2.2.2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題．知識點(diǎn)反證法王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍．一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的．”思考1本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想？答案運(yùn)用了反證法思想．思考2反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么？答案否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，從而證明原結(jié)論正確．梳理(1)反證法的概念一般地，由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：綈q?r?…?t，t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法．(2)反證法常見的幾種矛盾①與假設(shè)矛盾．②與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾．③與公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾(例如，導(dǎo)出0＝1,0≠0之類的矛盾)．(3)反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟①分清命題的條件和結(jié)論．②做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)．③由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果．④斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真．1．反證法屬于間接證明問題的方法．(√)2．反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理．(×)3．反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾．(√)類型一用反證法證明否定性命題例1已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列．求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則2eq\r(b)＝eq\r(a)＋eq\r(c)，∴4b＝a＋c＋2eq\r(ac).①∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，②由②得b＝eq\r(ac)，代入①式，得a＋c－2eq\r(ac)＝(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，∴a＝c，從而a＝b＝c.這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，∴假設(shè)不成立．故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．反思與感悟?qū)δ承┙Y(jié)論為肯定形式或者否定命題的證明，從正面突破較困難時，可用反證法．通過反設(shè)將肯定命題轉(zhuǎn)化為否定命題或否定命題轉(zhuǎn)化為肯定命題，然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進(jìn)行推理，推出矛盾，從而達(dá)到證題的目的．跟蹤訓(xùn)練1已知正整數(shù)，a，b，c滿足a2＋b2＝c2.求證a，b，c不可能都是奇數(shù)．證明假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)．左邊＝奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，右邊＝奇數(shù)，得偶數(shù)＝奇數(shù)，矛盾．∴假設(shè)不成立，∴a，b，c不可能都是奇數(shù)．類型二用反證法證明“至多、至少”類問題例2a，b，c∈(0,2)，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.證明假設(shè)(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因?yàn)閍，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.所以eq\f(?2－a?＋b,2)≥eq\r(?2－a?b)>1.同理，eq\f(?2－b?＋c,2)≥eq\r(?2－b?c)>1，eq\f(?2－c?＋a,2)≥eq\r(?2－c?a)>1.三式相加，得eq\f(?2－a?＋b,2)＋eq\f(?2－b?＋c,2)＋eq\f(?2－c?＋a,2)>3，即3>3，矛盾．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.反思與感悟(1)用反證法證明“至少”“至多”類命題，可減少討論情況，目標(biāo)明確．否定結(jié)論時需弄清楚結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯誤．需仔細(xì)體會“至少有一個”“至多有一個”等表達(dá)的意思．(2)常用的“原結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”歸納如下表：原結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個反設(shè)詞一個也沒有(不存在)至少有兩個至多有n－1個至少有n＋1個跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點(diǎn)．證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證．類型三用反證法證明唯一性命題例3求證：方程2x＝3有且只有一個根．證明∵2x＝3，∴x＝log23.這說明方程2x＝3有根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的．假設(shè)方程2x＝3至少有兩個根b1，b2(b1≠b2)，則＝3,＝3，兩式相除得＝1，∴b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2矛盾．∴假設(shè)不成立，從而原命題得證．反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性．跟蹤訓(xùn)練3求證：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)．證明設(shè)兩直線為a，b，假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能：無交點(diǎn)；至少有兩個交點(diǎn)．(1)若直線a，b無交點(diǎn)，那么a∥b或a，b是異面直線，與已知矛盾；(2)若直線a，b至少有兩個交點(diǎn)，設(shè)為A和B，這樣同時經(jīng)過點(diǎn)A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾．所以假設(shè)不成立，兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)．1．證明“在△ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A．三角形中至少有一個直角或鈍角B．三角形中至少有兩個直角或鈍角C．三角形中沒有直角或鈍角D．三角形中三個角都是直角或鈍角答案B2．用反證法證明“在三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個三角形中()A．有一個內(nèi)角小于60°B．每一個內(nèi)角都小于60°C．有一個內(nèi)角大于60°D．每一個內(nèi)角都大于60°答案B3．“a<b”的反面應(yīng)是()A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b或a>b答案D4．用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時，應(yīng)假設(shè)()A．a(chǎn)不垂直于c B．a(chǎn)，b都不垂直于cC．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b相交答案D5．已知f(x)＝x2＋px＋q.(1)求證：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于eq\f(1,2).證明(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于eq\f(1,2)不成立，則|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)，則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.因?yàn)閨f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，這與|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立，所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不少于eq\f(1,2).用反證法證題要把握三點(diǎn)(1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的．(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法．(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.一、選擇題1．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾．其中正確的為()A．①②③④ B．①③C．①③④ D．①②答案A2．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)答案D解析自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”．3．(1)已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設(shè)方程至少有一根的絕對值大于或等于1，以下結(jié)論正確的是()A．(1)與(2)的假設(shè)都錯誤B．(1)與(2)的假設(shè)都正確C．(1)的假設(shè)正確；(2)的假設(shè)錯誤D．(1)的假設(shè)錯誤；(2)的假設(shè)正確答案D解析(1)的假設(shè)應(yīng)為p＋q>2，(2)的假設(shè)正確．4．有下列敘述：①“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；②“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；③“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”．其中正確的敘述有()A．0個B．1個C．2個D．3個答案B解析①對；②錯，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；③錯，應(yīng)為三角形可以有2個或2個以上的鈍角．5．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個數(shù)不小于()A．0B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1答案B解析假設(shè)a，b，c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，故與已知a＋b＋c＝1相矛盾．故選B.6．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一個大于2C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2答案C解析假設(shè)a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))<6.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2＋2＋2＝6，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.二、填空題7．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時，應(yīng)假設(shè)________________．答案x＝a或x＝b8．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯誤．②所以一個三角形不能有兩個直角．③假設(shè)△ABC中有兩個直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.上述步驟的正確順序?yàn)開_______．答案③①②9．某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶．甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我沒有偷．根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是________．答案甲解析假如甲：我沒有偷是真的，則乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我沒有偷就是真的，與他們四人中有一人說真話矛盾．假如甲：我沒有偷是假的，則?。何覜]有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以判斷偷珠寶的人是甲．10．完成反證法證題的全過程．題目：設(shè)a1，a2，…，a7是由數(shù)字1,2，…，7任意排成的一個數(shù)列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)．①因?yàn)?個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)為________．②而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③②與③矛盾，故p為偶數(shù)．答案①a1－1，a2－2，…，a7－7②奇數(shù)③0解析由假設(shè)p為奇數(shù)可知，(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均為奇數(shù)，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)相矛盾．11．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________________．答案(－∞，－2]∪[－1，＋∞)解析若兩方程均無實(shí)根，則Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>eq\f(1,3).Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－2<a<0，故－2<a<－1.若兩個方程至少有一個方程有實(shí)根，則a≤－2或a≥－1.三、解答題12．若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y(tǒng)2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求證：a，b，c中至少有一個是大于0的．證明假設(shè)a，b，c都不大于0，則a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，∴a＋b＋c>0.這與a＋b＋c≤0矛盾，∴假設(shè)不成立，故a，b，c中至少有一個是大于0的．13．已知f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)，求證：方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．證明假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根，則x0<0且x0≠－1，且ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，∴0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，解得eq\f(1,2)<x0<2，這與x0<0矛盾，故方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．四、探究與拓展14．若a，b，c，d都是有理數(shù)，eq\r(c)，eq\r(d)都是無理數(shù)，且a＋eq\r(c)＝b＋eq\r(d)，則a與b，c與d之間的數(shù)量關(guān)系為_______________________________________________________________．考點(diǎn)