建模提能03雙星、多星模型前面我們討論的是類似太陽系的單星系統，其特點是有一個主星，質量遠大于周圍的其他星體，可以看做近似不動，所以其他星體繞它運動。除此之外，在宇宙空間，還存在兩顆或多顆質量差別不大的星體，它們離其他星體很遠，在彼此間的萬有引力作用下運動，組成雙星或多星系統。雙星系統軌道比較穩(wěn)定，很常見，三星及其他更多星體的系統軌道不穩(wěn)定，非常罕見。下面介紹具有代表性的雙星模型和三星模型。eq\a\vs4\al(1).雙星模型(1)兩顆星體繞公共圓心轉動，如圖1所示。(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))r2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L。④兩顆星到軌道圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))。⑥雙星的總質量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。eq\a\vs4\al(2).三星模型(1)三星系統繞共同圓心在同一平面內做圓周運動時比較穩(wěn)定，三顆星的質量一般不同，其軌道如圖2所示。每顆星體做勻速圓周運動所需的向心力由其他星體對該星體的萬有引力的合力提供。(2)特點：對于這種穩(wěn)定的軌道，除中央星體外(如果有)，每顆星體轉動的方向相同，運行的角速度、周期相同。(3)理想情況下，它們的位置具有對稱性，下面介紹兩種特殊的對稱軌道。①三顆星位于同一直線上，兩顆質量均為m的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖3甲所示)。②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖3乙所示)。二、高考真題例證【例證1】（2018·全國·高考真題）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈，將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（）A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度【例證2】（2013·浙江·高考真題）如圖所示，三顆質量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設地球質量為M，半徑為R．下列說法正確的是（）A．地球對一顆衛(wèi)星的引力大小為B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為【例證3】（2013·山東·高考真題）雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．研究發(fā)現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為（??）A． B． C． D．【注意】解決雙星、多星問題，要抓住四點(1)根據雙星或多星的運動特點及規(guī)律，確定系統的中心以及運動的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關系，正確計算萬有引力和向心力。三、強化訓練過關一、單選題1．（2023·吉林長春·長春市第二中學?？寄M預測）引力波的發(fā)現，證實了愛因斯坦100年前的預測，彌補了愛因斯坦廣義相對論中最后一塊缺失的“拼圖”。雙星的運動是產生引力波的來源之一，假設宇宙中有一雙星系統由a、b兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，測得a星的周期為T，a、b兩顆星的距離為l，a、b兩顆星的軌道半徑之差為。（a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑），則（）A．b星的周期為 B．a星的線速度大小為C．a、b兩顆星的半徑之比為 D．a、b兩顆星的質量之比為2．（2022·四川宜賓·模擬預測）2021年5月，基于“中國天眼”球面射電望遠鏡的觀測，首次研究發(fā)現脈沖星三維速度與自轉軸共線的證據。如圖，假設在太空中有恒星A、B雙星系統繞點做順時針勻速圓周運動，運動周期為T1，它們的軌道半徑分別為RA、RB，RA<RB，C為B的衛(wèi)星，繞B做逆時針勻速圓周運動，周期為T2，忽略A與C之間的引力，萬有引力常量為，以下說法正確的是（）A．若知道衛(wèi)星C的軌道半徑，則可求出衛(wèi)星C的質量B．恒星A的質量大于恒星B的質量C．恒星A的質量為D．A、B、C三星由圖示位置到再次共線所需時間為3．（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食（像月亮擋住太陽）而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過望遠鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測發(fā)現每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知萬有引力常量為G，則（）A．恒星A、B運動的周期為T B．恒星A質量小于B的質量C．恒星A、B的總質量為 D．恒星A線速度大于B的線速度4．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？寄M預測）雙星系統中兩個星球A、B的質量都是m，相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動．實際觀測該系統的周期T要小于按照力學理論計算出的周期理論值T0，且＝k(k＜1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現的星球C的影響，并認為C位于A、B的連線正中間，相對A、B靜止，則A、B組成的雙星系統周期理論值T0及C的質量分別為()A．，B．，C．，D．，5．（2023·內蒙古通遼·?？寄M預測）如圖所示，2022年7月15日，由清華大學天文系祝偉教授牽頭的國際團隊近日宣布在宇宙中發(fā)現兩個罕見的恒星系統。該系統均是由兩顆互相繞行的中央恒星組成，被氣體和塵埃盤包圍，且該盤與中央恒星的軌道成一定角度，呈現出“霧繞雙星”的奇幻效果。若其中一個系統簡化模型如圖所示，質量不等的恒星A和B繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動，由天文觀察測得其運動周期為T，A到O點的距離為r1，A和B的距離為r，已知引力常量為G，則A的質量為（）A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·學軍中學?？寄M預測）如圖，地球與月球可以看作雙星系統，它們均繞連線上的C點轉動，在該系統的轉動平面內有兩個拉格朗日點L2、L4，位于這兩個點的衛(wèi)星能在地球引力和月球引力的共同作用下繞C點做勻速圓周運動，并保持與地球月球相對位置不變，L2點在地月連線的延長線上，L4點與地球球心、月球球心的連線構成一個等邊三角形。我國已發(fā)射的“鵲橋”中繼衛(wèi)星位于L2點附近，它為“嫦娥四號”成功登陸月球背面提供了穩(wěn)定的通信支持。假設L4點有一顆監(jiān)測衛(wèi)星，“鵲橋”中繼衛(wèi)星視為在L2點。已知地球的質量為月球的81倍，則（???）A．地球球心和月球球心到C點的距離之比為81：1B．地球和月球對監(jiān)測衛(wèi)星的引力之比為9：1C．監(jiān)測衛(wèi)星繞C點運行的加速度比月球的大D．監(jiān)測衛(wèi)星繞C點運行的周期比“鵲橋”中繼衛(wèi)星的大二、多選題7．（2022·湖南株洲·一模）中國科學家利用“慧眼”太空望遠鏡觀測到了銀河系的MaxiJ1820+070是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，距離地球約10000光年。根據觀測，黑洞的質量大約是太陽的8倍，恒星的質量只有太陽的一半，據此推斷，該黑洞與恒星的（）A．向心力大小之比為16∶1 B．角速度大小之比為1∶1C．線速度大小之比約為1∶16 D．加速度大小之比約為16∶18．（2022·河北唐山·二模）在浩瀚的銀河系中，我們發(fā)現的半數以上的恒星都是雙星體，組成雙星的兩顆恒星都稱為雙星的子星。有的雙星，不但相互之間距離很近，而且有物質從一顆子星流向另一顆子星。設子星B所釋放的物質被子星A全部吸收，并且兩星間的距離在一定的時間內不變，兩星球的總質量不變，則下列說法正確的是（）A．子星A的軌道半徑不變 B．子星A的運動周期不變C．兩星間的萬有引力不變 D．兩星速率之和不變9．（2022·湖南衡陽·三模）科學家發(fā)現。距離地球2764光年的宇宙空間存在適合生命居住的雙星系統，這一發(fā)現為人類研究地外生命提供了新的思路和方向。假設宇宙中有一雙星系統由質量分別為m和M的A、B兩顆星體組成。這兩顆星繞它們連線上的某一點在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動，如圖所示，A、B兩顆星的距離為L，引力常量為G，則（）A．因為OA>OB，所以m>MB．兩恒星做圓周運動的周期為C．若恒星A由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質量緩慢增大，其他量不變，恒星A的周期緩慢增大D．若恒星A由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質量緩慢增大，其他量不變，則恒星A的軌道半徑將緩慢減小10．（2022·湖北黃岡·黃岡中學三模）如圖所示，質量相等的三顆星組成為三星系統，其他星體對它們的引力作用可忽略。設每顆星體的質量均為m，三顆星分別位于邊長為的等邊三角形的三個頂點上，它們繞某一共同的圓心在三角形所在的平面內以相同的角速度做勻速圓周運動。已知引力常量為，下列說法正確的是（）A．每顆星體向心力大小為B．每顆星體運行的周期均為C．若不變，星體質量均變?yōu)?m，則星體的角速度變?yōu)樵瓉淼谋禗．若不變，星體間的距離變?yōu)?，則星體的線速度變?yōu)樵瓉淼?1．（2022·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈，將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（）A．質量之積 B．質量之和C．速率之和 D．各自的自轉角速度12．（2022·全國·模擬預測）宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設四星系統中每個星體的質量均為，半徑均為，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為的正方形的四個頂點上。已知引力常量為。關于該四星系統，下列說法正確的是（????）A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為C．四顆星表面的重力加速度均多為D．四顆星的周期均為三、解答題13．（2022·福建·模擬預測）科學家于2017年首次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，在它們合并前的一段時間內，它們球心之間的距離為L，兩中子星在相互引力的作用下，圍繞二者連線上的某點O做勻速圓周運動，它們每秒鐘繞O點轉動n圈，已知引力常量為G。求：（1）兩顆中子星做勻速圓周運動的速率之和；（2）兩顆中子星的質量之和M。14．（2022·山東·模擬預測）兩個靠的很近的天體繞著它們連線上的一點（質心）做圓周