第五節(jié)平面與空間直線——熱門考點題型探析一、復習目標：1、理解并會應用平面的基天性質，掌握證明對于"線共點"、"線共面"、"點共線"的方法。2、可以畫出空間兩條直線、直線和平面的各樣地點關系的圖形；可以依據(jù)圖形想像它們的地點關系。3、會用幾何法或向量法計算兩異面直線的夾角和距離。二、重難點：平面基天性質的理解與應用；文字語言、圖形語言、符號語言三種語言的相互轉變及兩異面直線的判斷與夾角。三、教課方法：講練聯(lián)合，探析概括。四、教課過程（一）、熱門考點題型探析考點一：點、線共面問題題型：判斷和證明點、線共面[例1]、已知n條相互平行的直線l1,l2,l3,ln分別與直線l訂交于點A1，A2，，An，求證：l,l,l,ln與l共面。123剖析：證明多條直線（三條或三條以上）共面，先由兩條確立一個平面，再證其他直線在這個平面內，或許分別由兩條直線確立幾個平面，再證這些平面重合。證法一：因為l1l=A1,所以l1與l確立平面α，設lk是與l1平行的直線中的任一條直線，且lkl=Ak,則l1,Ak。，lk∥l1,設lk與l1確立平面，則l1,Ak,所以l1與A既在平面內又在平面內，依據(jù)公義的推論1知過l1和其外一點的平面有且只有一個，k所以和重合，從而由lk的隨意性知l1,l2,l3,ln共面。證法二：l1∥l2,l1∥l3直線l1和l2及直線l1和l3分別確立一個平面和l1l=A1,l2l=A2,l3l=A3,A1,A2,A2,A3,l,且l,α和β都是過訂交直線l1和l的平面，而過兩訂交直線的平面有且只有一個l1,l2,l3,l共面，同理可證l4,l5,,ln都在由直線l1和l所確立的平面內。[反省概括]證明點共面、線共面的基本門路是先由知足確立平面條件的幾個點或幾條直線作出平面，再證明其他元素在該平面內?？键c二：點共線、線共點問題題型1：證明三線共點。[例2]、以以下圖，四周體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3。求證：EF、GH、BD交于一點。剖析：只需證明點E、F、G、H分別所在的直線EG和HF平行，由公義的推論3便可知它們共面在△ABD和△CBD中，由E、G分別是BC和AB的中點及DFDH212AFCHA3可得EG2AC，HF5AC，所以EG∥HF,直線EF，GHGH是梯形的兩腰，所以它們的延伸線必訂交于一點P，所以，要證三條直D線EF、GH、BD交于一點，只需證點BFPP在直線AC上即可。EC事實上，因為BD是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點P是上述兩平面的公共點，由公義2知PBD。證法一：(幾何法)連接GE、HF，E、G分別為BC、AB的中點，∴GE∥AC，又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，∴HF∥AC∴GEHF。故G、E、F、H四點共面。又∵EF與GH不可以平行，∴EF與GH訂交，設交點為P。則P∈面ABD，P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD。∴EF、GH、BD交于一點。EGBGBE1BA1BC1(BABC)1CA證法二：（向量法）由2222FHDHDF2DA2DC2(DADC)2CAEG5FH5555∴4，從而EH∥FG故G、E、F、H四點共面，又∵EF與GH不可以平行，∴EF與GH訂交，設交點為P。則P∈面ABD，P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD?！郋F、GH、BD交于一點。[反省概括]證明線共點，常采納證兩直線的交點在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線。題型2：證明若干個點共線。[例3]、如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，四條邊AB，BC，DC，AD（或其延伸線）分別與平面α訂交于E，F(xiàn)，G，H四點，求證：四點E，F(xiàn)，G，H共線。證明：AB∥CD，AB，CD確立一個平面β，A易知AB，BC，DC，AD都在β內，BD由平面的性質可知四點E，F(xiàn)，G，H都在β上，因此，E，G，G，H必都在平面α與β的交線上，CH所以四點E，F(xiàn)，G，H共線。FEG[反省概括]證明“點共線”的方法，一般都是經(jīng)過證這些點在某兩個平面的交線上來解決。考點三：異面直線題型：異面直線的判斷或求異面直線所成的角及距離A[例4]、A是△BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點，F(xiàn)（1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF與BD所成的角。BD（1）證明：用反證法。ECG假定EF與不是異面直線，則EF與共面，BDBD從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內，這與A是△BCD平面外的一點相矛盾故直線EF與BD是異面直線。2）解：取CD的中點G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以訂交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°。[反省概括]①證明兩條直線是異面直線常用反證法；②求兩條異面直線所成的角，第一要判斷兩條異面直線能否垂直，若垂直，則它們所成的角為90°；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）—證—算”注意，異面直線所成角的范圍是（

0，π］。2[例

5]、長方體

ABCD

A1B1C1D1中，已知

AB=a，BC=b，

AA1

=c

，且

a>b，求：（1）以下異面直線之間的距離：

AB與CC1；AB與

A1C1；AB與

B1C

。（2）異面直線D1B與AC所成角的余弦值。（1）解：BC為異面直線AB與CC1的公垂線段，故AB與CC1的距離為b。AA1為異面直線AB與A1C1的公垂線段，故AB與A1C1的距離為c。BB1BCbc過B作BE⊥B1C，垂足為E，則BE為異面直線B1C=b2c2AB與B1C的公垂線，BE=，bc即AB與B1C的距離為b2c2。（2）解法一：連接BD交AC于點O，取DD1的中點F，連接OF、AF，則OF∥D1B，∴∠AOF就是異面直線D1B與AC所成的角。a2b21a2b2c2D1C1∵AO=2，OF=2D1B=2，A1B1FE4b2c2DCAF=2，∴在△AOF中，OABAO2OF2AF2a2b2cos∠AOF=2AOOF=(a2b2)(a2b2c2)。解法二：成立空間直角坐標系，寫出坐標，用向量的夾角公式計算。[反省概括]1、兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。計算方法：①幾何法；②向量法。2、求異面直線所成的角的方法：幾何法：（1）經(jīng)過平移，在一條直線上找一點，過該點做另向來線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條訂交的直線，那么這兩條訂交直線所成的角即為所求。向量法：用向量的夾角公式。（二）、加強穩(wěn)固訓練1、兩條訂交直線l、m都在平面α內且都不在平面β內命題甲：交，命題乙：平面α與β訂交，則甲是乙的（）。A充分不用要條件B必需不充分條件C充要條件D非充分非必需條件

l和

m中起碼有一條與β相分析：若l和m中起碼有一條與β訂交，不如設l∩β=A，則因為lα，∴A∈α而A∈β，∴α與β訂交反之，若α∩β=a，假如l和m都不與β訂交，因為它們都不在平面β內，∴l(xiāng)∥β且m∥β∴l(xiāng)∥a且m∥a，從而獲得起碼有一條與β訂交。答案：C。

l∥m，與已知

l、m是訂交直線矛盾所以

l和

m中2、在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于()。答案B。101542A5B5C5D33、四周體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點，若CD=2AB=2，EF⊥AB，則EF與CD所成的角等于___________。1分析：取AD的中點G，連接EG、FG，易知EG=1，F(xiàn)G=2。由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG。在Rt△EFG中，求得∠GEF=30°，即為EF與CD所成的角。答案：30°。4、設不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一平面內，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1求證：AA1、BB1、CC1三線共點證明：不如設AB≠A1B1，AA1∩BB1=S，∵BC∥B1C1，∴BB1面BCC1B1，S∈面BBC1B1同理，S∈面ACC1A1?！郤∈CC1，即AA1、BB1、CC1三線共點于S。5、如圖，在一關閉的正方體容器內裝滿水，M，N分別是AA1與C1D1的中點，因為某種原由，在D，M，N三點處各有一個小洞，為使此容器內存水最多，問應將此容器如何擱置？此時水的上表面的形狀如何？解：使過三點M，N，D的平面成為水平面時，容器內存水最多，D1NC1至于水表面的形狀，實質上就是過M，N，D三點所作A1EB1正方體的截面的形狀連接DM并延伸DM交D1A1的延伸線于P，P則點P既在截面內又在底面A1B1C1D1內，連接PN交A1B1于E，MC連ME，ND，則過M，N，D的截面就是四邊形DMEN，D易證ME∥DN且MEDN，因此它是一個梯形。AB（三）、小結反?。?、本課要點問題是證明三點共線、三線共點以及求異面直線所成的角。2、求異面直線所成的角，一般先取一個特別點作它們的平行線，作出所求的角或其補角，再解三角形。3、證明“線共點”的方法，一般是先證兩條直線訂交于一點