冀教新版八年級下學(xué)期《22.1平行四邊形的性質(zhì)》

同步練習(xí)卷

解答題(共50小題)

1.如圖，在團(tuán)ABCD中，E,F分別是C￡>,AB上的點(diǎn)，且。E=BF.求證：AE=CF.

2.已知，回ABCQ中，DMLAC,BNLAC,M,N為垂足.

求證：DM=BN.

3.如圖，在團(tuán)ABCC中，AB=3,AD=4,ZABC=60°,過BC的中點(diǎn)E作EK1AB,垂足

為點(diǎn)F,與。C的延長線相交于點(diǎn)

(1)求的長；

(2)求△OEF的面積.

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，BC=6cm,將紙片沿對角線AC對折，BC邊與4。邊交

于點(diǎn)E,此時，△CDE恰為等邊三角形.求：

(1)AB的長度；

(2)請說明AC與38’的位置關(guān)系.并求AC的長度;

(3)陰影部分的面積.

B,

5.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AD//BC,AB=CD,AC=BC,點(diǎn)E是的中點(diǎn),

連接BE并延長交CD的延長線于點(diǎn)F.

(1)試說明：△ABE也△OFE；

(2)連接CE,當(dāng)BE平分N4BC時，試說明：CELBF.

6.如圖，在團(tuán)A8CD中，對角線AC與BO相交于點(diǎn)O,ZCAB^ZACB.

(1)求證：AC1.BD；

(2)過點(diǎn)。作。FLA8于點(diǎn)F,。尸交AC于點(diǎn)E,EF=3,￡0=4,0C=10,求/ABC的

7.如圖，在平行四邊形A8CC中，E,戶為對角線8。上的兩點(diǎn)，且/84E=N￡?CF.求證:

BE=DF.

8.如圖，在團(tuán)A8C。中，AB=6cm,BC=\\cm,對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,求△BOC與

△AO8的周長的差.

9.平行四邊形ABCD中，C￡>=8,/C=60°,點(diǎn)尸為邊BC上一動點(diǎn)，連接。P,作/AO尸

的平分線交CB的延長線于F.

(1)求證：PD=PF；

(2)若DPLCB,求。F的長.

10.在回A8CD中，NBA。的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線QC于點(diǎn)八

(1)在圖1中證明CE=CF；

(2)若NABC=120°,FG//CE,FG=CE,分別連結(jié)QB、DG(如圖2),求/BQG的度

數(shù).

11.己知：如圖，在EL4BCC中，NBCO的平分線CE交AO于點(diǎn)E,NA8c的平分線8G

交CE于點(diǎn)、F,交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：AE=DG.

(2)若BG將分成3：1的兩部分，且AO=20,求團(tuán)ABC。的周長.

12.如圖，平行四邊形中，AE_LBC于E,AF_LCC于F.

(1)若/E4F=65°,求NBA。的度數(shù);

(2)若AE=3c，”，BC=5cm,CD=4cm,求AF的長.

13.如圖，在團(tuán)ABC。中，E,F分別在4。，BC上，且AE=CF,連結(jié)BE、DF.

14.如圖所示，點(diǎn)、E,F是平行四邊形ABC。對角線8D上的點(diǎn)，BF=DE,求證：AE=CF.

15.(1)如圖在平行四邊形ABC。中，PQ、MN分別平行。C、AD.PQ、MN交于。點(diǎn)，

其中S四邊形AMOP=3,5四邊形MBQO=4,S四地形NCQO=1°，則△OMQ的面積=.

(2)已知正數(shù)“，b,c,d滿足上包■=%型a=9,退=工，生邑=1，則a+c-8-d

abc4d9

16.如圖，平行四邊形ABC。中，AC、8。為對角線且相交于點(diǎn)。，BC=8,BC邊上的高

為4,求陰影部分的面積.

17.在團(tuán)ABC。中，點(diǎn)。是對角線AC、BO的交點(diǎn)，AC垂直于BC,且4B=10cro,4D=8c%.

求：(1)AC的長;

18.如圖，團(tuán)ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)4E并延長交。C的延長線于尸.試問：AB

與CF相等嗎？請說明理由.

19.如圖：平行四邊形ABCC中，NA8C的平分線交AZ)于E,N8CD的平分線交AO于F,

且AB=3,DE=2,

(1)求平行四邊形ABC。的周長.

(2)求證：BELCF

(3)若CF=2,求BE的長.

20.已知，如圖，E,尸是回ABC。的對角線4c上的兩點(diǎn)，AE^CF,試說明:

(1)AABC^ACDF；

21.如圖，過平行四邊形A8CD對角線交點(diǎn)O的直線交AZ)于E,交BC于F,若43=5,

BC=6,OE=2,求四邊形EFCZ）周長.

AED

B

22.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F分別是BC、AO上的點(diǎn)，且4E〃C凡求證：AE

AC=4,求I3ABCD的周長及面積.

24.如圖，平行四邊形ABCC中，E與尸分別是AD,BC上一點(diǎn)，在：?AE=CF,②BE

//DF,（3）Z1=Z2,④乙4+NC=180°中，請選擇一個適合的條件，證明：BE=DF.

（1）你選擇的條件是.（只需填寫序號）；（2）證明:

25.我們知道平行四邊形的一條對角線把這個平行四邊形分成兩個全等的三角形.如圖，請

你用“絲”表示這兩個全等三角形，并寫出圖中相等的邊和相等的角.

26.如圖，在團(tuán)ABC。中，/ABC的平分線交于點(diǎn)E,交C。的延長線于點(diǎn)F,

（1）請寫出圖中的等腰三角形，并證明其中一個三角形是等腰三角形;

（2）若E恰好是AD的中點(diǎn)，AB長為4,/A8C=60°,求△8CF的面積.

27.如圖，直角坐標(biāo)系中的網(wǎng)格由單位正方形構(gòu)成.△ABC中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)、8(-

2,0)、C(0,-1).

的長為,NACB的度數(shù)為

(2)若以A、B、C及點(diǎn)。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試畫出其中一個平行四邊形,

并寫出所畫平行四邊形中D點(diǎn)的坐標(biāo).

，點(diǎn)M、N分別在線段ZM、BA的延長線上，且BD=BN

=DM,連接BM、并延長交于點(diǎn)P.

(1)求證：ZP=90°-—ZC；

2

(1)ZB,NC的度數(shù);

(2)回ABCD的周長.

EB

30.已知：如圖，在回A8CD中，BE、CE分別平分NA8C、/BCD,E在4。上，BE=12cm,

CE=5CTW.求回ABC。的周長和面積.

31.在mABC。中，E是AO上一點(diǎn)，AE^AB,過點(diǎn)E作直線EF,在所上取一點(diǎn)G,使得

NEGB=/EAB,連接AG.

(1)如圖1,當(dāng)EF與AB相交時，若/EAB=60°,求證：EG=AG+BGz

(2)如圖2,當(dāng)EF與AB相交時，若NE4B=a(0°<a<90°),請你直接寫出線段EG、

AG、8G之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示)；

(3)如圖3,當(dāng)EF與C￡)相交時，且/E4B=90°,請你寫出線段EG、AG、BG之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

32.如圖，平行四邊形A8C/)中，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，連接BE并延長交的延長線于點(diǎn)

F.

(1)求證：△ABE會△￡>下￡；：

(2)連接CE,當(dāng)8E平分/A8C時，CE與8F有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由.

33.如圖，分別延長回A8CD的邊CD,A8至ljE,F,使DE=BF,連接EF,分別交AD,

8C于G,H,連結(jié)CG,AH.求證：CG//AH.

F.

34.如圖，在囿4BCZ)中，2。為對角線，EP垂直平分8。分別交A。、BC的于點(diǎn)E、F,交

BO于點(diǎn)0.

(1)試說明:BF=DE；

(2)試說明：AABE冬ACDF；

(3)如果在回A2C。中，AB=5,A￡>=10,有兩動點(diǎn)尸、。分別從反。兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿

△BAE和△￡>「(?各邊運(yùn)動一周，即點(diǎn)P自B停止，點(diǎn)。自。一F-Cf。停

止，點(diǎn)P運(yùn)動的路程是加，點(diǎn)。運(yùn)動的路程是％當(dāng)四邊形BPDQ是平行四邊形時，求

，“與〃滿足的數(shù)量關(guān)系.(畫出示意圖)

35.如圖，已知團(tuán)A8C￡>,AE平分NBA。，交DC于E,DFLBC于F,交AE于G,且OF

=AD.

(1)試說明OE=BC；

(2)試問A8與。G+FC之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由.

36.如圖：回ABC。中，NBCQ的平分線CE交邊AQ于E,/ABC的平分線BG交CE于

F,交A。于G,求證：AE=BG.

GB

DC

37.在平行四邊形ABC。中，AB^2BC,M是AB的中點(diǎn)，求證：DMLCM.

38.如圖，平行四邊形48CD中，CF1.BD,且CF=BD,連接AF,E為4尸中點(diǎn)，連接EB、

ED,判斷△E8O的形狀，并證明你的結(jié)論.

39.如圖，在團(tuán)ABCO中，對角線BCA8,G為8。延長線上一點(diǎn)且4CBG為等邊三角形,

/BCD、NAB。的角平分線相交于點(diǎn)E,連接CE交8。于點(diǎn)F,連接GE.

（1）若CG的長為8,求團(tuán)ABCE）的面積；

（2）求證：CE=BE+GE.

40.在回4BCD中，/A=/DBC,過點(diǎn)。作且NEDF=NA8O,連接EF、EC,

N、產(chǎn)分別為EC、BC的中點(diǎn)，連接NP.

（1）如圖1,若點(diǎn)E在。P上，EF與DC交于點(diǎn)M,試探究線段NP與線段NM的數(shù)量關(guān)

系及NA8O與NMNP滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論；

（2）如圖2,若點(diǎn)M在線段EF上，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時，你在（1）中得到的結(jié)論仍然成

立，寫出你確定的點(diǎn)M的位置，并證明（1）中的結(jié)論.

DD

41.如圖，在團(tuán)ABC。中，BE交對角線AC于點(diǎn)E,DF〃BE交AC于點(diǎn)、F.

(1)寫出圖中所有的全等三角形(不得添加輔助線)；

(2)求證：BE=DF.

BC

42.己知AC是團(tuán)A8C￡＞的一條對角線，8AM4C于M,DNLAC于N,求證:

(1)/\ADN坦XCBM；

(2)連接。8,則QB平分MN.

43.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按要

求完成下列各題：

(1)以AC為對角線畫一個平行四邊形ABCD

(2)線段C。的長為.

44.如圖，已知回4BCQ的周長為100,對角線AC、8。相交于點(diǎn)O,△AO。與△AOB的周

長之差為20,求AD,CD的長.

D

-----------

45.已知：如圖，回ABC。中，點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)F.猜想

AB與AF有什么關(guān)系？為什么？

46.如圖所示，在平行四邊形ABC力中，4EJ_8C于點(diǎn)E,A凡LCO于點(diǎn)凡NE4F=45°,

且AE+AF=272.求平行四邊形ABCD的周長.

47.如圖，己知平行四邊形A8C。及四邊形外一直線/,四個頂點(diǎn)A、B、。、。到直線/的

距離分別為a、b、c、d.

（1）觀察圖形，猜想得出4、氏C、d滿足怎樣的關(guān)系式？證明你的結(jié)論.

（2）現(xiàn)將/向上平移，你得到的結(jié)論還一定成立嗎？請分情況寫出你的結(jié)論.

48.如圖，在回ABCC中，E為BC的中點(diǎn)，連接OE.延長。E交A8的延長線于點(diǎn)F.求

證：AB=BF.

49.如圖，四邊形48co是平行四邊形，且48=10,/1D=8,AC1BC,求04的長及EIA8C。

的面積.

50.如圖，在圈ABCD中，AD=6cm,點(diǎn)、P、。分別是邊8C、4。上的動點(diǎn)，點(diǎn)尸以一定的

速度沿BC從B向C勻速運(yùn)動，與此同時點(diǎn)。以相同的速度沿從A向。運(yùn)動，連接

AP、PD、BQ、CQ、AP、BQ交于點(diǎn)H,PD、CQ交于點(diǎn)I,連接HI.試猜想：在運(yùn)動

的過程中，H/的長度是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出H/的長度？

BC

冀教新版八年級下學(xué)期《22.1平行四邊形的性質(zhì)》2019

年同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

解答題（共50小題）

1.如圖，在回A8CD中，E,F分別是CD,AB上的點(diǎn)，且。E=8F.求證.：AE=CF.

【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得A8〃CD,AB=CD,再求出CE=AF,然

后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形AFCE是平行四邊形，根

據(jù)平行四邊形對邊相等即可得證.

【解答】證明：四邊形ABC。是平行四邊形，

C.AB//CD,AB=CD,

,:DE=BF,

：.CD-DE=AB-BF,

即CE=AF,

二四邊形AFCE是平行四邊形，

：.AE^CF.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，主要利用了平行四邊形的一組對邊平行且相

等以及有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.已知，囿4BCD中，DMA.AC,BNLAC,M,N為垂足.

求證：DM=BN.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，由44s證明△4OM絲△C8N,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

即可求解.

【解答】證明：BNLAC,

.../AMO=NCM?=90°,

?.?在回ABC。中，AD=BCS.AD//BC,

：.NDAM=/CBN,

在△AOM與△CBN中，

rZAMD=ZCNB

"ZDAM=ZCBN,

,AD=BC

△AOM絲△CBN(AAS),

:.DM=BN.

【點(diǎn)評】本題考查了利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)線段相等的證明.

3.如圖，在團(tuán)ABCD中，AB=3,AD=4,ZABC=60°,過BC的中點(diǎn)E作EF_LAB,垂足

為點(diǎn)凡與。C的延長線相交于點(diǎn)，.

(1)求EF的長；

(2)求△￡>￡尸的面積.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=C￡>=3,AO=8C=4,求出BE、BF、EF；

(2)根據(jù)相似得出CH=1,EH=y/3根據(jù)三角形的面積公式求△OF”的面積，即可求出

答案.

【解答】解：(1)???四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD=BC=4,AB//CD,AB=CD=3,

為BC中點(diǎn)，

:.BE=CE=2,

VZB=60°,EF1.AB,

:.NFEB=3G°,

；.BF=1,

由勾股定理得：EF=M；

(2)'：AB//CD,

：.ZB=ZECH,

在△8FE和△C”E中，

rZB=ZECH

?BE=CE,

,ZBEF=ZCEH

:.△BFEmXCHE(ASA),

：.EF=EH=y/3>CH=BF=1,

,/SADHF=^DH-FH=4\[3,

SADEF=WSADHF=2\[^.

【點(diǎn)評】本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角

三角形、三角形的面積、三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些

性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，BC=6cm,將紙片沿對角線AC對折，BC邊與AD邊交

于點(diǎn)E,此時，△CCE恰為等邊三角形.求：

(1)AB的長度；

(2)請說明AC與的位置關(guān)系.并求AC的長度；

(3)陰影部分的面積.

【分析】(1)首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=DC=FC,ND=60°,根據(jù)折疊的性質(zhì)，

ZBCA=ZECA,再利用平行四邊形的性質(zhì)證明/D4C=30°,ZAC￡>=90°,利用直

角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半可得CD長，進(jìn)而可得A3的長；

(2)由(1)可知，/4C￡>=90°,由AB〃CD,推出NBAC=NACZ)=9O°,再利用勾股

定理求出4c即可；

(3)利用三角函數(shù)值計算出AC,然后根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得SMCF=，

SAACD,進(jìn)而可得答案.

【解答】解：(1)???△CDE為等邊三角形,

:?DE=DC=EC,ND=NCED=60°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，ZBCA=ZB,CA,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC=6cmfAB=CD,

：.ZEAC=ZBCAf

：.ZEAC=ZECA

：.EA=EC,

：.ZDAC=30°,

AZACD=90°,

CD—AD—3cmi

2

AB=3cm；

(2)結(jié)論：AC1.BB',

理由：由(1)可知，ZACD=90°,

WB//CD,

：.ZBAC=ZACD=90°,

22=22=3

在RtZVlBC中，^C=VBC-AB76-3^

(3)'：CD=3cmfZACD=90°,ZDAC=30°,

.,.AC=3yf3cm,

?』ACE=±&A8=3xAUC￡>=tx3X373=-^-&/)-

2444

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握

平行四邊形的對邊平行且相等，直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AD//BC,AB^CD,AZ)=BC,點(diǎn)E是AO的中點(diǎn),

連接BE并延長交CD的延長線于點(diǎn)F.

(1)試說明：AABE^ADFE；

(2)連接CE,當(dāng)BE平分NA8C時，試說明：CE1BF.

【分析】(1)直接利用全等三角形的判定方法得出答案；

(2)直接利用全等三角形的性質(zhì)得出BE=EF,再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得

出答案.

【解答】證明：(I),JAB//CD,

，NA=NFDA,

在△ABE和△DFE中

'ZA=ZFDE

V-AE=DE，

,ZAEB=ZDEF

:.△ABEQlXDFE(ASA)；

(2)?.?△ABEgADFE,

:.NABE=NF,BE=EF,

平分NA8C,

NABE=NCBE,

；.NCBE=NF,

又,：BE=EF,

：.CE±BF.

【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確把握全等三

角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.如圖，在E1ABC。中，對角線AC與BQ相交于點(diǎn)。，ZCAB=ZACB.

(1)求證：ACLBD-,

(2)過點(diǎn)。作。尸于點(diǎn)ROF交AC于點(diǎn)E,EF=3,E0=4,OC=10,求/4BC的

度數(shù).

【分析】(1)由NC4B=ZACB,可得AB=BC,又由四邊形ABCD是平行四邊形，可得邑48c。

是菱形，即可證得結(jié)論；

(2)由EF=3,E0=4,0C=10,易得￡F=!"，繼而求得N54C的度數(shù)，則可求得答

2

案.

【解答】(1)證明：：/C4B=/ACB,

：.AB=BC,

團(tuán)4BCO是菱形,

：.AC±BD；

(2)解：：四邊形A8CD是菱形，

：.OA=OC=\0,

VE0=4,

：.AE=OA-0E=6,

'：DFLAB,

：.ZAFE=90°,

'：EF=3,

：.EF=—AF,

2

84c=30°,

NB4D=2N8AC=60°,

，NABC=180°-NBAD=120°.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的

性質(zhì).注意證得四邊形是菱形是關(guān)鍵.

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,尸為對角線8D上的兩點(diǎn)，且NBAE=NDCF.求證:

BE=DF.

D

【分析】由在平行四邊形ABC。中，ZBAE^ZDCF,易證得△/WEgaCOB(ASA),繼而

證得結(jié)論.

【解答】證明：?.?在平行四邊形A8CQ中，AB//DC,AB=CD,

：.NABD=NCDB,

在△ABE和△CD8中，

2BAE=NDCF

-AB=CD

LZABD=ZCDB

:./\ABE安/\CDB(ASA),

：.BE=DF.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意證得△ABEgA

CC8是關(guān)鍵.

8.如圖，在回A8CD中，AB^6cm,BC^Wcm,對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,求△BOC與

△408的周長的差.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，△BOC與△AOB的周長的差=8C-A8,由此即可解

決問題.

【解答】解：???四邊形ABC。是平行四邊形,

：.OA=OC,

...△80C與aAOB的周長的差=BC+OC+OB-(AB+AO+OB)=BC-A8=11-6=5a〃.

.?.△80C與aAOB的周長的差為5cm.

O

B

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形周長等知識，解題的關(guān)鍵是記住這些知識，靈

活解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.平行四邊形A8CD中，C￡>=8,/C=60°,點(diǎn)P為邊8C上一動點(diǎn)，連接。P,作尸

的平分線交CB的延長線于F.

(1)求證：PD=PF；

(2)若DPLCB,求。F的長.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD//BC,得出NAOF=NF,再由角平分線定義證

出/F=/P￡)F,即可得出PD=PF；

(2)由(1)得：PD=PF,由DP上CB,ZC=60°,得出尸是等腰直角三角形，Z

PDC=30°,得出CP=/c￡>=4,由勾股定理求出PF=如=也b2YP2=a,得出

DF=\[2PD^4y/&J.\iai.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

.'.AD//BC,

：.NADF=NF,

'：DF^ZADP,

：.NADP=/PDF,

:./F=NPDF,

:.PD=PF；

(2)解：由(1)得：PD=PF,

VDP1CB,ZC=60°,

.?.△PO尸是等腰直角三角形，ZPDC=90°-60°=30°,

.?.CP=LCD=4,

2

PF=PD={CD?-Qp2=4y/^

:.DF=\[jpD=4瓜

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的

判定等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出PD是解決問題（2）的關(guān)鍵.

10.在因中，的平分線交直線于點(diǎn)E,交直線0c于點(diǎn)F.

(1)在圖1中證明CE=CF；

(2)若NABC=120°,FG//CE,FG=CE,分別連結(jié)。8、DG(如圖2),求/BDG的度

數(shù).

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD//BC,AB//CD.證出/D4F=/CEF,ZBAF

=NF,得出NCEF=N/，即可得出結(jié)論；

(2)證出四邊形CEG尸是菱形，得出EG=EC,NGCF=NGCE=L/ECF=60°.得出

2

△ECG是等邊三角形.得出EG=CG,ZGEC=ZEGC=60°,得出/GEC=NGCF,

因此NBEG=/Z)CG,證出AB=8E.BE=DC,由SAS證明△8EG絲△OCG.得出BG

=DG,Nl=/2,求出NBGZ),即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：尸平分N84O,

；.NBAF=NDAF,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AB//CD.

:.NDAF=NCEF,ZBAF=ZF,

：.ZCEF=ZF,

:.CE=CF.

(2)解：分別連接GB、GE、GC,如圖2所示.

'."AB//DC,NABC=120°,

：.ZECF=ZABC=120°,

：FG〃C￡^FG=CE,

四邊形CEG尸是平行四邊形.

由(1)得CE=CF,

，四邊形CEGR是菱形,

：.EG=EC,NGCF=NGCE=L/EC尸=60°.

2

.二△ECG是等邊三角形.

：.EG=CG,NGEC=/EGC=60°,

：.ZGEC=ZGCF,

：.ZBEG=ZDCG,

由AO〃2C及AF平分NB4O可得/BAE=NAEB,

：.AB=BE.

在口488中，AB=DC.

：.BE=DC,

rK=CG

在ABEG和AOCG中，，/BEG=NDCG，

BE=DC

.,.△BEG^ADCG(SAS').

：.BG=DG,ZBGE=ZCGD,

：.NBGD=NBGE+NDGE=ZBGE+ZDGE^/EGC=60°.

AZBDG=—(180°-ZBGD)=60°.

2

【點(diǎn)評】此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定、

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識：熟練掌握平行四邊形的判定與性

質(zhì)，證明三角形全等是解決問題(2)的關(guān)鍵.

11.已知：如圖，在回A8CD中，N8CZ)的平分線CE交AO于點(diǎn)E,NA8c的平分線BG

交CE于點(diǎn)立交4力于點(diǎn)G.

(1)求證：AE=DG.

(2)若BG將40分成3：1的兩部分，且AD=20,求13ABec的周長.

G,D

-------------------?C

【分析】(1)由在平行四邊形A3C￡＞中，N8CZ)的平分線CE交AZ)于E,/A8C的平分線

BG交CE于F,證出AARG與△OCE是等腰三角形，得出AG=OE,則可證得結(jié)論；

(2)由BG將4D分成3：I的兩部分，且40=20,可求得AB的長，繼而求得E1ABCD的

周長.

【解答】(1)證明：???四邊形A8CO是平行四邊形，

：.AB=CD,AD//BC,

：.NAGB=NCBG,NDEC=ZBCE,

'：ABCD的平分線CE交AD于E,4ABe的平分線BG交CE于F,

：.NABG=NCBG,4DCE=/BCE,

：.ZABG^ZAGB,NDCE=/DEC,

：.AB=AG,CD=DE,

：.AG=DE,

：.AD-AG=AD-DE,

：.AE=DG.

(2)解：將4力分成3：1的兩部分，且AD=20,

3

，AG=±AO=15,

4

：.AB=AG=\5,

.?.團(tuán)438的周長為：2(AB+AD)=2X(15+20)=70.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).注意證得△ABG與

△DCE是等腰三角形是關(guān)鍵.

12.如圖，平行四邊形中，A￡_LBC于E,AF_LC。于F.

(1)若NEAF=65°,求/8AO的度數(shù)：

(2)若AE=3a*,BC=5cm,CD=4cm,求4尸的長.

【分析】(I)由垂線的定義和四邊形內(nèi)角和求出NC=115°,再由平行四邊形的性質(zhì)得出

(2)根據(jù)平行四邊形的面積為定值計算即可.??/BAQ=NC=115°即可.

【解答】解：(1)于E,AF_LC￡＞于凡

.?./4EC=NABC=90°,

VZAEC+ZC+ZEAF+ZAFC=360°,ZEAF=65a,

AZC=115°,

?.?四邊形A2CQ是平行四邊形，

；./BAO=NC=115°；

(2)?.?平行四邊形的面積=CD?A尸=BC?A￡,

一.、

..AF=-B-C--A--E=-5--X--3=-1--5(cm).

CD44

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的面積公式、四邊形內(nèi)角和；熟練掌握

平行四邊形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的面積的計算方法是解決問題(2)的關(guān)鍵.

13.如圖，在回ABCC中，E,尸分別在A。，BC上，且AE=CF,連結(jié)BE、DF.

求證：BE=DF.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AO〃8C,AD=BC,求出OE=BF,DE//BF,得出四邊

形DE8廠是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可.

【解答】證明：?四邊形ABCC是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

'：AE=CF,

:.DE=BF,DE//BF,

...四邊形。EB尸是平行四邊形，

：.BE=DF.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形

DEBF是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖所示，點(diǎn)E,F是平行四邊形ABC。對角線BO上的點(diǎn)，BF=DE,求證：AE^CF.

B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AZ)〃3C,AD^BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/ED4=

NFBC,再加上條件ED=8尸可利用SAS判定△AE￡>g/\CFB,進(jìn)而可得AE=CF.

【解答】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZEDA^ZFBC,

在△AE￡>和△CF8中，

rAIi=BC

-ZADE=ZCBF，

即DE

(SAS),

：.AE=CF.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四

邊形對邊平行且相等.

15.(1)如圖在平行四邊形ABCZ)中，PQ、分別平行DC、AD,PQ、MN交于。點(diǎn)，

17

其中S四邊彩4Mop=3,S四邊形MBQ0=4,S四邊形NCQO=10，則△OM。的面積=_~2~—'

(2)已知正數(shù)n,b,c,d滿足紅色=4,變4=9,運(yùn)=工，生￡=工，貝iJa+c-力-1

abc4ds

_5

【分析】(1)先根據(jù)等高平行四邊形的面積比等于底邊的比求出平行四邊形PON。的面積，

然后求出三塊空白部分的面積，再利用平行四邊形ABC。的面積減去空白部分的面積即

可；

(2)首先將已知的4個式子相乘得出劭cd=l,進(jìn)而分別求出a,b,c,"的值即可求出答

案.

【解答】解：(1)設(shè)平行四邊形POND的面積為x,

則春=尊，

34

解得：x=7.5,

191

SZXAMD=±X(7.5+3)=0，

24

5，AA/B^=-1-><4=2,

135

SZ\CDQ=R>(7.5+10),

24

三角形區(qū)域的面積=3+4+10+7.5-烏-2-學(xué)=毛

442

故答案為：冬；

2

(2)根據(jù)題意將四個式子相乘可得：(〃歷“)2=1,又a,b,c,"為正數(shù)，

所以abcd=l,則。以/=工，又bcd=4a,B|J—=4a,

aa

解得Q=t；

2

則4cd=9。，acd=—,

b

故9/7—---?

b

解得：b="^,

同理可求出：c=2,d=3,

11R

故a+c-/?-d=(a+c)-(b+d)=(—F2)-(—+3)=--.

236

故答案為：

6

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及分式的混合運(yùn)算，根據(jù)題意正確得出各三角

形面積是解題關(guān)鍵.

16.如圖，平行四邊形ABCO中，AC、8。為對角線且相交于點(diǎn)。，BC=8,BC邊上的高

為4,求陰影部分的面積.

■D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半，再由平行

四邊形的面積得出答案即可.

【解答】解：由平行四邊形的性質(zhì)可知，陰影部分的面積就是平行四邊形ABCD面積的一

半，

即工X8X4=16,

因此，陰影部分的面積為：16.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的面積和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì).

17.在回ABC￡＞中，點(diǎn)。是對角線的交點(diǎn)，AC垂直于BC,且10c”?，AO=8cm.

求：(1)AC的長;

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=8cm,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：在團(tuán)A8CD中BC=AQ=8c〃?,

(1)垂直于BC,

；.NACB=90°,

■,-AC=VAB2-BC2=6cm；

(2)VOC^—AC=3cm,

2

OB=y/BC2-K)C2=y^,

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行

推理計算是解決問題的關(guān)鍵.

18.如圖，EIABC。中，E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長交0C的延長線于尸.試問：AB

與CF相等嗎？請說明理由.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得然后

證明4ABEg4FCE可得AB=CF.

【解答】解：48與C尸相等；

???四邊形A8CQ是平行四邊形，

C.AB//CD,

NABE=NF,

YE是BC的中點(diǎn)，

：.BE=CE,

'NBAF=NF

在△ABE和中，CE=BE

ZAEB=ZCEF

:.△ABE^XFCE(ASA),

：.AB=^CF.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握平

行四邊形對邊平行.

19.如圖：平行四邊形ABCD中，N4BC的平分線交4。于E,/BCD的平分線交AO于尸，

且AB=3,DE=2,

(1)求平行四邊形ABC。的周長.

(2)求證：BELCF

(3)若CF=2,求BE的長.

【分析】(1)由平行四邊形A8CD中，NABC的平分線交AD于E,可得aABE是等腰三角

形，即可求得AD的長，繼而求得答案；

(2)由平行四邊形ABC。中，NABC的平分線交AD于E,/BC。的平分線交A。于尸,

易證得NCBE+/BCF=90°,繼而證得結(jié)論；

(3)首先過點(diǎn)E作EN〃CF,交8c的延長線于點(diǎn)M然后由勾股定理求得BE的長.

【解答】(1)解：；四邊形ABCC是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.NAEB=NCBE,

"E平分/A8C,

/ABE=NCBE,

：.NABE=ZAEB,

：.AE=AB=3,

：.AD=AE+DE^3+2=5,

二平行四邊形ABC。的周長為：2(AB+AO)=2X(3+5)=16；

(2)證明：設(shè)BE與CF交于點(diǎn)M,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,

：.ZABC+ZBCD=ISO°,

：8E平分/ABC,CF平分NBCQ,

:.NCBE=LNABC,NBCF=L/BCD,

22

：.NCBE+NBCF=90°,

：.ZBMC=90),,

即BEVCF-,

(3)解：過點(diǎn)、E作EN〃CF,交8C的延長線于點(diǎn)N,

'：AD//BC,

.??四邊形EFCN是平行四邊形，

：.CN=EF,EN=CF=2,

'：AB=AE^3,

同理：CD=DF=AB=3,

：.EF=AE+DF-AO=3+3-5=1,

CN=1,

；.BN=BC+CN=5+1=6,

22=4

在RtZ\B￡N中，^￡=VBN-EN^2-

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì).此題難度

適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

20.已知，如圖，E,F是團(tuán)ABCQ的對角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF,試說明：

(1)△AB8XCDF：

(2)BE//DF.

【分析】(1)可由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明△ABE絲△(?￡>「，

(2)由(1)得出NAEB=NCF￡),即/BEC=/。項，進(jìn)而可求證。尸與BE平行.

【解答】證明：(1)二?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

:./BAE=NDCF,

又；AE=C尸，

'前二CD

<ZDCF=ZBAE?

,AE=CF

：.^\ABE^/\CDF(SAS)；

(2):△ABE也△CDF,

NAEB=NCFD,

:.NBEC=NDFA,

：.DF//BE.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，能夠運(yùn)用其性質(zhì)解

決一些簡單的證明問題.

21.如圖，過平行四邊形A8C。對角線交點(diǎn)。的直線交AO于E,交BC于F,若48=5,

BC=6,0E=2,求四邊形周長.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD=8C=6,AB=CD=5,OA=OC,AD//BC,推出N

EAO^ZFCO,證△AE。部△CFO,推出AE=CF,OE=OF=2,求出Z>E+CF=OE+AE

=40=6,即可求出答案.

【解答】解：???四邊形A8CQ是平行四邊形，

：.AD=BC=6,AB=CD=5,OA=OC,AD//BC,

：.ZEAO^ZFCO,

在△AE。和△(?入?中，

rZAOE=ZCOF

<OA=OC，

kZEAO=ZFCO

???△AEO^ACFOCASA),

：.AE=CF,0E=0F=2,

：.DE+CF=DE+AE=AD=6,

四邊形EFCD的周長是EF+FC+CD+DE=2+2+6+5=15.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE+CF

的長和求出。尸長.

22.如圖，在平行四邊形A8CZ)中，E、F分別是BC、A。上的點(diǎn)，且AE〃CF,求證：AE

=CF.

?i—￡---------7D

BEC

【分析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明4F=EC,A尸〃EC即可.

【解答】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

且E、F分別是8C、AO上的點(diǎn)，

：.AF=EC,

又,:四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,HPAF//EC.

四邊形AFCE是平行四邊形，

：.AE=^CF.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判斷方法，平行四邊形可以從邊、角、對角線三方面進(jìn)行

判定，在選擇判斷方法時，要根據(jù)題目現(xiàn)有的條件，選擇合理的判斷方法.

23.如圖：在國ABC。中，CA±BA,AB=3,AC=4,求ElABCD的周長及面積.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,AD^BC,由勾股定理求出5C,即可得出四邊

形ABC。的周長以及面積.

【解答】W：VCA1BA,48=3,AC=4,

BC=J32+q2=5,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AD=BC=5,AB=DC—3,

.?.回ABC。的周長為：2X（5+3）=16；

EL4BCZ）的面積為：4X3=12.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形周長的計算；熟練掌握平行

四邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出3c是解決問題的關(guān)鍵.

24.如圖，平行四邊形ABCC中，E與尸分別是4。，BC上一點(diǎn)，在：①AE=CF,②BE

//DF,（3）Z1=Z2,④乙4+NC=180°中，請選擇一個適合的條件，證明：BE=DF.

（1）你選擇的條件是①或②或③（只需填寫序號）；（2）證明：

【分析】(1)①或②或③.

(2)①AE=C/，根據(jù)SAS證明△ABE絲△CDF即可.

?BE//DF,只要證明四邊形BED尸是平行四邊形即可.

(3)Z1=Z2,根據(jù)44s證明△A8E絲尸即可

【解答】解：(1)①或②或③.

(2)理由：①AE=CF,

???四邊形4BCO是平行四邊形，

：.AB=CD,ZA=ZC,

在△ABE和△C￡)F中，

rAE=CF

?NA=NC，

、AE=CD

4ABE冬ACDF,

：.BE=DF.

@BE//DF.

■:BE//DF,DE//BF,

.?.四邊形BEDF是平行四邊形，

：.BE=DF.

③N1=N2.

???四邊形ABCQ是平行四邊形，

：.AB=^CD,NA=NC,

在△ABE和△CD/中，

rZl=Z2

-NA=/C，

,AE=CD

.,.△ABE絲△CDF,

：.BE=DF.

故答案為①或②或③.

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型.

25.我們知道平行四邊形的一條對角線把這個平行四邊形分成兩個全等的三角形.如圖，請

你用“會”表示這兩個全等三角形，并寫出圖中相等的邊和相等的角.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出對角、對邊的關(guān)系，進(jìn)而利用全等三角形的判定方法得

出即可.

【解答】解：???四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB=CD,AC=AC,BC=AD；ZBAC=ZDCA,ZACB=ZDAC,NB=ND,ZBAD=

NBCD.

在△ABC和△CD4中，

rAJ.=DC

<NB=/D，

gAD

(SAS),

全等三角形：△AEC§/\CDA,

相等的邊：AB^CD,AC=AC,BC=AD；

相等的角：NBAC=N