導(dǎo)數(shù)計算練習題答案1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y12x2在點x1處的導(dǎo)數(shù)。limlim12X2(1)X1X1切m1?f(X)f⑴解：f⑴lim——X1X122X21ini21imlx4X1X1x12一物體的運動方程為st3io,求該物體在t3時的瞬時速度。解:Vs(3)3t2t327t33求在拋物線yX2上橫坐標為3的點的切線方程。解：kf(3)2x|解：kf(3)2x|6，切點為（3,9）,

x3所求切線方程為y96（X3），即6xy904求曲線y&E上點（1,1）處的切線方程與法線方程.解：切線斜率kf⑴3法線斜率為-所求切線方程為2(

3(X1)，即2x3y10所求切線方程為2(

3(X1)，即2x3y10所求法線方程為l（X兒即3x2y505自變量X取哪些值時，曲線yX2與yX3的切線平行?解：f（0）解：f（0）f(0)解:由已知，2x3X2,解出X。或X6討論函數(shù)yXX在點x0處的可導(dǎo)性。"(x)頃=1訕里20X0X0X0X0"(x)f(0)=iiVoX0X0x0X0f(0)f（。），所以函數(shù)yxx在點x°處的可導(dǎo)，且f（°）°。7函數(shù)f(x)X213x1x11x在點、1處是否可導(dǎo)?解：f⑴lim也x1x1lim(x21)2x1x1I.x21limx1x1limx12x1limf(x)f(1)x1x1lim(3x1)2x1x1lim匚x1x18函數(shù)f(x)8函數(shù)f(x).1x2sin-

x⑴所以函數(shù)f(x)在點x1處不可導(dǎo)。,0在點x0處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)?0解：limf(x)x0limx2x0.1sin_x0f(0),所以函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。f(0)limf(x)f(0)limxsin!0x0x0x0x所以函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，且f(0)0。9求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(其中a,b為常數(shù))y3x2x5解：y6x1y2很x34<3x3x解：y2解：y22<x1

x2x22Tx14解:y-(2x)2(2)x3x一2x31X3解：y-=r-13X2X253-X22(5)y(s/x1)4^1)Jx解:(6)（X解:(x1)^/2xX2)(7)y(xb)(3x1)解:(xb)X2(ab)xabb)10求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中a,b,c,n為常數(shù)）(i)yxInx解：yxInxx(liix)Inx(2)yXnInx解:(xn)Inxxn(Inx)nxniInxXn—Xn1Inx1)X(3)y解：ylog很a11-logX2a2xIna(4)y解：y(x 1)(x1)(x1)x1)(x1)(x1)(x1)2(x1)2-A_(x1)2(5)5x1x2解：y(x 1)(x1)(x1)x1)(x1)(x1)(x1)2(x1)2-A_(x1)2(5)5x1x2解：y(5x)(1x2) (5x)(1x2)(1x2)25(1x2) (5x)(2x)(1x2)25(1x2)

(1x2)2(6)3x2x解：y(2x)(2x) (2x)(2(2x)2x)32(2x)(2x)(1)3 4(T^^ 3K^)11求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（i）y（i）yxsinxcosx解：ysinxxcosxsinxxcosx(2)yx1cosx解：y(1cosx)x(1cosx)(2)yx1cosx解：y(1cosx)x(1cosx)1cosxxsinx(1cosx)2(1cosx)2(4)y5sinx1cosx(5cosx)(1cosx)5sinx(1cosx)解：y廠打(5cosx)(1cosx)5sinx(sinx)5cosx5(1cosx)2(1cosx)2(1cosx)2 1cosx12求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中a,n為常數(shù)）y(1x2)5解：y5(1X2)4(1X2)5(1X2)4(2x)10x(1X2)4(2)y(23x2)__5x2解：y6x\：15x2(23x2)"5^^_6x^15x22x.i5x2(23x2^2^<15x2(3)解：解：6x(15x2)10x15x3X：15x216x45x3<15x2x2a2(x2a2)2\；'x2a22x2v'x2a2xp'x2a2x1x2xQ'1x2)x2)2:i:(2x)號1x2x一__寸x2Q'1x2)2<1x2y2Q'1x2)2x21(偵1x2)3log(1x2)a解：y(1x2)lna⑹yln(a2x2解：ybz、_ln&2x2)2(5)(1y(7)x22xx2)Ina(a2x2)2(a2x2)x-―-a2x2解：y(8)yyln(1<'x)ln(1Jx)sinnx解：ycosnx(nx)ncosnx(9)ysinxn解：COsxn(xn)nxn1COSXn(10)sinx解：nsimix(siix)ncosxsimix(11)xlntan-2解：(12)解：(13)解：(14)xtan—2(tanx)21x2sin-x2xsinlxlgxxtan-x2cos1(!)xxx2a2)7x2)(x-Jx2a2)ln10(xcosnx2xsinlx2x-—(tanx)2xtan_1x2cos—xx211xsec2—22xtan—22xsin!x1cos—x2.xxsi^cos—22sinx2、：'x2a2(x<x2a2)ln10xa2(xv'x2a2\.;x2a2ln10解：y[(cosx)n](n)(cosx)n1(cosx)nsinx(cosx)n113求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)yxarcsin21解：(2)211解:2xyarctany-1x211—(呂)2x1x2)2x2(1X2)22(1X2)2x(2x)(1x2)2(1x2)22(1x2)2(1x2)2(1^1(3)y(arcsin)2解:y2(arcsix)(arcsix(3)y(arcsin)2解:y2(arcsix)(arcsixi)2 22(arcsix)21(|)2f)2(arcsix)22(arcs4x2解:(5)解:x<1x2arcsinxp'1 x2xQ'1x2)1x2y'1解:(5)解:x<1x2arcsinxp'1 x2xQ'1x2)1x2y'1 x21x21x22^2廣

<1x2ysiRxJcosxsin(cox)cos<xQ；x)2 (cosx)2<'cosxcos(cosx)(co9c)cos^x—__s血cos(cosx)(sinx)cos^x—2<x2、；'cosx(6)ytan>(12x(6)ytan>(12x2)解:y2tan(12x2)[tan(12x2)]2tan(12x2)sec(12x2)(12x2)解:2tan(12x2)sec(12x2)4x8xtan(12x2)sec(12x2)14下列各題中的方程均確定y是x的函數(shù)，求y(其中a,b為常數(shù))xx2y2xy1解:方程兩邊對x求導(dǎo)，有2x2yyyxy0即(2yx)yy2x,解出yy2x解出yy2x2yxy22axyb0解：方程兩邊對x求導(dǎo)，有2yy2ay2axy°即(2y2ax)y2ay,（3）yxIny解：方程兩邊對x求導(dǎo)，有y1—即（1—）y1,yy解出y二y1（4）y1xey解:方程兩邊對x求導(dǎo)，有y3xeyy即（1xey）yey,ey解出y:1xey15求曲線y3y22x在點（1,1氏的切線方程和法線方程。解:點（1,1度曲線上即（1,1歷切點，切線斜率為y|,X12方程兩邊對X求導(dǎo)，有3y2y2yy2，解出y-———3y22y2于是得點（1，1場切線斜率為y|言，（1,1）52得切線方程為y1g（x1）,即2x5y30法線方程為y1；&1）,即5x2y7016利用取對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中a,a,...a,n為常數(shù)）:12n解：方程兩邊取自然對數(shù),lnylnx1(ln(1x)ln(1x))，1

方程兩邊對x求導(dǎo),一y

y-]x11

得yyj———-x2(x1)2(1x)(2)y三上解：方程兩邊取自然對數(shù)，lny2lnxln(1x)1 ,解：方程兩邊取自然對數(shù),lnylnx1(ln(1x)ln(1x))，1

方程兩邊對x求導(dǎo),一y

y-]x11

得yyj———-x2(x1)2(1x)(2)y三上解：方程兩邊取自然對數(shù)，lny2lnxln(1x)1 , 、2 ,、-ln(3x)-ln(3x)3 一方程兩邊對x求導(dǎo)，1

-y

y21x21得yy( xx11

3(x3)(3)y(sinx)tanx解：方程兩邊取自然對數(shù)，lnytanxln(six)方程兩邊對x求導(dǎo)，Lysec2xln(six)

y,cosxtanx sinxsec2xln(sin)1得y y[secxln(six)1]17求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(其中f可導(dǎo))(1)yf(ex)ef(x)，求y(解：yf (ex)exef(x) f (ex)ef(x) f (x) ef (x) [f (ex)ex f(x)f(ex)]⑵yf(exxe)，求y,x解：yf(ex解：yf(exexe1)(3)yf(sinx)f(co&x),求y解：yf(sinx)2sinxcosxf(co&x)2cosx(sinXsin2x[f(sinx)f(cosx)]18求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：x2tt2dy(1)y3tt3，求(3)yf(sinx)f(co&x),求y解：yf(sinx)2sinxcosxf(co&x)2cosx(sinXsin2x[f(sinx)f(cosx)]18求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：x2tt2dy(1)y3tt3，求dxdyy33t23(1t)解:&r「赤一^txasin3cos dy(2)yasin3sin，(其中'為常數(shù))’求贏y 7dyy， —ta(3cos3sinsin3cos)3cos3sinsin3cos解：dxxta(3cos3cossin3sin)3cos3cossin3sin業(yè)dx73(1)亞 3(1)12x1x019設(shè)有函數(shù)f(x) k2kxex1x0,

x0試分析在點x0處，k為何值時，k為何值時，f(x)連續(xù)，k為何值時，f(x)可導(dǎo)。if(x)有極限;解：(1)limf(x)

x0limf(x)x0limx1)x0limkxexx0i)所以*為任意實數(shù)時，limf(x)1。x0而f(0)k2,所以k21,即k函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)。limf(x)k2x0xf(0)f(x)f(0)f(0)limx0x0pznAX1k2i(0)1imX0x(kxex1)k2f(0)1imTOC\o"1-5"\h\zX0X由連續(xù)的條件，k21,pX1k2X11r因此f(0)limlim1X0XxoXr1.&xex1)k2(kxex1)11.kxex.I(0)1im1im1imkX0Xx0Xx0x所以k1函數(shù)f(x)在點X1處可導(dǎo)。X2]X120設(shè)f(x)|1在點x1處可導(dǎo)，求a,b的值。axbx1解：函數(shù)f(x)在點X1處可導(dǎo)，必先在該點連續(xù)，1imf(x)1im&21)0X1X11imf(x)1im@xb)abX1X1f⑴0所以ab。時，函數(shù)f(x)在點X1處連續(xù)，r、f(x)f⑴f(x)I(1)111111imx1X1X1X1X21f(1)1imlim&1)2x1x1x1r/八1.axb1.axaI(1)1im1imaX1X1x1X1所以a2,b2函數(shù)f(x)在點x1處可導(dǎo)。21求下列各函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(1)yln(1x2)解：y2x2(1x2)2x2x2(1x2)y1x2，(1x2)2(1x2)解：y(2)y(1x2)arctax解:y2xarctaix(1x2)_￡_1x2解:y2xarctaix(1x2)_￡_1x22xarctaix12arctaix2x1x222設(shè)y