遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律意義對(duì)接數(shù)學(xué)模型遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律意義對(duì)接數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1671-0568〔2022〕28-0110-04

?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程規(guī)范〔2022版〕》指出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的根本途徑。〞在實(shí)際教學(xué)過程中，一線教師非常重視模型思想的滲透，如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)?元、角、分》單元，購物情境中的問題波及到的三個(gè)數(shù)量分別是“付出的錢〞、“物品的價(jià)錢〞以及“找回的錢〞。筆者所在教研組的一位教師基于“總量模型〞〔也可稱加法模型，表示為“總量=局部量+局部量〞，相應(yīng)的減法模型就是“局部量=總量-局部量〞〕讓學(xué)生理解其中的數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識(shí)到“付出的錢〞就是“總量〞，而“物品的價(jià)錢〞以及“找回的錢〞就是“局部量〞，然后根據(jù)“總量〞與“局部量〞的關(guān)系確定解決問題的思路。實(shí)際教學(xué)效果卻事與愿違，學(xué)生在分析和解決問題的過程中并不能夠找到與“總量〞以及“局部量〞相匹配的數(shù)量，導(dǎo)致確定“總量〞與“局部量〞的過程出現(xiàn)了混亂，錯(cuò)誤率較高。如何讓學(xué)生把問題里的數(shù)量與模型進(jìn)行意義對(duì)接，到達(dá)對(duì)數(shù)量關(guān)系的深度理解呢？筆者所在教研組教師們進(jìn)行了深入思考，對(duì)這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行了整體規(guī)劃。

一、基于經(jīng)驗(yàn)，理解等價(jià)交換

商品買賣的本質(zhì)是人與人之間的等價(jià)交換，即“付出的錢〞與“物品的價(jià)錢〞應(yīng)該是等價(jià)的。如果“付出的錢〞少于“物品的價(jià)錢〞，那么不能進(jìn)行交換；如果“付出的錢〞多于“物品的價(jià)錢〞，那么需要用“物品的價(jià)錢〞再添上短少的一局部錢，才能夠進(jìn)行交換。所以，要解決購物情境中的問題，前提是讓學(xué)生理解等價(jià)交換，建立等價(jià)交換的觀念。在教學(xué)過程中，安頓了這樣的學(xué)習(xí)過程：

首先讓學(xué)生學(xué)習(xí)教材第69頁第3題〔如圖1〕

師：老師這里有1張5元的人民幣，你能夠拿出同樣多的錢和我交換嗎？

生：我拿2張2元和1張1元的，一共是5元。

師：拿出錢的面值可以不一樣，但是兩個(gè)人的總錢數(shù)一定要一樣，這樣的交換才公平。根據(jù)這樣的想法，還可以怎么換？

生：可以拿5張1元的，也可以拿1張2元的和3張1元的，這兩種辦法合起來都是5元。

……

師：我有3張10元的，你拿50元和我交換，可以怎么交換？

生：3張10元，也就是30元，這樣的交換不公平。

師：我還有20元的文具盒、10元的削筆器，現(xiàn)在能不能想到方法？

生：可以先拿3張10元的，再拿1個(gè)20元的文具盒，這樣一共是50元。

生：可以拿1個(gè)20元的文具盒，再拿1個(gè)10元的削筆器，最后拿2張10元的，這樣也一共是50元。

師：我要保證物品的錢和我身邊的錢合起來一共是50元，這樣的交換才是公平的。現(xiàn)在，我身邊沒有錢了，只有20元的文具盒、10元的削筆器、30元的玩具熊、40元的書包，如果你用50元和我換，可以怎么換？

生：可以換20元的文具盒和30元的玩具熊，一共是50元。

生：可以換10元的削筆器和40元的書包，這樣也一共是50元。

生：只要用50元換回50元的東西，這樣的交換就是公平的。

師：不論是哪種辦法，兩個(gè)人交換的總錢數(shù)一定要相同，這樣才是公平交換。

上述學(xué)習(xí)過程中，首先讓學(xué)生聯(lián)系生活中的公平意義理解等價(jià)交換：雖然交換過程中人民幣的面值發(fā)生了變化，但面值的總數(shù)是相等的。接著通過不對(duì)等的交換，讓學(xué)生基于等價(jià)交換的觀念想到，可以合理運(yùn)用人民幣與物品組合的方式解決不對(duì)等交換的問題，進(jìn)一步理解等價(jià)交換的意義。最后再通過人民幣與物品的交換，讓學(xué)生理解雖然交換的物品不同，只要價(jià)格的總數(shù)與人民幣的面值總數(shù)相等，就可以進(jìn)行交換，進(jìn)一步拓寬等價(jià)交換的內(nèi)涵。通過上述三個(gè)層次的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生建立等價(jià)交換的觀念，為找到購物情境中的數(shù)量關(guān)系打下根底。

二、運(yùn)用幾何直觀，深度理解關(guān)系

學(xué)生在分析“付出的錢〞、“物品的價(jià)錢〞以及“找回的錢〞這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的時(shí)候，常常只關(guān)注這三個(gè)數(shù)量，而無視這里隱藏著的另一個(gè)數(shù)量――“物品的價(jià)錢〞與“找回的錢〞的總量，這個(gè)總量與“付出的錢〞是相等的，這樣才能夠進(jìn)行等價(jià)交換。“物品的價(jià)錢〞與“找回的錢〞是與它們兩個(gè)的總量直接發(fā)生關(guān)系的，而它們兩個(gè)的總量又與“付出的錢〞直接發(fā)生關(guān)系，“付出的錢〞與“物品的價(jià)錢〞、“找回的錢〞這兩者之間的關(guān)系只是間接關(guān)系。在教學(xué)過程中，如果無視了“物品的價(jià)錢〞與“找回的錢〞的總量，學(xué)生就難以找到“付出的錢〞、“物品的價(jià)錢〞以及“找回的錢〞這三者之間的關(guān)系。在教學(xué)過程中，安頓了如下學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生理解購物情境中的數(shù)量關(guān)系：

師〔出示圖2〕：明明付了55元買一個(gè)足球，夠嗎？

生：不能確定，因?yàn)椴恢雷闱虻膬r(jià)錢。

生：有可能夠，也有可能不夠。如果足球的價(jià)錢比55元多，就買不到了；如果足球的價(jià)錢正好是55元，就正好夠；如果足球的價(jià)錢比55元少，就有錢多。

師：有錢多，怎么辦？

生：就要找錢。

生：就和剛剛我們換東西一樣，明明給了55元，必須要拿回55元的東西，這樣才公平。足球的價(jià)錢如果沒有55元，則售貨員就需要添點(diǎn)兒錢，正好和足球的價(jià)錢湊成55元。

生：售貨員阿姨添上去的錢就是找回的錢。

師：〔出示圖3〕現(xiàn)在阿姨找回了2元，明明付了55元，從圖上你還能夠找到另一個(gè)55元嗎？生：明明付了55元，售貨員阿姨和他交換的也是55元，足球的價(jià)錢和阿姨手里拿的2元，一共也是55元。

師：剛剛的過程，我們可以用這樣一個(gè)示意圖表示〔動(dòng)態(tài)演示圖4〕。

師：從圖上看，你知道足球是多少元嗎？

生：足球的價(jià)錢和2元錢合起來一共是55元，所以用55元減去2元就等于足球的價(jià)錢。

上述過程中，通過只給出“付出的錢〞判斷夠不夠買到足球的問題，激起學(xué)生的思維沖突，根據(jù)前面等價(jià)交換的觀念找到了隱藏于購物情境中的另一個(gè)數(shù)量――“物品的價(jià)錢〞與“找回的錢〞的總數(shù)，并且判斷出“物品的價(jià)錢〞與“找回的錢〞的總數(shù)就等于“付出的錢〞。運(yùn)用動(dòng)態(tài)示意圖演示交換情境，把問題里的數(shù)量關(guān)系通過直觀圖表示出來，讓學(xué)生從圖上發(fā)現(xiàn)數(shù)量與數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，找到解決問題的辦法。

三、形成結(jié)構(gòu)，對(duì)接數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型作為抽象思維的產(chǎn)物，是溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。建立模型的目的是為了更好地解決問題，但是如果學(xué)生在解決問題的過程中只是機(jī)械套用，不能夠把實(shí)際問題中的數(shù)量與模型中的數(shù)量進(jìn)行合理對(duì)接，那么會(huì)大大降低模型的使用效率。教學(xué)中，通過下列過程，讓學(xué)生把購物情境中三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)化，并且與“總量模型〞以及相應(yīng)的減法模型進(jìn)行對(duì)接：

〔教師出示圖5，學(xué)生獨(dú)立思考后交流〕

生：明明付的錢要和阿姨的總錢數(shù)是一樣的，這樣的交換才公平。

生：籃球是45元，阿姨又拿了5元，這樣一共拿了50元和明明交換，明明肯定付了50元。

〔教師配合學(xué)生的解釋，動(dòng)態(tài)演示圖6?！?/p>

師：我們?cè)谒伎嫉臅r(shí)候，能不能把這個(gè)圖變得更加簡單一些。

生：明明付出的錢和阿姨的總錢數(shù)是相同的，所以只要看右邊的圖就行了。

師：也就是把這個(gè)圖進(jìn)行這樣的合并〔如圖7〕。

師〔出示圖8〕：現(xiàn)在你知道售貨員阿姨要找給明明多少錢嗎？

生：還可以借助剛剛這種圖來想：付出了70元，網(wǎng)球拍沒有70元，阿姨就要添上一些錢正好湊到70元和明明交換，用70元減去網(wǎng)球拍的60元，就等于要找回10元。

〔教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，動(dòng)態(tài)演示出圖9?！?/p>

師：真會(huì)動(dòng)腦筋！剛剛的三個(gè)問題看上去不同，但你能夠找到其中相同的地方嗎？

生：都是借助于同一種圖來思考的。

生：這一個(gè)大的長方形就是付出的錢，物品的價(jià)錢和找回的錢都是其中的一局部。

生：付出的錢就是我們以前學(xué)習(xí)的總數(shù)，物品的價(jià)錢與找回的錢都是其中的一局部，兩個(gè)局部加起來就是總數(shù)，用物品的價(jià)錢加上找回的錢就等于付出的錢。

生：物品的價(jià)錢與找回的錢都是其中的一局部，所以要算物品的價(jià)錢和找回的錢，都用總數(shù)去掉一局部等于另一局部。

師〔動(dòng)態(tài)演示圖10〕：大家真是愛思考的孩子，雖然這里說的是付出的錢、物品的價(jià)錢和找回的錢之間的關(guān)系，但是和我們以前研究的總數(shù)與局部數(shù)之間的關(guān)系相同，都可以借助于前面研究出的總數(shù)與局部數(shù)之間的關(guān)系來思考。

上述學(xué)習(xí)過程中，通過把兩幅圖向一幅圖合并，把中間量〔“物品的價(jià)錢〞與“找回的錢〞的總數(shù)〕與“付出的錢〞進(jìn)行整合，并引導(dǎo)學(xué)生借助示意圖理解“付出的錢〞、“物品的價(jià)錢〞與“找回的錢〞三者之間的關(guān)系，找到解決問題的辦法。在三個(gè)問題比擬的過程中，學(xué)生再借助示意圖把三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，并且主動(dòng)與前面研究的“總量=局部量+局部量〞以及“局部量=總量-局部量〞的模型進(jìn)行對(duì)接。在主動(dòng)對(duì)接的過程中，一方面拓寬模型的現(xiàn)實(shí)意義，另一方面讓學(xué)生基于數(shù)學(xué)模型的意義再次重新認(rèn)識(shí)購物