高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)17一、單項(xiàng)選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|y=x-1}，則M∩NA．{x|x＞﹣1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|1≤x＜2}2．已知f（x）＝x3+x﹣4，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)位于區(qū)間（）內(nèi)．A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）3．已知命題p，?x∈R，ex+1A．?x∈R，ex+1ex≥2 B．?x∈R，eC．?x∈R，ex+1ex≤2 D．4．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．若O1O2＝2，則圓柱O1O2的表面積為（）A．4π B．5π C．6π D．7π5．“平均增長(zhǎng)量”是指一段時(shí)間內(nèi)某一數(shù)據(jù)指標(biāo)增長(zhǎng)量的平均值，其計(jì)算方法是將每一期增長(zhǎng)量相加后，除以期數(shù)，即i=1n(ai年份20152016201720182019國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值/萬億68.8974.6483.2091.9399.09根據(jù)表中數(shù)據(jù)，2015﹣2019年我國(guó)GDP的平均增長(zhǎng)量為（）A．5.03萬億 B．6.04萬億 C．7.55萬億 D．10.07萬億6．已知雙曲線C的方程為x2A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8 B．雙曲線C的漸近線方程為y=±3C．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3 D．雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為97．已知水平直線上的某質(zhì)點(diǎn)，每次等可能的向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，則在第6次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率是（）A．14 B．516 C．388．在△ABC中，cosA+cosB=3，AB=23．當(dāng)sinA+sinBA．23-3 B．22-2 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)數(shù)z＝1+cos2θ+isin2θ（-π2＜θ＜A．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在第二象限 B．z可能為實(shí)數(shù) C．|z|＝2cosθ D．1z的實(shí)部為10．臺(tái)球運(yùn)動(dòng)已有五、六百年的歷史，參與者用球桿在臺(tái)上擊球．若和光線一樣，臺(tái)球在球臺(tái)上碰到障礙物后也遵從反射定律．如圖，有一張長(zhǎng)方形球臺(tái)ABCD，AB＝2AD，現(xiàn)從角落A沿角α的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺(tái)內(nèi)沿后進(jìn)入角落C的球袋中，則tanα的值為（）A．16 B．12 C．1 11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．對(duì)任意點(diǎn)P，DP∥平面AB1D1 B．三棱錐P﹣A1DD1的體積為16C．線段DP長(zhǎng)度的最小值為62D．存在點(diǎn)P，使得DP與平面ADD1A1所成角的大小為π12．設(shè){an}是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N+，均有an+k＞an，則稱{an}是間隔遞增數(shù)列，k是{an}的間隔數(shù)，下列說法正確的是（）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列 B．已知an=n+4n，則{C．已知an=2n+(-1)n，則{D．已知an=n2-tn+2020，若{三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（﹣1，k），若（a→+b14．若（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，則a4的值為．15．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF2的中點(diǎn)16．已知函數(shù)f(x)=2lnx，g(x)=ax2-x-12(a＞0)，若直線y＝2x﹣b與函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）的圖象均相切，則a的值為；若總存在直線與函數(shù)y＝f（x），y＝g（四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=12BC，將直角梯形ABCD（及其內(nèi)部）以AB所在直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，形成如圖所示的幾何體，其中M（1）求證：BM⊥DF；（2）求異面直線BM與EF所成角的大小．18．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an，n為奇數(shù)，2an，n為偶數(shù)，求數(shù)列{19．（12分）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π①函數(shù)f（x）的最大值為2；②函數(shù)f（x）的圖象可由y=2sin(x-π4)的圖象平移得到；③函數(shù)f（1）請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件序號(hào)，并求出f（x）的解析式；（2）求方程f（x）+1＝0在區(qū)間[﹣π，π]上所有解的和．高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)17（答案解析）一、單項(xiàng)選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|y=x-1}，則M∩NA．{x|x＞﹣1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵M(jìn)＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x≥1}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．故選：D．2．已知f（x）＝x3+x﹣4，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)位于區(qū)間（）內(nèi)．A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：由函數(shù)f（x）＝x3+x﹣4，可得f（1）＝1+1﹣4＝﹣2＜0，f（2）＝8+2﹣4＝6＞0，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得（1，2），故選：C．3．已知命題p，?x∈R，ex+1A．?x∈R，ex+1ex≥2 B．?x∈R，eC．?x∈R，ex+1ex≤2 D．【解答】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以：命題p，?x∈R，ex+1ex≥2，則￢p為?x∈故選：B．4．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．若O1O2＝2，則圓柱O1O2的表面積為（）A．4π B．5π C．6π D．7π【解答】解：由題意可得：h＝2r＝2?r＝1；∴S＝πr2×2+2πr×h＝6πr2＝6π；故選：C．5．“平均增長(zhǎng)量”是指一段時(shí)間內(nèi)某一數(shù)據(jù)指標(biāo)增長(zhǎng)量的平均值，其計(jì)算方法是將每一期增長(zhǎng)量相加后，除以期數(shù)，即i=1n(ai年份20152016201720182019國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值/萬億68.8974.6483.2091.9399.09根據(jù)表中數(shù)據(jù)，2015﹣2019年我國(guó)GDP的平均增長(zhǎng)量為（）A．5.03萬億 B．6.04萬億 C．7.55萬億 D．10.07萬億【解答】解：設(shè)2015年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為a1＝68.89萬億，則依次a2＝74.64萬億，a3＝83.20萬億，a4＝91.93萬億，a5＝99.09萬億．2015﹣2019年我國(guó)GDP的平均增長(zhǎng)量為：(74.64-68.89)+(83.20-74.64)+(91.93-83.20)+(99.09-91.93)4=5.75+8.56+8.73+7.16答：2015﹣2019年我國(guó)GDP的平均增長(zhǎng)量為7.55萬億．故選：C．6．已知雙曲線C的方程為x2A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8 B．雙曲線C的漸近線方程為y=±3C．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3 D．雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為9【解答】解：∵雙曲線C的方程為x216-y2∴c=a∴實(shí)軸長(zhǎng)為2a＝2×4＝8，即A正確；漸近線方程為y=±bax=±焦點(diǎn)（5，0）到漸近線y=34x的距離為|對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線的第二定義可知，PFx-a2∴當(dāng)x＝4時(shí)，PF最小，為1，即D錯(cuò)誤．故選：D．7．已知水平直線上的某質(zhì)點(diǎn)，每次等可能的向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，則在第6次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率是（）A．14 B．516 C．38【解答】解：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)有兩種情況，則6次移動(dòng)共有26＝64種；若6次移動(dòng)后回到原位置，說明6次移動(dòng)有3次向左，3次向右共有C63則質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率P=20故選：B．8．在△ABC中，cosA+cosB=3，AB=23．當(dāng)sinA+sinBA．23-3 B．22-2 【解答】解：設(shè)sinA+sinB＝z①，cosA+cosB=3把①②兩式平方相加得：z2+3＝1+1+2（cosAcosB+sinAsinB）＝2+2cos（A﹣B），即z=2cos(A-B)-1，則A＝B時(shí)，sinA+sinB所以有cosA+cosB=3=2cosA得cosA=32，A∈（0，π），則A又AB＝23，所以CA＝CB＝2，由S=12r（a+b+c），所以r=2S故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：9．已知復(fù)數(shù)z＝1+cos2θ+isin2θ（-π2＜θ＜A．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在第二象限 B．z可能為實(shí)數(shù) C．|z|＝2cosθ D．1z的實(shí)部為【解答】解：z＝1+cos2θ+isin2θ＝2cosθ（cosθ+isinθ），∵-π2＜∴cosθ＞0，sinθ∈（﹣1，1）．則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能落在第二象限；z可能為實(shí)數(shù)；|z|＝2cosθ；1z=12cosθ(cosθ+isinθ)=故選：BCD．10．臺(tái)球運(yùn)動(dòng)已有五、六百年的歷史，參與者用球桿在臺(tái)上擊球．若和光線一樣，臺(tái)球在球臺(tái)上碰到障礙物后也遵從反射定律．如圖，有一張長(zhǎng)方形球臺(tái)ABCD，AB＝2AD，現(xiàn)從角落A沿角α的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺(tái)內(nèi)沿后進(jìn)入角落C的球袋中，則tanα的值為（）A．16 B．12 C．1 【解答】解：因?yàn)锳B＝2AD，現(xiàn)從角落A沿角α的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺(tái)內(nèi)沿后進(jìn)入角落C的球袋中；當(dāng)是圖一時(shí)，如圖：A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)為E，C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為F；如圖；根據(jù)直線的對(duì)稱性可得：tanα=EG當(dāng)是圖2時(shí)，如圖：A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為G，C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，如圖：根據(jù)直線的對(duì)稱性可得：tanα=EF故選：AD．11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．對(duì)任意點(diǎn)P，DP∥平面AB1D1 B．三棱錐P﹣A1DD1的體積為16C．線段DP長(zhǎng)度的最小值為62D．存在點(diǎn)P，使得DP與平面ADD1A1所成角的大小為π【解答】解：連接DB，由BB1∥DD1，且BB1＝DD1，得四邊形DD1B1B為平行四邊形，∴DB∥D1B1，由DB?平面AB1D1，D1B1?平面AB1D1，得BD∥平面AB1D1，同理DC1∥平面AB1D1，又BD∩DC1＝D，可得平面DBC1∥平面AB1D1，∴對(duì)任意點(diǎn)P，DP∥平面AB1D1，故A正確；VP-A1當(dāng)P為BC1中點(diǎn)時(shí)，DP⊥BC1，此時(shí)線段DP長(zhǎng)度的最小值為12+(2當(dāng)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP長(zhǎng)度的最小值為62，最大值為2則PC長(zhǎng)度的范圍為[22，1]，而P到平面ADD1A1則DP與平面ADD1A1所成角的正切值∈[22最大值小于3，則不存在點(diǎn)P，使得DP與平面ADD1A1所成角的大小為π3，故D故選：ABC．12．設(shè){an}是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N+，均有an+k＞an，則稱{an}是間隔遞增數(shù)列，k是{an}的間隔數(shù)，下列說法正確的是（）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列 B．已知an=n+4n，則{C．已知an=2n+(-1)n，則{D．已知an=n2-tn+2020，若{【解答】解：A．a(chǎn)因?yàn)閝＞1，所以當(dāng)a1＜0時(shí)，an+k＜an，故錯(cuò)誤；B.an+k令t＝n2+kn﹣4，t在n∈N*單調(diào)遞增，則t（1）＝1+k﹣4＞0，解得k＞3，故正確；C.an+k當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2k﹣（﹣1）k+1＞0，存在k≥1成立，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2k+（﹣1）k﹣1＞0，存在k≥2成立，綜上：{an}是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2，故正確；D．若{an}是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則an+k-an=(n+k)則k2+（2﹣t）k＞0，對(duì)于k≥3成立，且k2+（2﹣t）k≤0對(duì)于k≤2成立，即k+（2﹣t）＞0，對(duì)于k≥3成立，且k+（2﹣t）≤0，對(duì)于k≤2成立，所以t﹣2＜3，且t﹣2≥2，解得4≤t＜5，故正確．故選：BCD．三、填空題：13．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（﹣1，k），若（a→+b【解答】解：∵向量a→=（﹣1，1），b→=（﹣1，k），若（∴（a→+b→）?a→則k＝﹣3，故答案為：﹣3．14．若（2+x）5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，則a4的值為5．【解答】解：（2+x）5＝[1+（1+x）]5，則[1+（1+x）]5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=?5r（1+x令r＝4得a4=?故答案為：5．15．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF2的中點(diǎn)P恰好落在【解答】解：由AF2的中點(diǎn)P恰好落在y軸上可得AF1⊥x軸，將x＝﹣c代入橢圓的方程可得：可得A（﹣c，b2由題意可得B（﹣c，-b2a），P（0，b22a），由BP→?AF2→=0，而BP→=（c，3b22a），AF2→=（2c，-b2整理可得：3a4+3c4﹣10a2c2＝0，即3e4﹣10e2+3＝0，解得：e＝1或33，由于e∈所以：e=3故答案為：3316．已知函數(shù)f(x)=2lnx，g(x)=ax2-x-12(a＞0)，若直線y＝2x﹣b與函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）的圖象均相切，則a的值為32；若總存在直線與函數(shù)y＝f（x），y＝g（x【解答】解：設(shè)直線y＝2x﹣b與函數(shù)y＝f（x）的圖象相切的切點(diǎn)為（m，2lnm），由f′（x）=2x，可得2m則b＝2，切線的方程為y＝2x﹣2，聯(lián)立y＝g（x）＝ax2﹣x-12，可得ax2﹣3x由題意可得△＝9﹣4a?32=0，解得a設(shè)y＝f（x）與y＝g（x）的圖象在交點(diǎn)處存在切線y＝kx+t，且切點(diǎn)為（n，2lnn），由f′（x）=2x，g′（x）＝2可得2n=k＝2an﹣1，2lnn＝kn+t＝an2﹣n化為kn＝2，an2=2+n2，則2lnn即4lnn+n＝1，設(shè)h（n）＝4lnn+n，h′（n）=4n+1＞0，可得h（n4lnn+n＝1的解為n＝1，則a=32，由y＝ax2﹣x-12（可得此時(shí)y＝f（x）和y＝g（x）的圖象相離，總存在直線與它們的圖象都相切，則a的范圍是[32故答案為：32，[3四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=12BC，將直角梯形ABCD（及其內(nèi)部）以AB所在直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，形成如圖所示的幾何體，其中M（1）求證：BM⊥DF；（2）求異面直線BM與EF所成角的大?。窘獯稹浚?）證明：∵AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，∴AB⊥平面BCE，以B為原點(diǎn)，以BE，BC，BA為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系B﹣xyz，如圖所示：設(shè)AB＝AD＝1，則D（0，1，1），F(xiàn)（1，0，1），B（0，