第二章

平面解析幾何2.4

曲線與方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.初步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.3.初步掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法.1.數(shù)學(xué)抽象——能通過具體的實例理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——能掌握求動點的軌跡方程的常見方法.要點一曲線的方程與方程的曲線

點的坐標(biāo)1.如果曲線與方程僅滿足“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”會出現(xiàn)什么情況？你能舉例說明嗎？

要點二動點的軌跡方程

直線圓周

2.求動點的軌跡方程與求其軌跡有何區(qū)別？提示求動點的軌跡方程得出方程即可，而求動點的軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形.3.求軌跡方程時，根據(jù)一個已知的平面圖形建立的坐標(biāo)系是唯一的嗎？提示不是唯一的，一般以得到的曲線方程最簡單為標(biāo)準(zhǔn).

探究點一

曲線的方程與方程的曲線的概念的理解及應(yīng)用例

A.B.C.D.D

B

解題感悟曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”，稱為純粹性；以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程．

ACD

探究點二

曲線的交點

解題感悟結(jié)合曲線方程的定義，兩曲線的交點的坐標(biāo)即為兩曲線的方程構(gòu)成的方程組的解，所以可以把求兩曲線的交點坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題，把討論交點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為討論方程組解的個數(shù)問題.如果只涉及曲線的一部分，那么常用到數(shù)形結(jié)合的方法．

2

探究點三

求動點的軌跡方程類型1定義法求軌跡方程

類型2直接法求軌跡方程

類型3代入法（相關(guān)點法）求軌跡方程

解題感悟求曲線方程的方法：（1）定義法：若能確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出曲線方程．（2）直接法：當(dāng)所求動點滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設(shè)點、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個基本步驟求軌跡方程．（3）代入法（相關(guān)點法）：當(dāng)題目中有多個動點時，將其他動點的坐標(biāo)用所求動點的坐標(biāo)來表示，再代入到其他動點滿足的條件或軌跡方程中，整理即得所求動點的軌跡方程．

1.[2020山東濟(jì)寧曲阜一中高二月考]下列四個圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是(

)A.B.C.D.D

D

邏輯推理——曲線的方程與方程的曲線的證明

素養(yǎng)探究：解決此類問題要根據(jù)“曲線的方程與方程的曲線”的定義中的兩個條件逐一證明，即證明曲線上的點和方程的解一一對應(yīng)，據(jù)此才可證明曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程，在此過程中體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).

A

B

B

CD

A.B.C.D.A

D

C

C

B

①

方法感悟處理空間中的軌跡問題的方法：（1）幾何法：通過證明或幾何作圖，確定圖形中的軌跡位置，再求軌跡方程；