專題12.4全等三角形中的經(jīng)典模型【六大題型】

【人教版】

【題型1平移模型】............................................................................1

【題型2軸對(duì)稱模型】.........................................................................3

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】...........................................................................5

【題型4一線三等角模型】....................................................................8

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】......................................................................12

【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】......................................................................14

^一

”印，二

【題型1平移模型】

【例1】（2022?義馬市期末）如圖，點(diǎn)A,E,F,8在直線/上，AE=BF,AC//BD,且

AC=BD,求證：△ACF9XBDE.

【變式1-1]（2022?曾都區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B,E,C,尸在一條直線上，AB=DE,AC=

DF.老師說(shuō)：還添加一個(gè)條件就可使△ABCg/XOEF.下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言：

甲：添加8E=CF,乙：添加AC〃。凡丙：添加/A=NQ.

（1）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確的是;

（2）請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中，選取一種給予證明.

【變式1-2]（2022春?東坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，AB=\3cm,BC=llcm,4C=

6c〃?，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AB邊上，現(xiàn)將沿著54方向向左平移至△AOF

的位置，則四邊形DECF的周長(zhǎng)為cm.

【變式1-3]（2022?富順縣校級(jí)月考）如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE

〃A凡且。E=4尸，求證：△AFC四△OEB.如果將8。沿著A力邊的方向平行移動(dòng)，如

圖2,3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

EE

9\

B/CD/BDBD

F

⑵

〃知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱模型】

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三

角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見(jiàn)模型】

2軸對(duì)稱模型】

【例2】（2022?安丘市期末）如圖，已知△ACF絲ADBE,且點(diǎn)A,B,C,。在同一條直

線上，ZA=50°,ZF=40°.

（1）求△OBE各內(nèi)角的度數(shù)；

（2）若AO=16,BC=10,求AB的長(zhǎng).

ABC.D

【變式2-1]（2022?隴縣一模）如圖，在△ABC中，已知CC_LAB于點(diǎn)。，BE_L4C于點(diǎn)E,

ZDCB=ZEBC.求證：AD=AE.

【變式2-2]（2022?句容市期末）如圖，己知△AO。絲△BOC.求證：AC=BD.

D

【變式2-3]（2022?海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，PB1.AB,PC1.AC,PB=PC,。是AP上一

點(diǎn).求證：ZBDP=ZCDP.

「知識(shí)焉3一旋轉(zhuǎn)模型1------------------------------------------------------------------------------------------------------X

【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這

兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共

角的條件.

【常見(jiàn)模型】

【題型3旋轉(zhuǎn)模型】

【例3】(2022?環(huán)江縣期中)如圖，AB=AE,AB//DE,/1=70°,Z￡)=110°.

求證：ZXABC絲△"￡).

證明：VZ1=7O°,

().

又,

().

■:ABHDE,

???().

在8c和△"￡＞中，

f;

：./\ABC^/\EAD(A4S).

【變式3-1](2022春?濟(jì)南期末)如圖1,ZVIBE是等腰三角形，AB=AE,/BAE=45°,

過(guò)點(diǎn)B作BCLAE于點(diǎn)C,在8c上截取CD=CE,連接A。、￡>E并延長(zhǎng)A。交BE于點(diǎn)

P;

(1)求證：AD=BE；

(2)試說(shuō)明A。平分/BAE；

(3)如圖2,將△CCE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么A。與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生

變化，說(shuō)明理由.

【變式3-2](2022?高港區(qū)校級(jí)月考)已知，如圖，AD,B/相交于。點(diǎn)，點(diǎn)E、C在8尸

上，S.BE=FC,AC=DE,AB=DF.求證：

(1)AO=DO；

(2)AC//DE.

A

【變式3-3］（2022?錦州模擬）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形△AB。、/VICE拼在一起

（圖1）,△ABD不動(dòng).

（1）若將ZXACE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接。E,M是。E的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖2）,

證明：MB=MC.

（2）若將圖1中的CE向上平移，/C4E不變，連接。E,M是。E的中點(diǎn)，連接MB、

MC（圖3）,判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系.

（3）在（2）中，若/C4E的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的MB、MC

的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由.

<1知識(shí)點(diǎn)4一線三等用模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD±DE,AB±AC,CE±DE,那么一定

有NB=NCAE.

【題型4一線三等角模型】

【例4】(2022春?香坊區(qū)期末)已知，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線機(jī)

上，且。E=9cm,N8DA=/AEC=/BAC

(1)如圖①，若A8LAC,則8。與AE的數(shù)量關(guān)系為BD=AE,CE與A。的數(shù)量

關(guān)系為CE=AD；

(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段B。，CE與OE的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，若只保持/8D4=/AEC,8O=EF=7c7",點(diǎn)A在線段OE上以2c7或s-的

速度由點(diǎn)。向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以xc/n/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，

它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r(s).是否存在x,使得△AB。與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)

【變式4-1]（2022?東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)

上，并且有N8D4=/AEC=NB4C=a,若。E=10,80=3,求CE的長(zhǎng).

【變式4-2]（2022春?歷下區(qū)期中）C￡）是經(jīng)過(guò)/8C4定點(diǎn)C的一條直線，CA=CB,E、

尸分別是直線8上兩點(diǎn)，且NBEC=NCM=N[3.

（1）若直線CC經(jīng)過(guò)N8CA內(nèi)部，且E、尸在射線CC上，

①若NBC4=90°,N[3=9O°,例如圖1,則BECF,EF\BE-AF],（填

“V”，“=”）；

②若0°<NBC4<180°,且/B+NBC4=180°,例如圖2,①中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？

并說(shuō)明理由；

（2）如圖3,若直線CC經(jīng)過(guò)NBCA外部，且/p=NBC4,請(qǐng)直接寫出線段ERBE、

AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）.

【變式4-3]（2022?余杭區(qū)月考）如圖①，點(diǎn)B、C在/MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E,F

在NMAN內(nèi)部的射線上，N1、/2分別是△ABE、△C4F的外角.已知AB=AC,

/1=/2=N8AC.求證：ZXABE絲△C4F.

應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,點(diǎn)。在邊BC上，且CQ=2BQ,點(diǎn)E,

產(chǎn)在線段AO上.Nl=/2=/BAC,若△ABC的面積為15,求△ABE與△COP的面積

之和.

M

圖①圖②

【題型5倍長(zhǎng)中線模型】

【例5】（2022秋?博興縣期末）如圖，是△ABC的中線，AB=6,BC=4,求中線8。

的取值范圍.

【變式5-1］（2022?涪城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在AABC中，。是8C邊的中點(diǎn)，E是AO上

一點(diǎn)，BE=AC,BE的延長(zhǎng)線交AC于F,求證：ZAEF=ZEAF.

【變式5-2］（2022?滴水縣校級(jí)模擬）（1）在△4BC中，A。為△ABC的中線，AB=6,

AC=4,則AD的取值范圍是；

（2）如圖，在△ABC中，AO為△ABC的中線，點(diǎn)E在中線上，S.BE=AC,連接

并延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F.求證：AF=FE.

BD

【變式5-3](2022?丹陽(yáng)市期中)八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)

活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,是△ABC的中線，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)E,使EO=A。，連接BE,寫出圖中

全等的兩個(gè)三角形_________________

【理解與應(yīng)用】

(2)填空：如圖2,EP是的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)EP=x,則x的取值范

圍是.

(3)已知：如圖3,是△ABC的中線，ZBAC=ZACB,點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，

QC=BC,求證：AQ=2AD.

\/圖1圖2圖3

E

'【知識(shí)點(diǎn)6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長(zhǎng)，指在長(zhǎng)線段中截取一

段等于已知線段;補(bǔ)短，指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三

角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程

、【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】

【例6】（2022秋?西崗區(qū)期末）閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1,在△ABC中，AO平分/BAC,ZABC=2ZC.求證：AC=AB+BD；

小明通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”兩種方法解決問(wèn)題：

方法一：如圖2,在AC上截取AE,使得AE=AB,連接。E,可以得到全等三角形，進(jìn)

而解決問(wèn)題.

方法二：如圖3,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E,使得BE=BD,連接。E,可以得到等腰三角形，進(jìn)而

解決問(wèn)