/25/25/2021屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學預測卷（四）一、單選題1．已知集合，．若有且僅有個元素，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，根據已知條件可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，，結合有且僅有個元素知，所以，故選：C．2．已知是虛數(shù)單位，若且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先計算求，再利用復數(shù)的除法運算公式，化簡求值.【詳解】由，得，解得．因為，所以．所以，則.故選:B3．在平行四邊形中，點在對角線上，點在邊上，且滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據向量的線性運算表示出答案即可.【詳解】，故選：A4．互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)是指在電信企業(yè)登記注冊，通過，，等方式接入中國互聯(lián)網的用戶，主要包括用戶、專線用戶、終端用戶及無線接入用戶．如圖為2019年6月—2020年4月中國互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)及增速走勢圖．利用統(tǒng)計知識對上圖進行分析，下列說法正確的是（）A．2019年6月—2020年4月中國互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)逐月增加B．2019年6月—2020年4月中國互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)增速的平均值為C．中國互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)在2019年9月增速最快，2019年11月的用戶數(shù)比10月少D．中國互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)在2019年7月和2019年8月這兩月的增速相同，因此用戶數(shù)沒有增加【答案】C【分析】根據統(tǒng)計圖對選項一一判斷即可．【詳解】對于A，在2019年11月和2019年12月的增速為負值，說明用戶數(shù)在減少，所以A不正確；對于B，互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)增速的平均值為，所以B不正確；對于C，2019年9月的增速為，增速最快，2019年11月的增速為負值，說明2019年11月的用戶數(shù)比2019年10月的少，所以C正確；對于D，中國互聯(lián)網寬帶接入用戶數(shù)在2019年7月和2019年8月這兩個月的增速相同，增速均是正值，因此每一月用戶數(shù)在上一月的基礎上是增加的，所以D不正確．故選：C．5．建筑學中必須要對組合墻的平均隔聲量進行設計．組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為，，…，（單位：），其相應的透射系數(shù)分別為，，…，，則組合墻的實際隔聲量應由各部分的透射系數(shù)的平均值確定：，于是組合墻的實際隔聲量（單位：）為．已知某墻的透射系數(shù)為，面積為，在墻上有一門，其透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲量為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據題意求出，然后再計算隔聲量即可．【詳解】由題意知組合墻的透射系數(shù)的平均值，所以組合墻的平均隔聲量.故選：C．6．《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根據題意得，進而得，再結合基本不等式求的最小值即可.【詳解】因為1里=300步，則由圖知步=4里，步=2.5里．由題意，得，則，所以該小城的周長為，當且僅當時等號成立.故選:D．【點睛】本題以數(shù)學文化為背景考查基本不等式，解題的關鍵在于根據題意，得出對應的邊長關系，即：，再代入數(shù)據，結合基本不等式求解，同時，在應用基本不等式時，還需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.7．如圖，已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，為圓錐底面圓的直徑，是的中點，是母線的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】延長至點，使，連接，，，得到為異面直線與所成的角（或補角），再解即得解.【詳解】延長至點，使，連接，，．因為是母線的中點，所以，所以為異面直線與所成的角（或補角）．由題意知，，又是的中點，所以，所以在中，．因為，所以，所以．在中，，則由余弦定理得，故選：A．【點睛】方法點睛：異面直線所成的角的求法：方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.8．已知為拋物線上一點，過拋物線的焦點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】過點作與準線垂直并交準線于點，求出直線過定點，然后可得在以為直徑的圓上，以為直徑的圓上，的最小值為圓上的點到準線的距離的最小值，然后可求出答案.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，過點作與準線垂直并交準線于點．令直線為直線，變形可得，令解得則直線經過定點．設，連接，取的中點為，則的坐標為，．若，則在以為直徑的圓上，以為直徑的圓上，其方程為．又由，得，如圖，的最小值為圓上的點到準線的距離的最小值，過點作與準線垂直并交于點，與圓交于點，與拋物線交于點，則即為的最小值，即．故選：D二、多選題9．已知等比數(shù)列公比為，前項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A．為單調遞增數(shù)列 B． C．，，成等比數(shù)列 D．【答案】BD【分析】根據利用等比數(shù)列的性質建立關系求出，然后結合等比數(shù)列的求和公式，逐項判斷選項可得答案．【詳解】由，可得，則，當首項時，可得為單調遞減數(shù)列，故錯誤；由，故正確；假設，，成等比數(shù)列，可得，即不成立，顯然，，不成等比數(shù)列，故錯誤；由公比為的等比數(shù)列，可得，故正確；故選：．【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是利用求得，同時需要熟練掌握等比數(shù)列的求和公式.10．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是D．若，則不等式的解集為【答案】AC【分析】對于A，首先要對分類討論，然后在定義域為的條件下再求的取值范圍；對于B，使內層函數(shù)的最小為4即可；對于C，一是要考慮內層函數(shù)的單調性，二是要考慮定義域；對于D，在解對數(shù)不等式時，一定要從定義域為基本前提出發(fā).【詳解】對于A，由題意知對恒成立，由于當時，不等式不恒成立，所以．當時，由解得，所以A正確；對于B，若函數(shù)的值域為，則，顯然不為0，則函數(shù)的最小值為4，則當時，，解得，所以B錯誤；對于C，若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且在內的函數(shù)值為正，所以解得，所以C正確；對于D，若，則不等式等價于，則，解得，所以D不正確．故選：AC．【點睛】方法點睛：判斷復合函數(shù)的單調性要注意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數(shù)的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調性，正確理解“同增異減"的含義，即增增→增，減減→增，增減→減，減增→減．11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為B．若，，則C．函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和D．若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】AB【分析】先化簡函數(shù)，對于A，求解正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間即可；對于B，由可得，則即可求解；對于C，由，根據角取值范圍即可求得最值；對于D，化為在上有唯一實根，設，畫出函數(shù)的部分圖像，根據圖像求得結果．【詳解】．對于A：令，，解得，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，所以選項A正確；對于B：因為，所以，所以若，即，則，則，所以選項B正確；對于C：，當時，，所以，，所以選項C不正確；對于D：在上有唯一零點等價于在上有唯一實根，由，得，令設依題意可知與的圖像有唯一交點，函數(shù)的圖像如圖，由圖可知實數(shù)應滿足或，解得或，故實數(shù)的取值范圍為，所以選項D不正確．故選：AB．【點睛】關鍵點點睛：對于D，轉化為在上有唯一實根，設，畫出函數(shù)的部分圖像，根據圖像求得結果．12．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點，，為雙曲線的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A．若雙曲線上一點到它的焦點的距離等于16，則點到另一個焦點的距離為10B．過點的直線與雙曲線有唯一公共點，則直線的方程為C．若是雙曲線左支上的點，且，則的面積為16D．過點的直線與雙曲線相交于，兩點，且為弦的中點，則直線的方程為【答案】CD【分析】先求出雙曲線的方程.對于A，根據雙曲線的定義可以判斷；對于B，要考慮相切與相交兩種情況，相交只有一個交點是與漸近線平行的直線；對于C，配方和定義結合使用；對于D，利用點差法求解．【詳解】由題意設雙曲線的方程為，則，將點的坐標代入得，解得，所以雙曲線的方程為，則，，．對于A，由雙曲線的定義可知，即，解得或22，所以選項A不正確；對于B，因為點為雙曲線的右頂點，所以過點與雙曲線相切時，直線與雙曲線有唯一公共點，直線的方程為；當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線有唯一公共點，此時直線的斜率為，所以直線的方程為，即或，所以選項B不正確；對于C，是雙曲線左支上的點，則，則，將代入可得，即，所以為直角三角形，所以，所以選項C正確；對于D，由題意得雙曲線為，設，，則，，兩式相減得，即．因為為弦的中點，所以，，且直線的斜率存在，所以，所以直線的斜率，則直線的方程為，所以選項D正確．故選：CD．【點睛】方法點睛：已知雙曲線的漸近線求雙曲線的方程，可將雙曲線方程設為，再利用其他條件確定的值．三、填空題13．展開式中含的項的系數(shù)為______．【答案】-100【分析】首先原式變形為，再分別求兩部分含項的系數(shù).【詳解】原式，展開式中含的項包含兩部分，一部分是函數(shù)中的常數(shù)項，一部分是的含的項，展開式的通項為，令，解得，；令，解得，，所以展開式中含的項的系數(shù)為．故答案為：14．已知定義域為的函數(shù)的部分圖像如圖所示，且，函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】由題意可得是偶函數(shù)，然后結合單調性可解出答案.【詳解】由題意知，且函數(shù)的定義域為，所以是偶函數(shù)．由圖知，且函數(shù)在上為增函數(shù)，則不等式等價于，即，所以，解得．故實數(shù)的取值范圍為．故答案為：15．在直三棱柱中，，，，為棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【分析】由直三棱柱的性質求出，，，根據勾股定理得，又，所以的中點為三棱錐外接球的球心，即可求外接球半徑，進而得外接球表面積．【詳解】由題意知，又，，所以，，則，，所以，所以．又，所以的中點為三棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑，其表面積．故答案為：【點睛】方法點睛：確定三棱錐外接球的球心有兩種方法，一種方法是分別過兩個面的外心作該面的垂線，兩垂線的交點就是外接球球心；另一種方法是確定三棱錐的四個面中有兩個共斜邊的直角三角形，此斜邊就是外接球的直徑．16．已知函數(shù)的圖像與的圖像在區(qū)間上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是______．【答案】【分析】將問題轉化為在區(qū)間上有解，令，求導分析單調性，求出極值與端點處的函數(shù)值，即可求的取值范圍．【詳解】當時，直線在圖像的上方，故當時，．因為函數(shù)的圖像與的圖像在區(qū)間上存在關于軸對稱的點，等價于方程，即在區(qū)間上有解．令，，則，因為，所以，則由，得，當時，，當，時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．又，，，，，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．四、解答題17．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．在中，角、、所對的邊分別是、、，______．（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）24.【分析】（1）選擇①：利用正弦定理邊角互化結合余弦定理可求得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；選擇②：由同角三角函數(shù)的平方關系結合正弦定理、余弦定理可求得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；選擇③：利用正弦定理結合邊角互化、兩角和的正弦公式可求得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）由三角形的面積公式可求得的值，結合余弦定理可求得，進而可得出的周長.【詳解】（1）選擇①：因為，所以由正弦定理可得，即，則由余弦定理可得，所以．，則，所以，即，因為，所以；選擇②：由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得．因為，所以；選擇③：由，結合正弦定理得．因為，所以，則，所以．因為，所以，故．因為，所以；（2）由（1）知．因為，所以．由余弦定理得，，即，所以，所以的周長為．【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理.18．已知正項數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據數(shù)列的和與通項關系以及等差數(shù)列的定義和通項公式求得結果；（2）先化簡數(shù)列，再用裂項相消法法求和．【詳解】（1）由題知，令，則，①當時，，②由①-②，得，整理得．因為，所以．又，即，解得或（舍去），所以數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，所以．（2）因為，所以．【點睛】給出與的遞推關系，求，常用思路是：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與n之間的關系，再求．19．如圖，是以平行四邊形的邊為直徑的半圓弧上一點，，，，，且為的中點．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知證線面平面，進一步證面面垂直.（2）建系算出二面角兩平面的法向量，從而得出二面角的正弦值.【詳解】（1）【證明】因為是以平行四邊形的邊為直徑的半圓弧上一點，所以，所以．因為為的中點，所以．由題可知，所以．因為，所以為正三角形，所以，且．則，所以．因為，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）【解】由（1）知，平面，平面，所以平面平面．以為坐標原點，以，所在直線分別為軸，軸，以過點且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為，則即取，則，則．設平面的法向量為，則即取，則，，則，所以，故二面角的正弦值為．【點睛】關鍵點睛:當二面角的平面角不易作出時，常通過建系求兩面的法向量，再求法向量夾角的三角函數(shù)值.20．2020年12月16日至18日，中央經濟工作會議在北京召開．會議指出，近期社會上對于房屋租賃市場的一些亂象討論頗多，此次會議也明確提出，要降低租賃住房稅費負擔，整頓租賃市場秩序，規(guī)范市場行為，對租金水平進行合理調控．為了解居民對降低租賃住房稅費的態(tài)度，某社區(qū)居委會隨機抽取了500名社區(qū)居民參與問卷調查，并將問卷情況統(tǒng)計如下表：認為對租賃住房影響大認為對租賃住房影響不大年齡在40歲以上125150年齡在40歲以下75150（1）判斷是否有99%的把握認為居民對降低租賃住房稅費的態(tài)度與年齡有關?（2）從“認為對租賃住房影響大”的居民中，按照年齡進行分層抽樣，共抽取8人，分析租賃住房需求，再從中隨機抽取3人參與座談，若這3人中年齡在40歲以下的有占人，求的分布列與數(shù)學期望．附：．臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有；（2）分布列見解析，.【分析】（1）據列聯(lián)表計算出，對比臨界值表中數(shù)據即可.（2）由分層抽樣的特征確定各年齡層抽取的人數(shù)，確定隨機變量的所有可能取值，再求出對應的概率，列出隨機變量的分布列，進一步求解數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意建立列聯(lián)表如下：認為對租賃住房影響大認為對租賃住房影響不大合計年齡在40歲以上125150275年齡在40歲以下75150225合計200300500，所以有99%的把握認為居民對降低租賃住房稅費的態(tài)度與年齡有關．（2）由題意可知，分層抽樣抽取的8人中，年齡在40歲以上的有5人，年齡在40歲以下的有3人，則隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3．，，，，所以隨機變量的分布列為0123．21．已知，分別為橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，點到直線的距離為，橢圓過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線過點，且與軸垂直，，為直線上關于軸對稱的兩點，直線與橢圓相交于異于的點，直線與軸的交點為，當與的面積之差取得最大值時，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由點到直線的距離得一個的關系式，已知點的坐標代入又得一個關系式，，兩者聯(lián)立解得，得橢圓方程；（2）設直線的方程為，依次求得點，點，點，點坐標，然后計算面積之差，再結合基本不等式求得最大值．由此可得直線方程．【詳解】（1）由題意知，，，則