大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(新高考卷與新課

標(biāo)理科卷)

專題13平面解析幾何選擇填空題

.真題匯總

1.【2022年全國甲卷理科10】橢圓C:5+，=l(a>b>0)的左頂點為4點P，0均在C上，且關(guān)于y

軸對稱.若直線4P,AQ的斜率之積為3則C的離心率為()

A.—B.返C.1D.1

【答案】A

【解析】

解：A(-a,0),

設(shè)則Q(-電yj,

則以「=熱，心<?=母]

故%p.服<?=含.等；=不占=%

又一+*=1，則%2=組丹

2

>2(a2rl),2]

所以-1,即當(dāng)=1,

-Xi2+a2-4a4

所以橢圓C的離心率e=￡=J1-'=與

故選：A.

2.【2022年全國乙卷理科05】設(shè)尸為拋物線C:y2=4x的焦點，點/在C上，點8(3,0),若|4F|=|BF|,

則|眼=()

A.2B.2V2C.3D.3e

【答案】B

【解析】

由題意得，F(xiàn)(l,0),則|4F|=\BF\=2,

即點4到準(zhǔn)線x=-1的距離為2,所以點4的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點4在x軸上方，代入得，4(1,2),

所以|4B|=J(3-1)2+(0-2)2=2V2.

故選：B

3.【2022年全國乙卷理科111雙曲線C的兩個焦點為尸1，F(xiàn)2，以C的實軸為直徑的圓記為。，過％作。的

切線與C的兩支交于M,N兩點，且COSNFIN/2=|，則C的離心率為（）

A.”BC.運D.包

2-122

【答案】C

【解析】

解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在x軸，設(shè)過力作圓。的切線切點為G,

所以。G1N&,因為COS4%NF2=|＞。，所以N在雙曲線的右支,

所以|0G|=Q,I。尸il=c,|G尸i|=b,設(shè)乙F1NF2=a，乙F2FiN=0,

由cos乙FiNF2=|,即cosa=|,則sina=psin/J=pcos/?=g,

在小&尸I，中,sinz.F1F2^=sin(7r—a—B)=sin(a+/?)

.,.4b,3a3a+4b

=sinacospn+cosasinpn=-x-4--x-=——,

由正弦定理得匹=萼=

sm?sin0smz.F]F2^

所以|N"|=豹n/F-N=,x誓=空I..??5c.eSca5a

\NF2\=-smP=-x-=-

又-|忸1-步寫2a,

所以2b=3a,BP-=I，

a2

所以雙曲線的離心率e=

故選：c

4.【2021年全國甲卷理科5】已知Fi，/2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且NFIP尸2=60°,|P%|=

3|PFz|,則C的離心率為（）

A.—B.—C.V7D.V13

22

【答案】A

因為|PFi|=3\PF2\,由雙曲線的定義可得|PFI|-IPF2I=2\PF2\=2a,

所以|P&I=a，IP尸il=3a；

因為NF/F2=60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3aacos60°,

整理可得4c2=7a2,所以e2=?=Z,即6=色.

a242

故選：A

5.【2021年新高考1卷5】已知尸i，尸2是橢圓C：9+[=1的兩個焦點，點時在（7上，則的

最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

由題，a2=9,b2=4,則IMF/+|MFzl=2a=6,

所以|MF小|MF2|<（IMFil'zly=9（當(dāng)且僅當(dāng)|MF/=|M&I=3時，等號成立）.

故選：C.

6.[2021年全國乙卷理科11]設(shè)B是橢圓C$+《=l(a>b>0)的上頂點，若C上的任意一點P都滿足

\PB\<2b,則C的離心率的取值范圍是()

A.傍,1)B.[1,1)C.(0,當(dāng)D.(0,1]

【答案】C

設(shè)P(Xo，yo),由B(0,b),因為.+吾=1，a2=b2+c2,所以

222222

|PB|2=就+仇_b)=a(l-^)+(y0-b)=-m(y0+^)+^+a+b,

因為一當(dāng)—4即從Ze?時，|PB|*x=4)2,即|PB|max=2b,符合題意，由b22c2可

得a222c2,即0<eW李

當(dāng)T>_b,即/<c2時，|PB|溫="即+從,即捺+Q2+b244b2,化簡得，(c2-h2)2<0,顯

然該不等式不成立.

故選：C.

7.【2021年新高考2卷3】拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1.的距離為金，則「=()

A.1B.2C.2V2D.4

【答案】B

拋物線的焦點坐標(biāo)為?,0),

其到直線x—y+l=0的距離：d=g"=M，

V1+1

解得：p=2(p=-6舍去).

故選：B.

8.【2020年全國1卷理科04】已知/為拋物線C:爐=2px(p>0)上一點，點N到C的焦點的距離為12,到

y軸的距離為9,則p=()

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【解析】

設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知=弘+/12,即12=9+1解得p=6.

故選：C.

9.【2020年全國1卷理科11】已知。Af：x2+y2-2x-2y-2^0,直線I：2x+y+2=0,P為，上的

動點，過點P作。"的切線P4PB,切點為48,當(dāng)|PM|?|AB|最小時，直線43的方程為()

A.2x—y-1=0B.2x+y-1=0C.2%—y+1=0D.2x4-y4-1=0

【答案】D

【解析】

圓的方程可化為(尤一1)2+(y-1)2=4,點M到直線I的距離為d=12凄1：2]=遮＞2,所以直線I與圓相

V22+l2

離.

依圓的知識可知，四點4P,8,M四點共圓，旦4B1MP,所以|PM|?\AB\=2S&PAM=2xjx|P4|x\AM\=

21P川，而|P川=J|MP|2-4,

當(dāng)直線MP_Ll時，|MP|mm=V^，|P4lmin=L此時最小.

_11__[

y~2X2解得，(匕二°.

{2x+y+2=0(y-u

所以以MP為直徑的圓的方程為(X-l)(x+l)+y(y-l)=0,即/+y2-y-l=0,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=o,即為直線A8的方程.

故選：D.

10.【2020年全國2卷理科05】若過點(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距

離為()

A'TB.竿C.竿D.華

【答案】B

【解析】

由于圓上的點(2,1)在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限,

設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a),則圓的半徑為a,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.

由題意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,

可得/-6a+5=0,解得a=1或a=5,

所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),

圓心到直線2x-y-3=0的距離均為d=景=竽；

所以，圓心到直線2x-y—3=0的距離為竽.

故選：B.

11.【2020年全國2卷理科08】設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線x=a與雙曲線C:捺-5=19>0/>0)的兩條漸

近線分別交于D,E兩點，若AOOE的面積為8,則C的焦距的最小值為()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【解析】

C:——￡=1(。>0,b>0)>

二雙曲線的漸近線方程是曠=±3》

???直線x=a與雙曲線C:會營=l(a>0,6>0)的兩條漸近線分別交于。，E兩點

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

X-CL0

｛y=解得｛ylb

故D(a,b)

(X=arr-a

聯(lián)立>=_合，解得｛y二b

故E(a,-b)

/.\ED\=2b9

??.△ODE面積為：S2ODE=x2b=ab=8

?.?雙曲線C:"=l(a>0,b>0)

二其焦距為2c=2Va2+b2>272ab=2V16=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2魚取等號

??.C的焦距的最小值：8

故選：B.

12.【2020年全國3卷理科05】設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線尤=2與拋物線C：y=2px(p>0)交于￡>,E兩點，

若OD1OE,貝IJC的焦點坐標(biāo)為()

A.g,0)B.g,0)C.(1,0)D.(2,0)

【答案】B

【解析】

因為直線*=2與拋物線y2=2px(p>0)交于E,D兩點，且。D1OE,

根據(jù)拋物線的對稱性可以確定NDOx=/-EOx=%所以D(2,2),

4-

代入拋物線方程4=4p,求得p=l,所以其焦點坐標(biāo)為6,0),

故選：B.

13.【2020年全國3卷理科11】設(shè)雙曲線C：5一，=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為3,離心率

為傷.P是C上一點，且尸iP_L尸2P.若△「人尸2的面積為4,則a=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】

,?e:=V5?c=V5a,根據(jù)雙曲線的定義可得||P產(chǎn)il-|PF2||=2a,

SMFIFZ=?|PF山IP產(chǎn)2I=%即IPFWIP&I=8,

122

vFiP1F2P,；?|PFI『+\PF2\=(2c),

22

(IPFJ-|PF2|)+2\PFr\■\PF2\=4c,即。2—5°2+4=0,解得a=l,

故選：A.

/y2

14.【2019年新課標(biāo)3理科10】雙曲線C：丁——=1的右焦點為尸，點P在C的一條漸近線上，。為坐

42

標(biāo)原點.若|PO|=|尸尸|,則△PFO的面積為()

3V23V2廣r-

A.B.2C.2V2D.3V2

【答案】解：雙曲線C：丁一?=1的右焦點為尸(傷，0),漸近線方程為：y=±哈，不妨尸在第一象限，

4L乙

7?V6V3

可得tanN尸P(―,—),

1r-V33V2

所以△PFO的面積為：-xV6x—=-.

224

故選：A.

%2y2

15.【2019年全國新課標(biāo)2理科08】若拋物線產(chǎn)=2*(p>0)的焦點是橢圓不+乙=1的一個焦點，則p

jpp

=()

A.2B.3C.4D.8

【答案】解：由題意可得：3p-p=吟)2,解得p=8.

故選：D.

/y2

16.【2019年全國新課標(biāo)2理科11】設(shè)F為雙曲線C：君一6=1(。＞0,6＞。)的右焦點，O為坐標(biāo)原點,

以為直徑的圓與圓苫2+爐=/交于P,。兩點.若|P0|=QP，則C的離心率為()

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】解：如圖，

c2

7=2,解得e=2=V2.

aLQ

故選：A.

17.【2019年新課標(biāo)1理科101已知橢圓。的焦點為人(-1,0),尸2(1,0),過尸2的直線與C交于4

8兩點.若尸2|=2照5|,迎|=|8尸i|,則C的方程為()

x2x2y2

A.—+v92=1B.—+—=1

2,32

x乙2y2乙x乙2y乙2

C.—+—=1D.—+—=1

4354

【答案】解：???[4乃|=2盧"2|,：.\AB\=3\BF2\,

又0班=|3"i|,???出尸i|=3|B尸小

又|8尸||+出尸2|=2m?，.|5尸2|=去

3

：.\AFi\=a9|防|=為，

1

在Rt△肝2。中，COSZAF2O=

在△8為尸2中，由余弦定理可得COS/8F2Q=4+與仁嚴(yán)12,

ZXZX]

14—2a2

根據(jù)COSZJF2CHCOSZB/72FI=0,可得一+------=0,解得a2=3,/-47=V3.

a2a

b2=a2-C2=3-1=2.

Xv

所以橢圓。的方程為：y+y=1.

故選：B.

18.[2018年新課標(biāo)1理科08]設(shè)拋物線C：f=4x的焦點為尸，過點(-2,0)且斜率為|的直線與C交

于"，N兩點，則前?無=()

A.5B.6C.7D.8

,2

【答案】解：拋物線C：”=4x的焦點為尸(1,0),過點(-2,0)且斜率為5的直線為：3y=2x+4,

聯(lián)立直線與拋物線C：y2=4x,消去x可得：/-6尹8=0,

—>—>

解得yi=2,"=4,不妨A/(l,2),N(4,4),FM=(0,2),FN=(3,4).

則E?俞=(0,2)?(3,4)=8.

故選：D.

19.【2018年新課標(biāo)1理科11】已知雙曲線C：5一產(chǎn)=1，。為坐標(biāo)原點，尸為C的右焦點，過尸的直線

與C的兩條漸近線的交點分別為N.若△OMN為直角三角形，則|MN]=()

3-

A.-B.3C.2V3D.4

x2反

【答案】解：雙曲線C：二-產(chǎn)=1的漸近線方程為：夕=±浮X，漸近線的夾角為：60。，不妨設(shè)過尸(2,

3s

0)的直線為：y=V3(x—2),

f_433/

則：y一守“解得-苧),

y-V3(X-2)

(_旦

{y—T”解得：N(3,V3),

(y=V3(x-2)

則|〃川=J(3一|)2+(百+孚)2=3.

故選：B.

22

20.【2018年新課標(biāo)2理科05】雙曲線a-S=1(。>0,6>0)的離心率為何則其漸近線方程為()

l「近代

A.y=±v2xB.y=±V5xC.y=土丁丫D?y=

【答案】解：?.?雙曲線的離心率為e=5=6，

h

則一==yj3—1=y]~2,

a

b「

即雙曲線的漸近線方程為y=±r=土億,

a

故選：A.

%2y2

21.【2018年新課標(biāo)2理科12】已知尸1，乃是橢圓C/+記=1（a>b>0）的左、右焦點，/是。的左

頂點，點P在過/且斜率為二的直線上，△尸尸1乃為等腰三角形，NFF2P=120°,則C的離心率為

6

()

2111

A.-B?一C?一D.

3234

【答案】解：由題意可知：J(-a,0),Fi(-c,0),Fi(c,0),

直線4尸的方程為：y=（x+a）,

由NQF2P=120°,|PF2|=|FIF2|=2C,則P(2C,V3C),

代入直線/P：V5c=程（2c+a）,整理得：a=4c,

?,?題意的離心率e=

22.【2018年新課標(biāo)3理科06】直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于48兩點，點P在圓（x-2）2+/

=2上，則△ASP面積的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[V2,3或]D.[242,3V2]

【答案】解：?.?直線x+>2=0分別與x釉，夕釉交于48兩點,

???令x=0,得y=-2,令y=0,得x=-2,

：.A(-2,0),B(0,-2),\AB\=V4T4=272,

?點P在圓(x-2)2+產(chǎn)=2上，.?.設(shè)p(2+V2cos0,y/2sin6),

：.點P到直線x+y+2=0的距離：

\2+42cose+42sin0+2\_\2sin(9+^)+4\

d=75=75，

|2sin(e+J)+4|廣r-

Vsin(0+j7r)￡[-1,1],：.d=-——匕#~LG[V2,3何

尸面積的取值范圍是：

x2&x|x26x3々]=[2,6].

故選：A.

/y2

23.【2018年新課標(biāo)3理科11】設(shè)Q,尸2是雙曲線C：葭一金=】(。>。-人>。)的左，右焦點，。是坐

標(biāo)原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,若上人|=乃|0尸則C的離心率為()

A.V5B.2C.V3D.V2

X2V2h

【答案】解：雙曲線C：葭一3=1(40.*>0)的條漸近線方程為產(chǎn)，

.?.點尸2到漸近線的距離d=~^==b,即|P尸2|=4

22

：.\OP\=0%|2—儼&|2=Vc-b=a,cosZPF2O=1,

V|PFI|=y/6\OP],

/.\PF]|=瓜a,

在三角形F1PE2中,由余弦定理可得|PB|2=|/7切2+|尸]刑2-2|巴囹?|尸1尸21cosNP/2。，

：.6a2=b1+4c2-2X/,X2cx|=4c2-3Z>2=4c2-3(c2-a2),

22

即3a=cf

即百a=c,

/.e=~=V3,

a

故選：C.

24.【2017年新課標(biāo)1理科10】已知尸為拋物線C：f=4x的焦點，過廠作兩條互相垂直的直線/i,儲直

線/1與C交于力、8兩點，直線及與。交于。、E兩點,則M5I+I。?的最小值為()

A.16B.14C.12D.10

【答案】解：如圖，1山2,直線4與C交于4、8兩點,

直線/2與C交于。、E兩點，

要使即|+|。用最小,

則/與。，B,E關(guān)于x軸對稱，即直線OE的斜率為1,

又直線/2過點(1，0),

則直線/2的方程為y=x-1，

聯(lián)立方程組［必=軌則/-?-4=0,

(y=%—1

?,-yi+)^2=4,w=-4,

/.|￡>E|=Jl+表3-V2|=V2xV32=8,

???M8|+Q目的最小值為2|DE|=16,

n

方法二：設(shè)直線Zi的傾斜角為0,則/2的傾斜角為-+9,

根據(jù)焦點弦長公式可得MB尸磊=熹

|八"|_2P_2P_4

S譏COS26COS20

.44416

\AB\+\DE\—sj*。+cos20—sin20cos20sin220,

V0<sin226^1,

,當(dāng)6=45°時，田。村的最小，最小為16,

故選：A.

25.【2017年新課標(biāo)2理科09］若雙曲線C：/一臺=1（。>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）2+y2=

4所截得的弦長為2,則C的離心率為（）

Ll2百

A.2B.V3C.V2D.—

【答案】解：雙曲線C：/一金"=1（“>0，人>0）的一條漸近線不妨為：bx+ay=O,

圓（x-2）2+）2=4的圓心（2,0）,半徑為：2,

/y2

雙曲線C：葭-記=1（。>仇b>0）的一條漸近線被圓（x-2）2+/=4所截得的弦長為2,

可得圓心到直線的距離為：物』=6=亍單號，

Va2+h2

4c2—4Q2

解得：---2---=3，可得/=4,即e=2.

故選：A,

/y2rp

26.【2017年新課標(biāo)3理科05】已知雙曲線C葭一會=1（。>0，40）的一條漸近線方程為尸爭,

且與橢圓運+;=1有公共焦點，則。的方程為（）

X2V2X2V2

A.-=1B.一—一=1

81045

X2V2X2V2

C.———=1D.———=1

5443

/y2

【答案】解：橢圓正十5=1的焦點坐標(biāo)（±3,0）,

則雙曲線的焦點坐標(biāo)為（土3,0）,可得c=3,

X2y2fc

雙曲線C：—-^2=1（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=

用得一=—?即---=可得一=力解得〃=2，b=V5,

n）n4*An）

所求的雙曲線方程為r4

故選：B.

27.【2017年新課標(biāo)3理科10］已知橢圓C：/+/=1（。>方>0）的左、右頂點分別為4,如，且以線

段4出為直徑的圓與直線法-研2"=0相切，則C的離心率為（

【答案】解：以線段4a為直徑的圓與直線區(qū)-生片2"=0相切,

，原點到直線的距離廠——=a，化為：a2=3b2.

>Ja2+b2

...橢圓C的離心率e=^=Jl-^|=苧.

故選：A.

x2y2

28.【2016年新課標(biāo)1理科05】已知方程一「一凸一=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,

m+n3m—n

則〃的取值范圍是()

A.(-I,3)B.(-1,V3)C.(0,3)D.(0,V3)

【答案】解：???雙曲線兩焦點間的距離為4,，c=2,

當(dāng)焦點在x軸上時，

可得：4=(m2+n)+(3m2-ri'),解得:m2=l,

?.?方程一L—0—=1表示雙曲線，

m^+n3m^—n

(m2+n)>0,可得：(n+1)(3-n)>0,

解得：即〃的取值范圍是：(-1,3).

當(dāng)焦點在y軸上時，

可得：-4=(/+”)+(3/-〃)，解得：m2=-1,

無解.

故選：A.

29.【2016年新課標(biāo)1理科10】以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于/、8兩點，交C的準(zhǔn)線于。、E兩

點.已知3回=4夜，|。0=24，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】解：設(shè)拋物線為爐=2px,如圖：|第=4夜，MM=2/,

|四=2石，|叫=①，|CW|=*

、.,_(22一4

%一~P'

\OD\=\OA\,

16p2

—+8=—+5,

p乙4

解得：p=4.

C的焦點到準(zhǔn)線的距離為：4.

故選：B.

30.【2016年新課標(biāo)2理科04］圓f+V-2x-8>13=0的圓心到直線ox+y-1=0的距離為1,則。=

（）

A.-*B.-*C.V3D.2

【答案】解：圓f+/一2%-8yH3=0的圓心坐標(biāo)為：（1,4),

故圓心到直線ox+y-1=0的距離d=號號1=1,

解得：4=一*

故選：A,

xy

31.【2016年新課標(biāo)2理科11】已知Q,乃是雙曲線E：至一京=1的左，右焦點，點〃在￡上，MF\

1

與x軸垂直，sinZA/F2Fi=則E的離心率為（）

L3=

A.V2B.-C.V3D.2

2

【答案】解：由題意，”為雙曲線左支上的點，

則IMF\I="，IMF2I=J4c2+（U）2,

廬

可得：2b4=a2c2,即y/2h2=ac,又c2=a2+Z?2，

可得戊e2-e—V2=0,

e>1,解得e=V2.

故選：A.

，y2

32.【2016年新課標(biāo)3理科11】已知O為坐標(biāo)原點，尸是橢圓C：葭+金=1（〃>b>0）的左焦點，4B

分別為C的左，右頂點.P為C上一點、,且尸產(chǎn)J_x軸，過點4的直線/與線段嚴(yán)產(chǎn)交于點與歹軸交于

點E.若直線3M經(jīng)過OE的中點，則。的離心率為（）

1123

A.—B.-C.一D.一

3234

【答案】解：由題意可設(shè)/（-c,0）,4（-〃，0）,B（跖0）,

設(shè)直線4E的方程為y=%（x+o）,

令、=-Ci可得M（-ak（a-c））,令x=0,可得E（0,ka）.

設(shè)OE的中點為H,可得，（0,y）,

由8,H,M■三點共線，可得kBH=kBM,

ka

即為工=%二2

—a-c-a

a—c1

化簡可得---=二，即為a=3c,

a+c2

可得

另解：由△4MFs/\4E'。,

a-cMF

可得—=

~0E

可得一^-=OHOE

a+cFM~2FM9

即有止2Q+JI

=---即a=3c,

aa

可得e=￡=/

故選：A.

33.【2015年新課標(biāo)1理科05]已知M(xo,則)是雙曲線C：萬一y2=i上的一點，為，放是C的左、

右兩個焦點，若癡\?癡2<0,則乂)的取值范圍是()

-(T,的B.(-落昌C.(一季挈)D.(一孥,竽)

22：2

【答案】解：由題意，MF】?MF2=(-V3—xo,-yo)?(V3—xo?-yo)=xo-3+yo=3yo-l<0,

所以_曰<^oV堂.

故選：A,

34.[2015年新課標(biāo)2理科07】過三點4(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交歹軸于M,N兩點，貝U|MN|

=()

A.2V6B.8C.4V6D.10

l+9+D+3E+『=0

【答案】解：設(shè)圓的方程為尸=0,則卜6+4+4D+2E+F=0,

.1+49+D—7E+尸=0

：.D=-2,E=4,F=-20,

A^+y2-2x+4y-20=0,

令x=0,可得/+4y-20=0,

J尸-2±2V6,

.?.|MV尸4病.

故選：C.

35.【2015年新課標(biāo)2理科111已知4,B為雙曲線E的左，右頂點，點〃在￡上，△力臺加為等腰三角形,

頂角為120°,則上的離心率為()

A.V5B.2C.V3D.V2

/y2

【答案】解：設(shè)M在雙曲線7―3=1的左支上，

且M4=4?=2a,ZMAB=\20°,

則M的坐標(biāo)為(-2〃，V3a),

代入雙曲線方程可得，

4a23a2

方一官二L

可得a=b,

c=Va24-62=y/2a,

即有e==V2.

故選：

36.【2014年新課標(biāo)1理科04】己知尸為雙曲線C：，_便/=3相(加>o)的一個焦點，則點R到C的一

條漸近線的距離為()

A.V3B.3C.y/3mD.3m

2v2

【答案】解：雙曲線C：x2-my2=3ni(w>0)可化為7x;———=1,

3m3

，一個焦點為(，3/n+3,0),一條漸近線方程為x沆y=0,

3

.?.點F到C的條漸近線的距離為,客=V3.

Vl+m

故選：A,

37.【2014年新課標(biāo)1理科10】已知拋物線C/=8x的焦點為R準(zhǔn)線為/,尸是/上一點，。是直線尸尸

與C的一個交點，若而=4而，則|0尸|=()

75

A.-B.3C.-D.2

22

【答案】解：設(shè)0到/的距離為"，則|西=",

VFP=4FQ,

：.\PQ\=3d,

不妨設(shè)直線PF的斜率為-孕=-2V2,

,:F(2,0),

，直線PF的方程為y=-2迎(x-2),

與y2=8x聯(lián)立可得x—\,

.?.|。目=</=1+2=3,

故選：B.

38.【2014年新課標(biāo)2理科10】設(shè)下為拋物線C：/=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于4

8兩點，。為坐標(biāo)原點，則△0/8的面積為()

苧$639

8---

A.32D.4

【答案】解：由爐=2力，得2〃=3,p=

3

則F1,0).

...過4,8的直線方程為(x-1),

即x=V3y+*

y2=3x

聯(lián)立l3，得4y-12何-9=0.

x=V3y+?

設(shè)4(xi,y\)?B(X2,”)，

則yitF2=3百，y\yi~-

:?SAOAB=S&OA計SM)FB=Ix孤-y2\=>J(y］十外下一4yly2=|xJ(3V3)2+9=*

故選：D.

xyV5

39.【2013年新課標(biāo)1理科04】已知雙曲線C：-3-72=1（a>0,6>0）的離心率為k，則C的漸近線

aLb乙2

方程為（）

111

A.y=±]XB.y=±xC.y—±xD.y=±]%

/2

【答案】解：由雙曲線C：7一6v=1（a>0,Q0）,

則離心率e=?==奇，即4方2=〃2,

故漸近線方程為y=±-x=±ir,

aL

故選：D.

x42,V2乙

40.【2013年新課標(biāo)1理科10]己知橢圓氏葭+6=1（Q>/?>0）的右焦點為月（3,0）,過點尸的直線

交橢圓后于4、B兩點.若48的中點坐標(biāo)為（1,-1）,則E的方程為（）

x2y2x2y2

A.丁+9=1B.—+—=1

45363627

%2y2x2y2

C.—+=1D.—+7-=1

2718189

【答案】解：設(shè)4（xi，y\）,B（》2,J2），

光+城

a2+f>2=1

代入橢圓方程得

x

2+yl

滔+聲=1

+n討舛正2”2上y2彳一龍2

相減得—p—十—方一=0,

aLbL

.肛+%2月一及月+及_

VXI+X2=2,y\+y2=-2,k=-——==i.

ZABJ:

-XX—X21-32

21-2

，熊+廣廬=。，

化為。2=2射，又c=3=\/Q2一扭,解得〃2=]8,b2=9.

X2y2

，橢圓E的方程為G+—=1.

故選：。.

2

41.【2013年新課標(biāo)2理科11】設(shè)拋物線Cy=2px（p>0）的焦點為凡點〃在。上，\MF\=5f若以

板為直徑的圓過點（0,2）,則。的方程為（）

A.產(chǎn)=4%或j?=8xB./=2x或V=8x

C./=4x或/=16xD./=2%或產(chǎn)=16%

【答案】解：???拋物線。方程為爐=2RT（P>0）,

焦點尸坐標(biāo)為（p0）,可得|乎=芻，

?.?以為直徑的圓過點（0,2）,

.,.設(shè)N(0,2),可得

?.?根據(jù)拋物線的定義，得直線40切以為直徑的圓于A點，

；.NOAF=NAMF,可得RtZ\/MF中，sinZAMF==-^=,

11廨

???|炳=5,|陽=14+9

14+222r

—-r—^f整理得4+勺=*解之可得p=2或p=8

5斥

因此，拋物線。的方程為/=4x或_/=16x.

故選：C.

方法二：

?.?拋物線C方程為/=2*（p>0）,，焦點尸（與0）,

設(shè)”（x,y）,由拋物線性質(zhì)MH=x+g=5,可得x=5-務(wù)

5-汨5

因為圓心是M尸的中點，所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為r"工=]

由已知圓半徑也為|,據(jù)此可知該圓與y軸相切于點（0,2）,故圓心縱坐標(biāo)為2,則也點縱坐標(biāo)為4,

即M（5-芻，4）,代入拋物線方程得p2-100+16=0,所以p=2或p=8.

所以拋物線C的方程為產(chǎn)=以或/=16x.

故選：C.

42.【2022年新高考1卷11】已知。為坐標(biāo)原點，點4（1,1）在拋物線C:x2=2py（p>0）上,過點8（0,-1）

的直線交C于P,。兩點，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=—lB.直線"5與C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA\2D.|BP|?|BQ|>\BA\2

【答案】BCD

【解析】

將點4的代入拋物線方程得1=2p,所以拋物線方程為/=y,故準(zhǔn)線方程為y=-1A錯誤;

kk±21=2,所以直線A8的方程為y=2x-l,

AB=1—U

=2x-1

可得/-2x+l=0,解得x=l,故B正確;

x2=y

設(shè)過B的直線為I,若直線I與y軸重合，則直線，與拋物線C只有一個交點,

所以，直線2的斜率存在,設(shè)其方程為y=依一1,P（Xi，yi）,Q@2，y2），

聯(lián)立療T

得—kx+1=0,

（=y

△=卜2-4>0

2

Xi+x2=k,所以k>2或A<-2,yAy2=(%iX2)=1,

XiX2=1

所以|0P|?|0Q|=/丫。2(1+月)(1+%)=Qkxix仁=|/c|>2=\0A\2>故C正確；

2

因為出P|=11+卜2憂1|,\BQ\=Vl+fc|x2l*

22

所以|BP|?|BQ|=(1+fc)|x1x2|=l+fc>5,而=5,故D正確.

故選：BCD

43.【2022年新高考2卷10】已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點廠的直線與C交于Z,

B兩點,其中/在第一象限，點M(p,0),若|4F|=|AM|,則()

A.直線的斜率為2乃B.\0B\=\0F\

C.\AB\>4\0F\D.Z-OAM+^OBM<180°

【答案】ACD

【解析】

對于A,易得%,。），由網(wǎng)=|刎可得點4在FM的垂宜平分線上，則4點橫坐標(biāo)為苧哼

代入拋物線可得y2=2pT=|p2,則4（圣華），則直線A8的斜率為真=2倔A正確；

對于B,由斜率為2布可得直線48的方程為x=力丫+關(guān)聯(lián)立拋物線方程得丫？-口、-p2=0,

設(shè)則斗+y1=舁，則刈=一等，代入拋物線得（一半『=2p』，解得Xi=導(dǎo)則—字）,

則1。8|=的）2+（-第2=亨于|。?|芍，B錯誤；

對于C,由拋物線定義知：|麗=^+^+p=^>2p=4|OF|,C正確；

對于D,亦詼=(圣學(xué))-乎)=￥4+粵?(-第=-/<0,則TOB為鈍角,

又兩.而=(一/?)?(一g,-與)=一卜(_g)+與?(一綃=一乎<0,則〃MB為鈍角，

5L/.A0B+