東西。如發(fā)現(xiàn)新解法，發(fā)現(xiàn)定理證明的新方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推廣等均可看作是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的表現(xiàn)。創(chuàng)造性思維能力是組織和改造先前已獲得的知識(shí)，使之適合當(dāng)前有關(guān)的問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的思想活動(dòng)能力。其主要特征是新穎性、獨(dú)創(chuàng)性、突破性、真理性和價(jià)值性，并以此作為檢驗(yàn)思維成果的標(biāo)準(zhǔn)。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力可從以下幾方面入手：1運(yùn)用開(kāi)放式、啟發(fā)式、多類(lèi)型的教學(xué)思想和方法，充分揭示數(shù)學(xué)思維過(guò)程。數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維不僅存在于數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造活動(dòng)中，也存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)雖然是前人創(chuàng)造性思維的結(jié)果，但學(xué)生的學(xué)習(xí)是人類(lèi)發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的再發(fā)現(xiàn)。學(xué)生的思維活動(dòng)中，也常常產(chǎn)生對(duì)他們來(lái)說(shuō)是新鮮、開(kāi)創(chuàng)的因素，只要有新思想、新觀念，新的設(shè)計(jì)和方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)即為創(chuàng)造。因此首先在教學(xué)中應(yīng)變注入式為啟發(fā)式，封閉式為開(kāi)放式、發(fā)現(xiàn)式。適度運(yùn)用潛科學(xué)教學(xué)法，充分揭示數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使學(xué)生開(kāi)闊眼界，促使想象的展開(kāi)與直覺(jué)頓悟的產(chǎn)生，為學(xué)生創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生形成良好的氛圍。2加強(qiáng)發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，注重變式方法在教學(xué)中的運(yùn)用。由于發(fā)散思維不局限于固定模式，因此可使學(xué)生克服靜止孤立思考問(wèn)題的習(xí)慣，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)問(wèn)題從不同角度，用不同方法進(jìn)行思維想象。(例子)在此變式指：①一題多變(條件、結(jié)論變更、推廣、引申）；②一題多問(wèn)，即對(duì)結(jié)論發(fā)散，無(wú)固定結(jié)論，如目前開(kāi)放題的引入；③一題多解，從中擇優(yōu)；④一法多用，如RMI原則，MM方法，反證法等；⑤一圖多畫(huà)(不但注重標(biāo)準(zhǔn)圖形，而且注意變式圖形)；⑥一式多變(注重逆向思維的訓(xùn)練).給定的數(shù)學(xué)關(guān)系式不但注意其標(biāo)準(zhǔn)形式，而且注重它的等價(jià)形式及各種公式、法則等的逆用。x＞0,y＞0,z＞0,求證:證明：x^2/y+y^2/z+z^2/x>x+y+z<=>x^2/y+y^2/z+z^2/x-x-y-z>0<=>(x^2/y-2x+y)+(y^2/z-2y+z)+(z^2/x-2z+x)>0<=>(x-y)^2/y+(y-z)^2/z+(z-x)^2/x>0由于x,y,z不全相等，故上式大于0恒成立。證畢。3加強(qiáng)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的訓(xùn)練，打破思維定勢(shì)，克服負(fù)遷移。

直覺(jué)思維是不受固定的邏輯規(guī)則約束，對(duì)于事物作出迅速的判斷、敏銳而深入的洞察，直接進(jìn)行領(lǐng)悟的思維或認(rèn)知。它具有快速性、間斷性、不可解釋性等特點(diǎn)。直覺(jué)思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與創(chuàng)造數(shù)學(xué)必不可少的思維形式，一般認(rèn)為直覺(jué)是發(fā)現(xiàn)的工具，因此在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力中要訓(xùn)練學(xué)生的直覺(jué)思維能力。在此要鼓勵(lì)學(xué)生猜測(cè)，注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言和教學(xué)的直觀性，發(fā)展形數(shù)結(jié)合的能力。4注重歸納、類(lèi)比等合情推理思想的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)猜想的能力。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性成果，最初常常以猜想的形式出現(xiàn)，而歸納、類(lèi)比是建立數(shù)學(xué)猜想，提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的主要途徑。在教學(xué)中可將一些命題的結(jié)論暫不揭示，而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想、歸納、類(lèi)比等方法，對(duì)結(jié)論提出猜想，再加以核對(duì)和證明。歸納推理是從個(gè)別、特殊事例出發(fā)得出一般結(jié)論的思維方法，它分為完全歸納和不完全歸納法。如同底數(shù)冪乘除法法則、積的算術(shù)平方根、不等式的性質(zhì)、凸多面體的歐拉定理等均是不完全歸納的結(jié)果。類(lèi)比推理是據(jù)兩類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象在某些方面相同或相似，由此得出在其它方面也相同、相似或可用變通方法來(lái)解決。如不等式解法類(lèi)比方程解法，不等式性質(zhì)類(lèi)比等式性質(zhì)，等比數(shù)列研究類(lèi)比等差數(shù)列，多項(xiàng)式的整除類(lèi)比數(shù)的整除，四面體與三角形類(lèi)比等。求自然數(shù)倒數(shù)平方的級(jí)數(shù)和：

這是數(shù)學(xué)家伯努利（Bernoulli，1654－1705）的一個(gè)級(jí)數(shù)求和難題，伯努利是17世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家，他是古典概率論的創(chuàng)始人，對(duì)古典微積分學(xué)以及級(jí)數(shù)求和等問(wèn)題都有貢獻(xiàn)，但是他卻沒(méi)有辦法算出自然數(shù)倒數(shù)平方的級(jí)數(shù)和．于是他公開(kāi)征解，可惜直到他逝世時(shí)還未見(jiàn)到有人解出此難題．這個(gè)難題過(guò)了數(shù)十年之后才由歐拉解答出來(lái)．在這里歐拉巧妙地利用了類(lèi)比推理完成了一項(xiàng)非常有趣的發(fā)現(xiàn)，給出了伯努利所未能找到的級(jí)數(shù)和．

……歐拉又考慮了三角方程：

……

他把它看成是只含有偶次項(xiàng)的無(wú)窮次代數(shù)方程．由于此方程含有相異根,,……

于是歐拉采用了類(lèi)比法，即仿照上述2n次多項(xiàng)式分解成乘積的形式，把這里出現(xiàn)的所謂無(wú)限次多項(xiàng)式也照樣分解成因式乘積形式：

……

這便是著名的“歐拉乘積公式”．這樣一來(lái)，再把右邊的乘積展開(kāi)，便發(fā)現(xiàn)x2項(xiàng)的系數(shù)是：……

即

……

奇跡出現(xiàn)了．

在數(shù)學(xué)中經(jīng)常給學(xué)生出一些創(chuàng)新題去運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力培養(yǎng)是十分有益的．當(dāng)然這些創(chuàng)新題應(yīng)是學(xué)生力所能及的，那種一提“創(chuàng)造”就認(rèn)為是讓學(xué)生解答數(shù)學(xué)家所未能解答的問(wèn)題的態(tài)度，顯然是不可取的．5加強(qiáng)靈感思維和數(shù)學(xué)美感的訓(xùn)練靈感思維是對(duì)問(wèn)題長(zhǎng)期思考，百思不得其解時(shí)，受偶然因素激發(fā)而產(chǎn)生的頓悟或腦風(fēng)暴。閃現(xiàn)出新思想、新方法，是一種非邏輯思維。(笛卡兒、阿基米德)長(zhǎng)期積累\偶然得之.

靈感是人們?cè)趧?chuàng)造活動(dòng)中因思想高度集中、情緒高漲而突然表現(xiàn)出來(lái)的能力。把靈感認(rèn)為是“神靈的啟示”以及“不可知”是唯心主義靈感論，唯物主義認(rèn)為靈感是客觀存在的一種精神狀態(tài)，是一種思維，獲得靈感的前提是豐富的實(shí)踐，同時(shí)也必須有較高的知識(shí)與思維素養(yǎng)。數(shù)學(xué)美的體味和鑒賞：統(tǒng)一、勻稱(chēng)、簡(jiǎn)潔、奇異§9．3空間想象能力能力的培養(yǎng)一、空間想象能力的涵義

空間想象能力是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象、概括，在頭腦中形成并反映客觀事物的形象和圖形，正確判斷空間元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系的能力。它可看成是邏輯思維與一些經(jīng)驗(yàn)幾何知識(shí)和識(shí)圖、作圖技能相結(jié)合而在處理空間形式方面的表現(xiàn)。

空間想象能力是否只是立體幾何教學(xué)的任務(wù)?

過(guò)去人們往往誤認(rèn)為培養(yǎng)空間想象能力是立體幾何的任務(wù)。事實(shí)上盡管客觀事物存在于三維空間之中，其空間形式需要表現(xiàn)為三維的，但對(duì)三維空間形式的認(rèn)識(shí)常常需分解為二維的。因而對(duì)基本圖形的數(shù)量分析及識(shí)圖要從平面幾何開(kāi)始。在平面解幾何中常要靠圖形的變換，抽象地思考點(diǎn)如何通過(guò)運(yùn)動(dòng)形成不同的曲線。在代數(shù)和三角中空間想象也扮演重要角色，結(jié)合函數(shù)圖象便于理解、掌握函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合常能簡(jiǎn)化解答.因此單憑立體幾何培養(yǎng)空間想象能力是不全面的，應(yīng)當(dāng)通過(guò)各科教學(xué)共同培養(yǎng).二、空間想象能力的培養(yǎng)（一）空間想象能力的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)包括哪些要求？1、對(duì)于客觀存在的空間形式，能在頭腦中反映出正確的形象來(lái)，即形成空間概念。

2、能將空間形式，按照統(tǒng)一規(guī)定，繪成平面圖形，反之，能從已知的平面圖形想象出它所表達(dá)的空間形式．3、不但能進(jìn)行邏輯思維，而且能進(jìn)行形象思維，也就是說(shuō)能運(yùn)用圖形的幾何直覺(jué)去研究某些問(wèn)題.（二）如何培養(yǎng)空間想象能力(鏈接教學(xué)錄象片段:最短路徑\演示技能)(一)學(xué)好有關(guān)空間形式的基礎(chǔ)知識(shí)

1運(yùn)用實(shí)物、模型等進(jìn)行直觀教學(xué)，使學(xué)生在頭腦中形成空間概念的整體形象．

2通過(guò)教師和學(xué)生繪制草圖和示意圖，使頭腦中形成的空間概念的形象“具體化”．

3研究圖形的組成元素及其性質(zhì)，深入了解空間形式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性．

4根據(jù)給定條件，運(yùn)用畫(huà)圖工具作圖，切實(shí)掌握空間形式的常用表達(dá)方法(二)加強(qiáng)教學(xué)的實(shí)踐性空間觀念的形成需要以一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。在教學(xué)中可利用實(shí)體或幾何模型的具體形象性，指導(dǎo)學(xué)生觀察、剖析、制作模型，實(shí)地實(shí)物測(cè)量。使空間形式在學(xué)生頭腦中形象化、具體化，使學(xué)生在頭腦中形成空間形式的整體形象和實(shí)際位置的關(guān)系。如兩圓位置關(guān)系，最后離開(kāi)實(shí)物、模型、圖形而進(jìn)行空間形式的思考?？臻g位置關(guān)系也可類(lèi)似處理。(三)通過(guò)數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)空間想象能力數(shù)、形是數(shù)學(xué)中最基本的兩大概念，數(shù)量關(guān)系借助圖形性質(zhì)使抽象概念的關(guān)系直觀、形象化，而圖形運(yùn)用公式、法則等知識(shí)后變得易于處理。華羅庚教授關(guān)于數(shù)形結(jié)合有一段精辟論述：數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非，切莫望，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離。(四)加強(qiáng)識(shí)圖、畫(huà)圖的教學(xué)(多媒體的度)

識(shí)別和繪制直觀圖是發(fā)展空間想象能力的關(guān)鍵，從直觀圖分析圖形基本位置關(guān)系。從實(shí)物或普通語(yǔ)言描述的空間形式，畫(huà)出直觀圖并在頭腦中想象形狀、位置、度量關(guān)系。畫(huà)圖時(shí)不僅要畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)圖形，更要注意畫(huà)變式圖形，培養(yǎng)識(shí)圖能力。(五)加強(qiáng)訓(xùn)練是培養(yǎng)空間想象能力的有效途徑（異面直線間的距離）在教學(xué)中經(jīng)常提出一些能引起學(xué)生空間想象思考的問(wèn)題。如學(xué)習(xí)二元一次方程組的解時(shí)，可問(wèn)學(xué)生，當(dāng)組成方程組的兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)系數(shù)不成比例時(shí)，為什么只有一解，給予幾何解釋。其次指導(dǎo)學(xué)生作想象練習(xí)，拚?qǐng)D和分解圖形?！?．4分析和解決問(wèn)題的能力培養(yǎng)

我們常聽(tīng)到問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)，不但能使學(xué)生鞏固與加深所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。目前各級(jí)各類(lèi)考試都是通過(guò)給出問(wèn)題讓學(xué)生解決來(lái)進(jìn)行的，因而數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的主要標(biāo)志之一，也是衡量教師教學(xué)工作水平的標(biāo)準(zhǔn)和基本方法(一)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本要求解答數(shù)學(xué)題有一定的規(guī)格要求，解題能力首先表現(xiàn)在對(duì)這些規(guī)格要求實(shí)現(xiàn)的程度上1解答要正確、合理解答的正確性是指在解題過(guò)程中，列式運(yùn)算、推理、作圖和所得結(jié)果都必須正確無(wú)誤。解題的合理性是指敘述要合理，對(duì)列式、計(jì)算、推理、作圖都要有充足的理由，遵循正確的思維規(guī)律和形式。做到言必有據(jù)，理由充足，敘述合乎邏輯性。2解題要簡(jiǎn)捷、規(guī)范、完滿解題簡(jiǎn)捷是指應(yīng)采取最簡(jiǎn)捷有效的解題方法解題。規(guī)范性指任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答都有一定的規(guī)格、要求(如證明題需寫(xiě)已知、求證、證明等，應(yīng)用題需作答等)。無(wú)論那種格式，敘述都應(yīng)層次分明、條理清楚、表述規(guī)范、詳略適度。完滿指全面考慮題目提出的全部問(wèn)題，詳盡無(wú)疑地求出全部結(jié)果。題目無(wú)解時(shí)說(shuō)明理由，不合題意的解要予以剔除，應(yīng)作檢驗(yàn)的題目必須驗(yàn)算。(二)分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的培養(yǎng)1審題（理解題意）波利亞審題是解題過(guò)程的首要步驟，是發(fā)現(xiàn)解法的前提，可以為探索解法指明方向。審題直接影響解題的成效。審明題意就是要辨明條件和結(jié)論，弄清題目的結(jié)構(gòu)特征，判別題目類(lèi)型。羅列明顯條件、挖掘隱含條件，弄清條件的等價(jià)說(shuō)法，把條件做適合解題需要的轉(zhuǎn)換，分析條件、結(jié)論的聯(lián)系方式及邏輯關(guān)系。實(shí)數(shù)x,y滿足2探索解法(觀察聯(lián)想類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等)：擬定方案、執(zhí)行方案審題之后開(kāi)始探索解題途徑，這是整個(gè)題題過(guò)程的中心環(huán)節(jié)，若直接套用不行，就必須進(jìn)行聯(lián)想，靈活變通地解決問(wèn)題。如立體幾何聯(lián)想平面幾何，因式分解聯(lián)想多項(xiàng)式乘法，一元二次方程聯(lián)想二次函數(shù)。聯(lián)想：以前是否見(jiàn)過(guò)類(lèi)似問(wèn)題，與此問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)有哪些。轉(zhuǎn)化：數(shù)形轉(zhuǎn)化，恒等變換，等價(jià)問(wèn)題等。若聯(lián)想仍解決不了問(wèn)題就要大膽猜想，可從特殊到一般，從相似或相近聯(lián)想、類(lèi)比到同構(gòu)模型，突破舊模式。3解題后的反思：回顧分析總結(jié)解題思路，注意對(duì)題目進(jìn)行引申和變更，積累解題經(jīng)驗(yàn)，掌握解題規(guī)律。這是目前教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)。(1)變更問(wèn)題的條件和結(jié)論（推廣、引申例題）(2)一題多解，選擇最優(yōu)解法(3)一題多變構(gòu)造不同題目在教學(xué)過(guò)程中選取一些有代表性的題目，做一題多變的示范教學(xué)，或讓學(xué)生自己去發(fā)揮，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)有關(guān)知識(shí)的理解。

a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,因式分解：因式分解1、4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加1為完全平方數(shù)。時(shí)4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積不為完全平方數(shù)3.求4.解4積累解題經(jīng)驗(yàn)

指導(dǎo)學(xué)生善于識(shí)別習(xí)題類(lèi)型、歸納解題策略、概括解題要點(diǎn)。如列方程解應(yīng)用題的步驟(審題、設(shè)元、列式、解方程、檢驗(yàn)、作答)。求函數(shù)定義域的基本方法，要求分母不為0，偶次根號(hào)下被開(kāi)方式為正，對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0，底數(shù)＞0且≠1,tgx中，x≠kπ±π2。注意邏輯方法和通法(配方、消元、換元、待定系數(shù)、化歸等)