專題2.8巧用運算規(guī)律簡化有理數(shù)計算的六種方法【浙教版】【題型1歸類法】【方法點撥】運用加法交換律、結合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負數(shù))歸類計算，如整數(shù)與整數(shù)結合、如分數(shù)與分數(shù)結合、同分母與同分母結合等.【例1】閱讀下面的解題過程并解決問題計算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）計算過程中，第一步把原式化成的形式，體現(xiàn)了數(shù)學中的思想，為了計算簡便，第二步應用了．（2）根據(jù)以上的解題技巧進行計算下列式子：-212【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算步驟及運算定律可得答案；（2）仿照題意簡便方法計算即可．【解答】解：（1）計算過程中，第一步把原式化成省略加號和括號的形式，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉化思想，為了計算簡便，第二步應用了加法的交換律和結合律．故答案為：省略加號和括號，轉化，加法的交換律和結合律；（2）-21＝﹣2123+＝（﹣2123+23）+＝﹣21+3＝﹣18．【變式1-1】計算：(-2【分析】可利用結合律進行運算，最后得出結果．【解答】解：原式＝（-23-913）+（【變式1-2】計算：123+212【分析】先算同分母分數(shù)，再相加即可求解；【解答】解：123+212＝（123+13）+212＝2+212＝﹣312【變式1-3】計算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+11【分析】先算同分母分數(shù)，再相加即可求解．【解答】解：3712+（﹣114）+（﹣3712）+11＝（3712-3712）+（﹣114+114＝0+0+（﹣418＝﹣418【題型2湊整法】【方法點撥】將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消.【例2】計算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣【分析】運用加法的交換律和結合律計算可得．【解答】解：原式＝（﹣347-1637）+＝﹣20+15＝﹣5．【變式2-1】計算下列各題：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4；（2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+【分析】根據(jù)加法的運算律計算即可．【解答】解：（1）原式＝（20.36﹣13.36）+（1.4﹣1.4）＝7+0＝7；（2）原式=(325+535)-(2【變式2-2】計算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4）（2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣1【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣（0.1+8.9）+（4.6+5.4）＝﹣9+10＝1；（2）原式＝（﹣1.75+234）+（﹣345）=+(23＝1﹣2＝﹣1．【變式2-3】計算下列各題：（1）（0.5）+（+92）+（-19（2）（-12）+（-25）+（+32）+（（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（-43）+（-34）+（+7【分析】（1）應用加法交換律和結合律將兩個小數(shù)和兩個分數(shù)分別結合在一起計算；（2）先運用減法法則，再將分母相同的結合起來進行計算；（3）將正負數(shù)分別結合計算；（4）小數(shù)化分數(shù)，分母相同的結合計算．【解答】解：（1）原式＝（0.5+9.5）+（92-192）＝10﹣（2）原式=-12-25+32+185（3）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝（1.4+3.6）+（﹣1.5﹣4.3﹣5.2）＝5﹣11＝﹣6；（4）原式=-72-43-34+72+3【題型3逆向法】【方法點撥】主要是將式子中的一些小數(shù)、帶分數(shù)、分數(shù)互相轉化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使得計算變得更加簡單.【例3】計算：-5【分析】先變形，然后根據(jù)乘法分配律可以解答本題．【解答】解：-=5＝（52-＝（156-＝（﹣1）×=-11【變式3-1】計算：235×1【分析】先將題目式子中的帶分數(shù)化為假分數(shù)，小數(shù)化為假分式，然后根據(jù)乘法分配律即可解答本題．【解答】解：235=13=135×=13=26【變式3-2】計算：-13×【分析】分別提取公因數(shù)﹣13和﹣0.34，即可簡化計算，再合并即可；【解答】解：-13×＝﹣13×（23+13）﹣＝﹣13﹣0.34＝﹣13.34【變式3-3】計算：0.7×14【分析】根據(jù)乘法分配律可以解答本題；【解答】解：0.7×1＝0.7×（149+59）+（2＝0.7×2+3×（﹣15）＝1.4+（﹣45）＝﹣43.6；【題型4拆項法】【方法點撥】將一個數(shù)拆分成兩個或兩個以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結合率或者利用乘法分配率從而使得計算變得簡潔.【例4】閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”計算：﹣556解：原式=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-56啟發(fā)應用用上面的方法完成下列計算：(-3【分析】將原式利用“拆項法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（-3【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（-3＝﹣4+（-7＝﹣4710【變式4-1】閱讀下列解題方法，然后根據(jù)方法計算．﹣516-（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（-16）﹣（-23）計算：（﹣201956）+（﹣201823）【分析】利用加法的結合律，將整數(shù)、分數(shù)分別結合在一起先相加，運算簡便．【解答】解：（﹣201956）+（﹣201823）＝[（﹣2019）+（﹣2018）]+[（-56）+（-2＝﹣4037+（-32）＝0【變式4-2】計算：﹣991517×【分析】根據(jù)乘法分配律簡便計算．【解答】解：﹣991517＝（﹣100+217＝﹣100×34+2＝﹣3400+4＝﹣3396．【變式4-3】計算：399【分析】根據(jù)乘法分配律簡便計算．【解答】解：399＝（400+33133）×（﹣＝400×（﹣6）+33133×＝﹣2400﹣165＝﹣240165133【題型5組合法】【方法點撥】找出規(guī)律，重新組合，然后通過約分或抵消簡化題目.【例5】計算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【分析】把原式寫成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一個有25個﹣2，據(jù)此計算即可．【解答】解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．【變式5-1】計算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【分析】原式結合后，相加即可得到結果．【解答】解：原式＝1+（﹣2+3）+（﹣4+5）+…+（﹣98+99）＝1+1+…+1＝50．【變式5-2】計算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【分析】原式四項四項結合，計算即可得到結果．【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）＝0．【變式5-3】計算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【分析】將4個數(shù)字作為一組，分組計算即可．【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣2008）＝﹣4+（﹣4）+…+（﹣4）＝﹣4×502＝﹣2008．【題型6裂項相消法】【方法點撥】將一個數(shù)拆分成兩個或兩個以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結合率或者利用乘法分配率從而使得計算變得簡潔.【例6】閱讀材料，回答下列問題．通過計算容易發(fā)現(xiàn)：①12-13=1（1）觀察上面的三個算式，請寫出一個像上面這樣的算式：17-（2）通過觀察，計算11×2（3）探究上述的運算規(guī)律，試計算11×3【分析】（1）觀察①②③三個算式，可知分母中兩個乘數(shù)的差為1，分子的差也為1，直接寫出一個類似的算式即可；（2）根據(jù)上述規(guī)律得原式＝1-1（3）所給算式分母中兩個乘數(shù)的差為2，但分子的差為1，故前面乘以12【解答】解：（1）17故答案為：17（2）1＝1-＝1-=6（3）11×3=12（1=12（1=1=49【變式6-1】12+13（1）請在理解上面計算方法的基礎上，把下面兩個數(shù)表示成兩個分數(shù)的和的形式（分別寫出表示的過程和結果）1342=＝，1772=＝（2）利用以上所得的規(guī)律進行計算：3【分析】（1）直接利用已知運算規(guī)律進而計算得出答案；（2）直接利用已知運算規(guī)律將原式變形進而計算得出答案．【解答】解：（1）13421772故答案為：16+17，6+76×7（2）3＝1+12-（12+13）+（13+14）﹣（14+＝1-=8【變式6-2】類比推理是一種重要的推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上相似，得出它們在其他特征上也可能相似的結論．在異分母的分數(shù)的加減法中，往往先化作同分母，然后分子相加減，例如：12-13=32×3（1）猜想并寫出：1n(n+1)=（2）探究并計算下列各式：①11×2②1-2×4【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的例子，可以解答本題；（2）①根據(jù)題目中的例子和式子的特點，可以求得所求式子的值；②根據(jù)題目中的例子和式子的特點，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）1n(n+1)故答案為：1n（2）①1＝1-＝1-=