揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱（32學(xué)時(shí)）凌智整理第一章行列式把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）．個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．１全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個(gè)排列中，若數(shù)，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序．一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．２逆序數(shù)分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．方法2方法1分別計(jì)算出排在前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出這個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．３計(jì)算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)．４對(duì)換５n階行列式的定義６n階行列式的性質(zhì)１）余子式與代數(shù)余子式７行列式按行（列）展開２）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)８克拉默法則克拉默法則的理論價(jià)值定理定理定理定理第二章矩陣揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院１矩陣的定義２方陣列矩陣行矩陣兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣．３同型矩陣和相等矩陣４零矩陣單位矩陣交換律結(jié)合律５矩陣相加運(yùn)算規(guī)律６數(shù)乘矩陣７矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律n階方陣的冪８方陣的運(yùn)算方陣的行列式運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)置矩陣９一些特殊的矩陣對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣冪等矩陣正交矩陣對(duì)角矩陣對(duì)合矩陣上三角矩陣主對(duì)角線以下的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣．下三角矩陣主對(duì)角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣．伴隨矩陣定義１０逆矩陣相關(guān)定理及性質(zhì)矩陣的分塊，主要目的在于簡化運(yùn)算及便于論證．分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似．１１分塊矩陣１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．反身性傳遞性對(duì)稱性２矩陣的等價(jià)三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．（１）換法變換：對(duì)調(diào)兩行（列），得初等矩陣．（２）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣．（３）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣．經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元．例如４行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡形矩陣對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡單的矩陣．定義７矩陣的秩定義定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．８矩陣秩的性質(zhì)及定理定理9初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論一、求矩陣的秩二、求逆矩陣的初等變換法三、解矩陣方程的初等變換法典型例題求矩陣的秩有下列基本方法（１）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩．第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種方法則較為簡單實(shí)用．例１求下列矩陣的秩解對(duì)施行初等行變換化為階梯形矩陣

注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．二、求逆矩陣的初等變換法例４求下述矩陣的逆矩陣．解

注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．Takecare！三、解矩陣方程的初等變換法或者例５解第三章?lián)P州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量．分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．１向量的定義定義向量的相等零向量分量全為0的向量稱為零向量．負(fù)向量向量加法２向量的線性運(yùn)算數(shù)乘向量向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：若干個(gè)同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合叫做向量組．定義３線性組合定義４線性表示定理定義定義５線性相關(guān)定理定理定義６向量組的秩等價(jià)的向量組的秩相等．定理矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．定理設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩．推論１推論２推論３（最大無關(guān)組的等價(jià)定義）設(shè)向量組是向量組的部分組，若向量組線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，則向量組是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組．７向量空間定義設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義８子空間定義９基與維數(shù)向量方程１０齊次線性方程組解向量解向量的性質(zhì)性質(zhì)１性質(zhì)２定義定理定義向量方程１１非齊次線性方程組解向量的性質(zhì)性質(zhì)１性質(zhì)２解向量向量方程的解就是方程組的解向量．（１）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系１２線性方程組的解法第一步：對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其變成行最簡形矩陣第三步：將其余個(gè)分量依次組成階單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系（２）求非齊次線性方程組的特解將上述矩陣中最后一列的前個(gè)分量依次作為特解的第個(gè)分量，其余個(gè)分量全部取零，于是得即為所求非齊次線性方程組的一個(gè)特解．一、向量組線性關(guān)系的判定二、求向量組的秩三、向量空間的判定四、基礎(chǔ)解系的證法五、解向量的證法典型例題一、向量組線性關(guān)系的判定研究這類問題一般有兩個(gè)方法方法1從定義出發(fā)整理得線性方程組方法２利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定例１研究下列向量組的線性相關(guān)性解一整理得到解二分析證明證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成極大線性無關(guān)組的基本方法就是：分析根據(jù)極大線性無關(guān)組的定義來證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系．證明求一個(gè)向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的秩來求，這個(gè)矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的．如果向量組的向量以列（行）向量的形式給出，把向量作為矩陣的列（行），對(duì)矩陣作初等行（列）變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，而且可以求出極大線性無關(guān)組．二、求向量組的秩若矩陣經(jīng)過初等行（列）變換化為矩陣，則和中任何對(duì)應(yīng)的列（行）向量組都有相同的線性相關(guān)性．解判斷向量的集合是否構(gòu)成向量空間，需看集合是否對(duì)于加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉．若封閉，則構(gòu)成向量空間；否則，不構(gòu)成向量空間．解三、向量空間的判定例６證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系．四、基礎(chǔ)解系的證法分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示．(1)該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線性無關(guān)；要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解系，需要證明三個(gè)結(jié)論:證明

注當(dāng)齊線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的．第四章線性代數(shù)揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院定義１向量內(nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律定義向量的長度具有下列性質(zhì)：２向量的長度定義３向量的夾角所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量．向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基．定理定義４正交向量組的性質(zhì)施密特正交化方法第一步正交化第二步單位化定義５正交矩陣與正交變換方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交．定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換．正交變換的特性在于保持線段的長度不變．定義６方陣的特征值和特征向量７有關(guān)特征值的一些結(jié)論定理定理屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．８有關(guān)特征向量的一些結(jié)論定義矩陣之間的相似具有(1)自反性；(2)對(duì)稱性；(3)傳遞性．９相似矩陣１０有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)若與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同．

(4)能對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．(5)有個(gè)互異的特征值，則與對(duì)角陣相似．１１實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣一、證明所給矩陣為正交矩陣典型例題二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組三、特征值與特征向量的求法四、已知的特征值，求與相關(guān)矩陣的特征值五、求方陣的特征多項(xiàng)式六、關(guān)于特征值的其它問題七、判斷方陣可否對(duì)角化八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、證明所給矩陣為正交矩陣證明將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化．二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組解一先正交化，再單位化解二同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化第三步將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的線性方程組，求出基礎(chǔ)解系，即得該特征值的特征向量．三、特征值與特征向量的求法第一步計(jì)算的特征多項(xiàng)式；第二步求出特征多項(xiàng)式的全部根，即得的全部特征值；解第一步計(jì)算的特征多項(xiàng)式第三步求出