第四章平面第四章平面§4.1平面的投影一、平面的表達(dá)1.平面的幾何表達(dá)

●不共線的三個(gè)點(diǎn)

●直線與線外一點(diǎn)

●相交的兩條直線

●兩條平行直線2.平面的投影表達(dá)●幾何元素：將幾何元素表達(dá)的平面投影，用得到的幾何元素的投影直接表達(dá)。

●平面多邊形：將平面圖形投影，得到的投影即為平面的投影。常用三角形、平行四邊形。

●平面的跡線：平面與投影面的交線。用平面的跡線表示平面。VHXOPPVPHVHXOXO跡線表示平面PVPH用跡線表示平面●平面跡線的作圖：

在平面上任意作兩條直線，求作兩直線的跡點(diǎn)，將同名跡點(diǎn)連線，即為平面的跡線。PVPHa’b’c’abcABC11’22’a’b’abcc’33’44’ⅠⅣⅢⅡ平面投影的特性二、平面投影的特性●投影面的平行面：

若ABCD∥H面，則

abcd≌

ABCDbdacADCBabcdADCBADCBabcd●投影面的垂直面：

若

ABCD⊥H面，則

ABCD的H面投影積聚為一條直線。●與投影面傾斜的平面若ABCD于H面傾斜，則投影abcd是空間四邊形ABCD的

類似形。adecgfba’c’b’OXa’d’e’c’g’f’b’adecgfbOX平面上的點(diǎn)和線§4.2平面上的點(diǎn)和線一、平面上的點(diǎn)和線●幾何特征：點(diǎn)在平面上的一條直線上；直線必過平面上的兩個(gè)點(diǎn)?！駪?yīng)用：判斷點(diǎn)或直線與平面的關(guān)系；補(bǔ)全平面圖形的投影。43’3211’4’2’1d’1’2e’2’3f’3’4g’4’aa’cc’b’bOX平面上的平行線二、平面上的平行線●幾何特征：平行線為平面上的一條直線；直線與某投影面平行?！駪?yīng)用：在平面上作投影面平行線；在平面上作空間點(diǎn)。VHXOPPVPHDCABd12’1’2343’4’d’2015D點(diǎn)距H面20mm，距V面15mm。XOPHPVabXOa’b’c’abc跡線表達(dá)平面上的直線三、跡線表達(dá)平面上的直線●平面跡線的作法41’2’3’4’PH123PV●跡線表達(dá)平面上的直線

特征：該直線的跡點(diǎn)在平面同名跡線上mm’nn’a’b’平面與投影面的相對(duì)位置§4.3平面與投影面的相對(duì)位置一、一般位置平面●投影特征：三個(gè)投影面的投影均為類似形●平面的傾角：平面與投影面的夾角兩面角：作一平面與已知兩平面都垂直相交，這兩條交線的夾角即為兩已知平面的夾角。平面對(duì)H面傾角：α；對(duì)V面傾角：β；對(duì)W面傾角：γ。●平面上的對(duì)投影面的最大傾斜線：平面上的一條直線對(duì)某投影面的傾角最大，則該直線稱為該平面上的一條對(duì)該投影面的最大傾斜線。Hα’aα最大傾斜線的特征最大傾斜線的特征●作圖原理：

過平面P上任意一點(diǎn)A；作直線AB∥PH，作點(diǎn)A在H面的投影a；在平面上過A作AC⊥AB，與PH交于C點(diǎn)；連接Ca，在PH上，任取一點(diǎn)D，連接Da；設(shè)∠ACa=α,∠ADa=α’，則：

α>α’；即：AC為P

平面上對(duì)H面的最大傾斜線●證明：

∵Aa⊥PH;AC⊥PH

∴PH⊥△ACa∴△ACa⊥P

且△ACa⊥H∴α為P、H面的夾角又：AC⊥PH,∴AD>AC∵△ACa、△ADa均為直角三角形∴∠ACa>∠ADa；即α>α’∴AC為P對(duì)H面的最大傾斜線；且

α為AC對(duì)H面的傾角。

PPHBCcDdA●結(jié)論：

平面上與平行線垂直的直線為最大傾斜線；其對(duì)投影面的傾角為平面對(duì)投影面的傾角abcOXa’b’c’Δzα作平面對(duì)投影面的傾角作平面對(duì)投影面的傾角●作圖步驟：

在平面上作投影面的平行線；作該平行線的垂直線（最大傾斜線）作該最大傾斜線對(duì)投影面的傾角[例]已知平面ABC；分別作該平面對(duì)

H、V面的傾角α、β[作圖]

過a’作水平線a’1’與b’c’交于1’；

過b作a1的垂線bd,與a1交于d，

則BD為平面對(duì)H面的最大傾斜線。

根據(jù)BD的兩面投影作BD對(duì)H面的傾角α，即為平面對(duì)H面的傾角。

過a作正平線a2與bc交于2；過b’作a’1’的垂線b’e’,與a’1’交于e’,

則BE為平面對(duì)V面的最大傾斜線。de2d’e’11’

作BE對(duì)V面的傾角β，即為平面對(duì)

V面的傾角。Δz2’ΔyβΔy[例]作平面ABC對(duì)V、W面的傾角

β、γ。a’b’c’a”b”c”Δyβ最大傾斜線的應(yīng)用最大傾斜線的應(yīng)用[例]已知ab為某平面對(duì)H面的最大傾斜線，作該平面上距

V面25mm的正平線。d’1’2’d”e”1”2”Δye’ΔxΔxγc’caba’b’25e’d’de垂直面二、垂直面

●鉛垂面

H面投影集聚為直線；此直線即為PH；

PH與投影軸夾角為平面的傾角β、γ；

另兩面投影為類似形βγPH

●正垂面

V面投影集聚為直線；此直線即為PV；

PV與投影軸夾角為平面的傾角α、γ；另兩面投影為類似形αγPV

●側(cè)垂面

V面投影集聚為直線；此直線即為PW；

PW與投影軸夾角為平面的傾角α、β；另兩面投影為類似形αPWβ[例]有一正方形ABCD，其中一條對(duì)角線AC的兩面投影已知。

B點(diǎn)在AC的后上方?！魽BCD

與V面夾角為45°。補(bǔ)全□ABCD的三面投影。

[分析]由AC的兩面投影知，

AC為側(cè)垂線，因此，BD

為側(cè)平線，ABCD為側(cè)垂面。同時(shí)ac即為對(duì)角線的真長(zhǎng)。根據(jù)正方形對(duì)角線相等且垂直平分；因此，b”d”的投影被

a”c”平分且長(zhǎng)度等于ac。aa’cc’垂直面作圖垂直面作圖bb’a”c”dd’PW45°b”d”投影面平行面三、投影面平行面

●水平面

H面投影反映真形；

V、W面投影集聚，且分別平行于OX、

OYW軸。

●正平面

V面投影反映真形；

H、W面投影集聚，且分別平行于OX、

OZ軸。

●側(cè)平面

W面投影反映真形；

H、V面投影集聚，且分別平行于OYH、

OZ軸。OXaba’b’平行面作圖平行面作圖[例]已知水平的正三角形

ABC的一邊AB的兩面投影，補(bǔ)全ABC的兩面投影。

[分析]由于ABC為水平面，所以ABC的水平投影反映真形。由