透鏡的一般變換特性

相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析

1k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第1頁!透鏡的一般變換特性在上一節(jié)中，照明光源和觀察面是一對成物像關系的共軛面，物透明片無論是放在透鏡前或透鏡后，除一常數相位因子外，觀察面總是物的頻譜面下面討論一種任意情況，物面（輸入面）和觀察面（輸出面）的位置是任意的，將導出此時的輸入輸出關系式2k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第2頁!透鏡前表面上的場分布

透鏡焦距為，物面位于透鏡前處，觀察面位于透鏡后處，和是任意的。用振幅為1的單色平面波垂直照明物平面，設物面上的場分布為，觀察面上的場分布為，并假設光場在和距離上的傳播滿足菲涅耳近似條件，則透鏡前表面上的場可表為

3k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第3頁!觀察平面上場分布的簡化(1)觀察平面上場分布可以簡化為

其中4k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第4頁!

觀察平面上場分布的簡化(3)得到

5k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第5頁!常用特殊情況之二：前焦面作為輸入平面

當時，式中的二次位相因子被消去這時是的準確傅里葉變換（常數相位因子無關緊要）一般情況下，和

與并不相等，可以實現分數傅里葉變換，，請讀者自行證明6k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第6頁!目的: 從單透鏡的點擴散函數入手,研究評價 透鏡成像質量的頻域方法將透鏡成像看成線性不變系統(tǒng)的變換物平面上任一小面元的光振動像平面上所造成的光振動分布成像系統(tǒng)任何物面光場分布像面光場分布系統(tǒng)線性疊加脈沖響應物平面上小面元的光振動為單位脈沖即δ函數時，通過透鏡產生的像場分布函數稱為點擴散函數或脈沖響應。通常用表示。像面強度分布相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析

7k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第7頁!任意小面元的光振動所對應的像場分布

--點擴散函數

當該面元的光振動為單位脈沖即δ函數時，像場分布函數叫做點擴散函數或脈沖響應

通常用

表示物平面上點的單位脈沖通過成像系統(tǒng)后在像平面上點產生的光場分布首先研究在相干照明下，一個消像差的正薄透鏡對透明物成實像的情況推導透鏡點擴散函數的簡圖

8k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第8頁!單色光照明緊靠物后的復振幅分布:U0(x0’,y0’)(x0’,y0’)點處發(fā)出的單位脈沖為

d(x0-x0’,y0-y0’)沿光波傳播方向，逐面計算后面三個特定平面上的場分布?？勺罱K導出一個點源的輸入輸出關系。

x-y討論方法9k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第9頁!透鏡后的透射光場復振幅:透鏡后表面xi,yi平面:再次運用菲涅耳衍射公式：棄去常數位相因子,物像平面的共軛關系滿足高斯公式

單位脈沖引起的復振幅分布即點擴散函數

10k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第10頁!點擴散函數的化簡條件積分號前的相位因子

不影響最終探測的強度分布，可以略去與物面坐標有關的相位因子在求物面上各點對像面光場的貢獻時，要參與積分，不可隨意略去當透鏡的孔徑比較大時，物面上每一物點產生的脈沖響應是一個很小的像斑，能夠對于像面上點光場產生有意義貢獻的，必定是物面上以幾何成像所對應的以物點為中心的微小區(qū)域。在這個區(qū)域內可近似地認為坐標值不變，其大小與點的共軛物坐標相同，即可作以下近似式中，是成像透鏡的橫向放大率11k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第11頁!點擴散函數的最后形式

通過近似后的兩個相位因子都不再依賴于物面坐標，因此不會影響像平面上的強度分布，全可以略去。這樣一來，點擴散函數的形式成為

將橫向放大率代入，則

式中，

，是物點對應的像點坐標

12k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第12頁!點擴散函數的物理意義（2）當孔徑大小比

大得多時，在坐標中，在無限大的區(qū)域內的值均為1。這樣一來

這時物點成像為一個像點，即幾何光學理想像，因此幾何光學是波動光學的極限情況，“無限大”孔徑的情況13k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第13頁!

成像系統(tǒng)的普遍模型

任意成像系統(tǒng)都可以分成三個部分：1、從物平面到入瞳平面為部分；2、從入瞳平面到出瞳平面為第二部分；3、從出瞳平面到像平面為第三部分。光波在一、三兩部分空間的傳播可按菲涅耳衍射處理。第二部分的透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下可當做一個“黑箱”來處理黑箱的兩個邊端分別是入瞳和出瞳，只要能夠確定這黑箱的兩個邊端的性質，整個系統(tǒng)的性質便可確定，不必深究其內部結構。

11.物面入瞳:菲涅耳衍射33.出瞳像面:菲涅耳衍射22.透鏡系統(tǒng):黑箱.只考慮邊端(入瞳與出瞳之間)的變換關系14k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第14頁!出射光瞳決定的點擴散函數

由物點發(fā)出的球面波，在像方得到的將是一個被出射光瞳所限制的球面波，這個球面波是以理想像點為中心的。由于出射光瞳的限制作用，在像平面上將產生以理想像點為中心的出瞳孔徑的夫瑯和費衍射花樣

物面上點的單位脈沖通過衍射受限系統(tǒng)后在與物面共軛的像面上的復振幅分布，即點擴散函數為

式中，是與和無關的復常數；是出瞳函數（常稱光瞳函數），在光瞳內其值為1，在光瞳外其值為零；是光瞳面到像面的距離，已不是通常意義下的像距。還要說明，在推導公式時，同樣略去了關于和的二次相位因子

出瞳的夫瑯和費衍射圖樣中心在幾何光學的理想像點處

15k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第15頁!點擴散函數為復常數光瞳函數光瞳面到像面的距離

經過坐標變換，得到與理想單透鏡點擴展函數相同的形式：若略去積分號前的系數，脈沖響應就是光瞳函數的傅里葉變換，即衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應是光學系統(tǒng)出瞳的夫瑯和費衍射圖樣，其中心在幾何光學的理想像點處。如果光瞳足夠大， 過渡到幾何光學的理想成像：

衍射受限系統(tǒng)的點擴散函數的普遍表達式

16k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第16頁!理想成像的像分布上述卷積積分中的三組坐標之間是有聯系的，因此卷積積分可改寫為實際上，這個坐標的轉換意義是使物面上的坐標和像面上坐標歸一化用理想成像的脈沖響應

代入卷積積分便可得到理想成像的像分布理想像的分布形式與物的分布形式是一樣的，只是放大了M倍。17k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第17頁!點擴散函數與光瞳函數的關系

對于經過坐標變換的點擴散函數有這說明點擴散函數是光瞳函數的傅里葉變換，由此可見光瞳函數對于衍射受限系統(tǒng)成像的重要性

由于是空不變的，可以用原點處的脈沖響應表示成像系統(tǒng)的特性，即

18k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第18頁!在相干照明下的衍射受限系統(tǒng)，對復振幅的傳遞是線性空不變的。像的復振幅分布是的理想像和點擴散函數的卷積。頻域中描述系統(tǒng)的成像特性的頻譜函數Hc(fx,fy)稱為衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數，記作CTF。成像特性在空域中的描述：

F.T.F.T.F.T.成像特性在頻域中的描述：

在頻域中：在反射坐標系中，或對于對稱光瞳：相干傳遞函數等于光瞳函數

小結（續(xù)）19k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第19頁!解答

(1)單色傾斜照明光可以表示為物體透射光場則可以表示為物體透射光場的頻譜為20k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第20頁!解答續(xù)二

計算像面強度分布可以進一步應用卷積定理幾何像的傅氏變換可用前面計算的物的頻譜表示為

點擴散函數的頻譜則為

21k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第21頁!解答續(xù)四

在達到前面給出的最大值，即時，幾何像的傅氏變換中的三項只剩下兩項，這兩個函數與光瞳函數的乘積還是函數，而且因為光瞳函數在光瞳范圍內取值為一，兩個函數前的系數也不變進一步作反變換可以得到像面上的光場分布為光強分布則為光場分布的模平方具體計算就不在這里寫了。

22k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第22頁!另一解法續(xù)六

(2)使像平面出現條紋時，物體透射光場的頻譜中至少要有兩項能夠通過透鏡的出瞳，射到物面上成像。顯然要求兩個光點能夠通過在后焦面上直徑為的等效光欄。

但是

因為這時只可能有一個光點通過等效光欄射到物面上成像，形成等效的平行光照明的現象。23k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第23頁!透鏡后表面和觀察平面上場分布考慮到透鏡的相位變換因子，則透鏡后表面上的場分布為

于是觀察平面上的場分布為

24k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第24頁!觀察平面上場分布的簡化(2)根據積分公式對于ε≠0的情況可得

又因為25k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第25頁!常用特殊情況之一：后焦面作為觀察平面

當，即后焦面作為觀察平面時，則上式簡化成除一相位因子外，

是的傅里葉變換

26k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第26頁!常用特殊情況之三：物像共軛平面當時，即輸入和輸出滿足物像共軛關系，得

將這兩式代入式(3.19)得在輸出平面得到放大倍的像，回到了幾何光學的結果

27k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第27頁!相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析

任何平面物場分布都可以看做是無數小面元的組合，而每個小面元都可看做一個加權的函數。對于一個透鏡或一個成像系統(tǒng)，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振動通過成像系統(tǒng)后，在像平面上所造成的光振動分布情況，通過線性疊加，原則上便能求得任何物面光場分布通過系統(tǒng)后所形成的像面光場分布，進而求得像面強度分布。這就是相干照明下的成像過程。這里關鍵是求出任意小面元的光振動所對應的像場分布。

28k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第28頁!討論方法物體放在透鏡前距離為的輸入平面上，在透鏡后距離為的共軛面上觀察成像情況。假定緊靠物體后的復振幅分布為，點處發(fā)出的單位脈沖為。沿光波傳播方向，逐面計算三個特定平面上的場分布：緊靠透鏡前的平面上的場分布緊靠透鏡后的平面上的場分布觀察平面上的場分布這樣就可最終導出一個點源的輸入輸出關系。

29k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第29頁!緊靠透鏡前后的光場復振幅分布利用菲涅耳公式，緊靠透鏡前的平面上的場分布為

省去撇號，略去常數相位因子，上式可寫

此波面通過孔徑函數為焦距為的透鏡后，復振幅為

30k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第30頁!單位脈沖引起的復振幅分布即點擴散函數

由透鏡后表面到觀察面，光場的傳播滿足菲涅耳衍射，于是物平面上的單位脈沖在觀察面上引起的復振幅分布即點擴散函數可寫作將的表達式代入并略去包括-1在內的常數相位因子得

利用物像平面的共軛關系滿足高斯公式，得到

31k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第31頁!點擴散函數簡化成

:不參與積分,不影響觀察面強度分布,可以直接略去.成像透鏡的橫向放大率

(3.35)1也可略去2點擴散函數的化簡條件32k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第32頁!點擴散函數的物理意義（1）在近軸成像條件下，點擴散函數只與像面坐標差有關，這說明透鏡成像系統(tǒng)是空不變的，即

因此，透鏡的脈沖響應就等于透鏡孔徑的夫瑯和費衍射圖樣，其中心位于理想像點處。透鏡孔徑的衍射作用明顯與否，是由孔徑線度相對于波長和像距的比例決定的，為此對孔徑平面上的坐標做如下變換，令代入點擴散函數表達式得

33k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第33頁!衍射受限系統(tǒng)的點擴散函數

透鏡的點擴散函數，是一般光學系統(tǒng)的特殊情況，下面我們將其推廣到衍射受限光學系統(tǒng)所謂衍射受限是指不考慮系統(tǒng)的幾何像差，僅僅考慮系統(tǒng)的衍射限制如果忽略衍射效應的話，點物通過系統(tǒng)后形成一個理想的點像。一般的衍射受限系統(tǒng)可由若干共軸球面透鏡組成，這些透鏡既可以是正透鏡，也可以是負透鏡，而且透鏡也不一定是薄的系統(tǒng)對光束大小的限制是由系統(tǒng)的孔徑光闌決定的，也就是說在考察衍射受限系統(tǒng)時，實際上主要是考察孔徑光闌的衍射作用?？讖焦怅@在物空間所成的像稱為入射光瞳，簡稱入瞳；孔徑光闌在像空間所成的像稱為出射光瞳，簡稱出瞳。對整個光學系統(tǒng)而言，入瞳和出瞳保持物像共軛關系。由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通過系統(tǒng)，成為被出射光瞳所限制的像方光束。下面我們?yōu)檫@樣的系統(tǒng)建立一個普遍模型

34k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第34頁!光學系統(tǒng)“黑箱”的邊端性質

為了確定系統(tǒng)的脈沖響應，需要知道這個黑箱對點光源發(fā)出的球面波的變換作用，即當入瞳平面上輸入發(fā)射球面波時，出瞳平面透射的波場特性。對于實際光組，這一邊端性質千差萬別，但總可以分成兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差的系統(tǒng)

當像差很小或者系統(tǒng)的孔徑和視場都不大，實際光學系統(tǒng)就可近似看做衍射受限系統(tǒng)。這時的邊端性質就比較簡單，物面上任一點源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被光組變換為出瞳上的會聚球面波。

有像差系統(tǒng)的邊端條件是，點光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，出瞳處的透射波場明顯偏離理想球面波，偏離程度由波像差決定。

阿貝認為衍射效應是由于有限的入瞳大小引起的，瑞利提出衍射效應來自有限大小的出瞳。由于一個光瞳只不過是另一個光瞳的幾何像，這兩種看法是等價的。衍射效應可以歸結為入瞳或出瞳對于成像光波的限制，本書采用瑞利的說法。

35k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第35頁!衍射受限系統(tǒng)的點擴散函數的普遍表達式

同樣對物平面上的坐標和光瞳平面上的坐標做坐標變換，令得到如果光瞳對于足夠大時，坐標中，在無限大區(qū)域內光瞳函數都為1，點擴散函數變成

當可以忽略光瞳的衍射時，點的脈沖通過衍射受限系統(tǒng)后在像面上得到的仍然是點脈沖，這便是幾何光學理想成像情況像點位于36k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第36頁!相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律

一個確定的物分布總可以很方便地分解成無數δ函數的線性組合，而每個δ函數可按點擴散函數式求出其響應，因此成像規(guī)律不難得到然而，在像平面上將這些無數個脈沖響應合成的結果和物面照明情況有關物面上照明是相干的，則這無數個脈沖在像平面上的響應便是相干疊加本節(jié)先討論相干照明情況，非相干照明情況留在下面去討論像的復振幅分布可以按疊加積分公式表達為物的復振幅分布與脈沖響應函數的疊加積分

但是，在這個疊加積分出現了三組坐標，并不是嚴格意義上的卷積

37k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第37頁!衍射受限成像系統(tǒng)的卷積積分

為將成像過程用標準的卷積形式表示，先將點擴散函數重新定義一下代入卷積積分就變成因此，物通過衍射受限系統(tǒng)后的像分布是的理想像和點擴散函數的卷積，這就表明，對于更普遍的情形，衍射受限成像系統(tǒng)仍可看成線性空不變系統(tǒng)

38k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第38頁!小結

本節(jié)的目的在于建立一個比較嚴格的理論基礎，從而使光學傳遞函數的應用能夠更加可靠而且更加易于推廣，易于被廣泛接受嚴格的理論涉及的主要有兩個方面，一是由于積分內的變量必須的近似，二是由于物像坐標不同必須的坐標變換使用的研究方法是上一節(jié)給出的會聚光照明的菲涅耳衍射的結果就是孔徑的傅里葉變換結果得到，物通過衍射受限系統(tǒng)后的像分布是的理想像和點擴散函數的卷積。這就表明，對于更普遍的情形，衍射受限成像系統(tǒng)仍可看成線性空不變系統(tǒng)對于相干光照明衍射受限系統(tǒng)來講，點擴散函數是光瞳函數的傅里葉變換，由此可見光瞳函數對于衍射受限系統(tǒng)成像的重要性

39k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第39頁!例題

一個余弦型振幅光柵，復振幅透過率為放在如圖所示成像系統(tǒng)的物面上，用單色光傾斜照明，平面波傳播方向在平面內，與Z軸夾角為。透鏡焦距為，孔徑為。（1）求物體透射光場的頻譜；（2）使像平面出現條紋的最大角等于多少？求此時的像面強度分布。40k2007信息光學第九講共44頁，您現在瀏覽的是第40頁!解答續(xù)一

(2)求像面強度分布可以應用成像的卷積公式由于在本題光路中放大率為一，上式中幾何像可表示為

點擴散函數則為式中光瞳函數的自變量實際上就是空間頻率，或者說