PAGEPAGE4第五章數(shù)學(xué)概念、命題與問題解決教學(xué)§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)一、數(shù)學(xué)概念(MathematicalConcept)的意義和結(jié)構(gòu)概念是最基本的思維形式的一種，它與其他形式—判斷、推理—是有密切聯(lián)系的。人們必須先具有關(guān)于某事物的概念。然后才能作出關(guān)于某事物的判斷、推理。概念是判斷推理的基礎(chǔ)。另一方面，人們通過判斷、推理所獲得的新認(rèn)識，又要形成新的較深刻的概念，所以概念又是判斷、推理的結(jié)晶?？茖W(xué)史表明：“科學(xué)是與概念并肩成長起來的”。概念具有如此重要的作用，我們在學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)過程中必須十分重視對概念的理解和掌握。1、數(shù)學(xué)概念的意義[引題]師問：“等式是不是方程？”生答：“不是。”“為什么？”“因為這個等式是個恒等式，不論x取什么數(shù)，等式都成立，可以這個等式不是方程?！睅焼枺骸笆裁唇蟹匠?？”生答：“含有未知數(shù)的等式叫做方程?！睅焼枺骸暗仁胶形粗獢?shù)嗎？”生答：“含有未知數(shù)x，這是方程。原來我認(rèn)為含有未知數(shù)的恒等式不是方程，這是不對的?！睅焼枺骸凹热贿@個等式是方程，那么，這個方程有多少根?”生答：“有無窮多解。”師問：“對。有的方程有有限個解，例如：x+1=0只有一個解；有的方程無解，例如:在實數(shù)范圍內(nèi)無解；有的方程有無窮多解，方程就是一例?！薄陨蠈υ捠墙處熢谝龑?dǎo)學(xué)生明確“方程”這個概念的內(nèi)涵與外延。什么是概念的內(nèi)涵和外延？先從“概念”談起。（1）屬性：在客觀世界中，存在著許許多多的事物，每一事物都有本身的性質(zhì)和其他事物之間存在一定的關(guān)系。事物的性質(zhì)和事物之間的關(guān)系統(tǒng)稱為事物的屬性。（2）特征：事物和屬性是不可分的，具有相同屬性的事物構(gòu)成一類。屬性不同的事物就形成不同的類。事物由于屬性相同或不同，形成各種不同的類，就是事物的特征。（3）本質(zhì)屬性：在一類事物的許多屬性中，對該事物具有決定意義的，即決該事物之所以成為該事物并區(qū)別于其它事物的屬性，統(tǒng)稱為事物的本質(zhì)屬性。例如：能思維、能制造并使產(chǎn)用生產(chǎn)工具的動物是人的本質(zhì)屬性。平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合，是圓的本質(zhì)屬性，有長度是圓的非本質(zhì)屬性。（4）概念：概念是反映事物的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。掌握概念，實質(zhì)上就是要理解一類事物的共同的本質(zhì)屬性。即使符號代表一類事物而不是特殊事物。為了達到掌握概念，可以利用學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念，以定義的方式直接向?qū)W習(xí)者揭示概念的本質(zhì)屬性，這種使學(xué)習(xí)者獲得概念的方式叫概念同化。但是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生年齡因素，他們已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)簡單，知識經(jīng)驗具體而貧乏，有時概念同化的方式對他們學(xué)習(xí)概念是不合適的。只能從大量的具體例子出發(fā)，從他們實際經(jīng)驗或數(shù)學(xué)現(xiàn)實中，以歸納的方式抽取一類事物的共同的本質(zhì)的屬性，從而獲得某些概念。（概念的形成—曹本P.279）所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？人們又對客觀事物的認(rèn)識，一般是通過感覺、知覺形成印象（建立觀念），在此基礎(chǔ)上，運用比較、分析、綜合、抽象、概括等方法，逐漸認(rèn)識抽象出事物的本質(zhì)屬性和特征，并借助詞語形成反映該事物的概念。如：自然數(shù)產(chǎn)生于計數(shù)?！皵?shù)”與某具體的事物聯(lián)系在一起，“5——五頭羊，五個手指頭”抽象出數(shù)量的共同特征。（5）數(shù)學(xué)概念：數(shù)學(xué)的研究對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)是關(guān)于模式與秩序的科學(xué)。數(shù)學(xué)概念就是反映這些數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式，在數(shù)學(xué)中，每一數(shù)學(xué)概念通常用一個特有的名稱或符號來表示。例如：“圓的概念”，反映了“平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點集”這一圓的本質(zhì)屬性；O表示以O(shè)為圓心的圓；sinx表示正弦函數(shù)；“方程”的概念，反映了“含有未知數(shù)的等式”這一方程的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展有各種不同的途徑：①從現(xiàn)實模型中直接反映得來：幾何中的點、線、面、體——從物體的形狀、位置、大小關(guān)系等概括出來；自然數(shù)——從手指數(shù)和其他單個事物排列次序抽象出來。②在一些相對具體的概念上，經(jīng)過多級抽象概括的過程才產(chǎn)生和發(fā)展而成的：復(fù)數(shù)←實數(shù)←實數(shù)←有理數(shù)←自然數(shù)概念。③人們的思維加工，把客觀事物理想化、純粹化得來：直線的“直”和“可以無限延伸”。④數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生——諸多“規(guī)定”：任何數(shù)乘以0的積為0；又例：為把正整冪的運算法則擴充到有理數(shù)冪、無理數(shù)冪，以至實數(shù)指數(shù)冪，在數(shù)學(xué)中，產(chǎn)生了零指數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)、無理數(shù)指數(shù)等概念。⑤根據(jù)理論上有存在的可能提出來的：自然數(shù)集，無窮遠(yuǎn)點，π。⑥在一定的數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生出來，數(shù)學(xué)中許多概念，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展成為新的概念。例如：多邊形的頂點、邊、對角線、內(nèi)角、外角等概念，具有公共端點的兩條射線所成的角的概念（靜態(tài)）。發(fā)展成為射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所成的角（動態(tài)）。關(guān)于幾何量角的三角函數(shù)→實數(shù)的三角函數(shù)。總之，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展的途徑是多方面的，有的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生發(fā)展甚至是非常復(fù)雜的（如圖論中“樹”、“枝”，同倫，范疇，鏈，鞅論，測度，流形等等）。但，無論如何復(fù)雜，如何抽象，它們總是在一定的感性認(rèn)識基礎(chǔ)上（直接從客觀事物的空間形式或數(shù)量關(guān)系、模式或秩序反映出來），或者在一定的理性認(rèn)識基礎(chǔ)上產(chǎn)生出來并逐步發(fā)展的。2、概念的內(nèi)涵和外延——這是概念的邏輯特征概念的內(nèi)涵和外延(ConnotationandExtentionofConcept)，是從質(zhì)和量兩個方面構(gòu)成概念的。（1）內(nèi)涵：是指概念所反映對象的本質(zhì)屬性的總和。又稱內(nèi)包即性質(zhì)。例如：“人”的內(nèi)涵是能思維、能制造工具，并使用工具進行勞動的動物。（2）外延：是指概念所反映對象的總和，或概念所指對象的范圍。又稱外包，表達數(shù)量，可看作一個集合。例如：“人”的外延是古今中外一切的人。二者異同點：都是主觀對客觀的一種認(rèn)識，它們分別與客觀對象本身和客觀對象的特有屬性、本質(zhì)屬性是有區(qū)別的。例如：△ABC的“頂點”概念其外延：A、B、C三點的集合，其內(nèi)涵：包括點的性質(zhì)和其中任一點同在這個三角形兩邊上這個性質(zhì)。再例：自然數(shù)系中“偶數(shù)”概念。其外延：2、4、6、8、……2n、……等數(shù)組成的集合；其內(nèi)涵：“能被2整除”這個性質(zhì)。（3）數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認(rèn)識的。例如：“角”的概念。在平面幾何中，其內(nèi)涵是指具有公共端點的兩條射線所組成的圖形。在平面三角中，其內(nèi)涵是指一射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形。其外延：任意大小的正角、負(fù)角、0o角。顯見，二者的外延和內(nèi)涵都是不同的。再如：方程的“解”與不等式的“解”的概念?！熬匦闻c長方形”：同一概念可用不同詞語表達，同一詞語也可表達不同概念。用數(shù)學(xué)方法揭示邏輯中的概念問題，通常用集合的觀點和符號來說明內(nèi)涵、外延及概念間的關(guān)系。例：自然數(shù)中偶數(shù)的外延表示為。正方形的內(nèi)涵：鄰邊相等，內(nèi)角是直角的（平行四邊形）；其外延：所有鄰邊相等，內(nèi)角是直角的平行四邊形構(gòu)成的集合。一般地，集合表示一個概念的外延時，其中，就是這個概念的內(nèi)涵。內(nèi)涵嚴(yán)格限定了外延，外延完全確定了內(nèi)涵。（4）概念內(nèi)涵與外延之間的關(guān)系——互相嚴(yán)格地限定/確定，一脈相承，又相依而變?！胺醋冴P(guān)系”：概念的內(nèi)涵和外延是密切聯(lián)系，相互制約的。如果概念A(yù)的內(nèi)涵比概念B的內(nèi)涵多，那么A的外延就比B的外延小，這就是概念的內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系。例如：“等腰△”其內(nèi)涵比“三角形”概念內(nèi)涵多。而“等腰△”的外延比“三角形”的外延小，少了那些沒有兩邊相等的三角形。再如：“方程”比“整式方程”的內(nèi)涵少（少了“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式”）；而前者比后者的外延大（多了那些兩邊不都是整式的方程）?！案拍畹南拗啤保簱?jù)此，把一個概念的內(nèi)涵增加（擴大），得到另一個外延較小（縮?。┑母拍睿凶龈拍畹南拗?；“概念的概括”：把一個概念的內(nèi)涵減少（縮?。玫搅硪粋€外延較大（擴大）的概念，叫做概念的概括。例如：在“四邊形”的內(nèi)涵中增加“兩組對邊平行”得到“平行四邊形”；在“平行四邊形”的內(nèi)涵中增加“有一個角是直角”，得到“矩形”。這是概念限制。又如：在“一元二次方程”中去掉“只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”，便得到“整式方程”；在“整式方程”的內(nèi)涵中去掉“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式”，便得到“方程”。這就是概念的概括。概念的限制與概念的概括的過程正相反。利用它可使我們準(zhǔn)確地選擇概念，恰如其分地表示我們所要反映的事物。概念的內(nèi)涵要用定義來揭示，外延常用分類加以明確。借助定義和分類，可以把單個的概念組成相互關(guān)聯(lián)的概念體系。二、概念間的關(guān)系(RelationbetweenConcepts)邏輯上所說的概念間的關(guān)系，通常是指概念外延間的同異關(guān)系。在形式邏輯中，兩個概念的外延之間。主要有以下幾種關(guān)系：1、相容關(guān)系。如果兩個概念的外延至少有一部分是重合的，則稱二者具有相容關(guān)系。兩外延交集是非空集合。A·A·B（1）全同關(guān)系——同一關(guān)系或者重合關(guān)系全同關(guān)系是指兩個概念的外延完全重合。具有全同關(guān)系的概念，其外延雖然完全重合，但它們的內(nèi)涵可以不同。例如：①數(shù)0是自然數(shù)集中最小數(shù)；又是正與負(fù)數(shù)的分界數(shù)；又是運算中兩個相等數(shù)的差；等等。②在等腰△中：底邊上的高線、中線及頂角的平分線的外延相同，但其內(nèi)涵（性質(zhì)）不同。③④“同一關(guān)系”的例：北京；中華人民共和國首都。非零自然數(shù)；正整數(shù)。等邊△；正△。等邊矩形；等角菱形。同一概念是從不同的方面反映同一事物的本質(zhì)屬性，因而同一概念的外延相同，但內(nèi)涵不完全相同。研究全同關(guān)系，可以對概念所反映的對象得到較深刻、較全面的認(rèn)識。A此外，在推理證明中，具有全同關(guān)系的概念（即同一概念）可以互相代換，使得論證簡明。AB表示AB：A較大——屬（上位）概念BB較小——種（下位）概念（2）從屬關(guān)系（屬種關(guān)系）設(shè)不是同一關(guān)系的兩個概念甲、乙，其外延分別用A、B表示。如果甲概念的外延A完全包含乙概念的外延B，或者說。如果B概念是A概念外延的一部分而不是全部，種概念B的外延是屬概念A(yù)的外延的真子集。例如：有理數(shù)的外延（屬概念）整數(shù)的外延（種概念）。有屬種關(guān)系的兩個概念的關(guān)系，在外延、內(nèi)涵數(shù)量上，互相制約。反比關(guān)系（反變關(guān)系）一個概念的內(nèi)涵多→外延—小反比關(guān)系（反變關(guān)系）反之內(nèi)涵少→外延—大Note：這里借用“反比”的意思只是表示概念的內(nèi)涵與外延在數(shù)量方面相應(yīng)的變化方向相反，并不意味其間數(shù)量成反比例關(guān)系。例如：四邊形外延外延外延外延多出：兩組對邊平行；兩組對邊相等；對角線互相平分。多出：四個角是直角；對角線相等。多出：鄰邊相等；對角線相等且相互垂直平分。內(nèi)涵內(nèi)涵內(nèi)涵四邊形內(nèi)涵屬概念和種概念是相對的。同一個概念，相對于某一概念是屬概念，相對于另一概念可以是種概念。例如：“有理數(shù)”是“整數(shù)”的屬概念，也是“實數(shù)”的種概念；“等腰△”是“△”的種概念，也是“等邊△”的屬概念。“種差”的概念：種概念包含于屬概念，種概念除具有屬概念的內(nèi)涵外，還具有本身特有的內(nèi)涵，這特有的內(nèi)涵被稱為種概念的種差（“種差”概念在概念的定義中有重要作用）。BA屬種關(guān)系又稱從屬關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，屬種關(guān)系是概念間比較重要的一種關(guān)系。這種關(guān)系，在研究概念的性質(zhì)以及推理，證明中常用到。BA（3）交叉關(guān)系如果兩概念外延，有且只有部分重合，那么兩個概念具有交叉關(guān)系。例：方程組的解集；不等式組的解集；幾何中軌跡交截法。交叉概念A(yù)和B外延的交集既是A外延的真子集，也是B的真子集，這個交集往往是另一個概念的外延。以交叉概念A(yù)和B外延的交集為外延的概念，既具有A的內(nèi)涵，又具有B的內(nèi)涵。AB AB例：中學(xué)生；女學(xué)生女中學(xué)生；正數(shù)；整數(shù)正整數(shù)；矩形；菱形正方形。遞增數(shù)列；有界數(shù)列遞增有界數(shù)列正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是一個角是直角的菱形。2、不相容關(guān)系如果兩概念的外延沒有重合部分，則稱為不相容關(guān)系或全異關(guān)系或排斥關(guān)系。它分為：（1）矛盾關(guān)系在同一屬概念下的兩個種概念，如果它們的外延的和等于屬概念的外延，而且這兩個種概念具有全異關(guān)系，那么，這兩個種概念的關(guān)系為矛盾關(guān)系。AB用集合符號表示之，設(shè)屬概念的外延為集合C，它的兩個種概念的外延分別為集合A和B。AB若AB=φ且A∪B=CC則A與B具有矛盾關(guān)系。例：男青年；女青年→{青年}有理數(shù)；無理數(shù)→{實數(shù)}直角△；斜△→{△}空集；非空集→{集合}.（2）反對關(guān)系（又稱對立關(guān)系）AB在同一屬概念下的兩個種概念，如果它們的外延之和小于屬概念的外延，而且這兩個種概念具有全異關(guān)系，那么，這兩個種概念的關(guān)系為反對關(guān)系或者對立關(guān)系。AB若A∩B=φ且ABC，C則A與B具有反對關(guān)系。例：牛；馬動物，質(zhì)數(shù)；合數(shù)自然數(shù)，正弦函數(shù)；余切函數(shù)三角函數(shù)平行四邊形；梯形四邊形概念的全異關(guān)系（矛盾/反對）是數(shù)學(xué)中反證法、窮舉法的依據(jù)（邏輯基礎(chǔ)）之一，用處很多。兩個概念間的矛盾關(guān)系和反對關(guān)系與它們的屬概念有關(guān)。對于不同的屬概念，兩個種概念的關(guān)系可能不一樣，對兩個種概念的矛盾關(guān)系或反對關(guān)系，必要時應(yīng)指出是對于那個屬概念而言的。除以上各種關(guān)系外，概念之間還有一種并列關(guān)系。3、并列關(guān)系CB同一屬概念的幾個種概念之間的關(guān)系叫做并列關(guān)系。CBA概念的并列關(guān)系，可以是相容的，也可以不相容的。A概念A(yù)、B、C之間的相容并列關(guān)系可用圖表示：例：小說家；詩人；劇作家；無窮數(shù)列；有界數(shù)列；遞增數(shù)列；A2的倍數(shù)；3的倍數(shù)；5的倍數(shù)；7的倍數(shù)。ABC概念A(yù)、B、C之間的不相容并列關(guān)系，可用下圖表示：BC例：紅色；藍色；藍色；加；減；乘；除；正弦；余弦；正切；余切；正割；余割。并列關(guān)系多指三個或三個以上種概念之間的關(guān)系。[小結(jié)]數(shù)學(xué)中的概念很多，概念之間的關(guān)系也比較復(fù)雜。教學(xué)中我們可以利用歐拉圖把這些關(guān)系直觀地表示出來，便于學(xué)生掌握和理解。例如：四邊形及其一系列種概念關(guān)系可如圖所示：四邊形四邊形梯形平行四邊形梯形平行四邊形正方形等腰梯形直角梯形正方形等腰梯形直角梯形菱形矩形概念之間的關(guān)系可概括為：（）三、概念的定義和原始概念[問題的提出]：“是不是二次根式？”答曰：“不是。教材中把式子叫做二次根式，不具有的形式，所以不是二次根式。”又答曰：“是。把二次根式化為最簡二次根式結(jié)果就是。是最簡二次根式，還能不是二次根式嗎？”兩種回答觀點相反，如何解釋？這是一個與“二次根式”的定義有關(guān)的問題。1、什么是定義(Definition)定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法。也即，通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)來明確概念的邏輯方法。例如：“方程”是“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。“三角形”是“由三條線段首尾順次連結(jié)所組成圖形”。定義是由被定義項、定義項和定義聯(lián)項三部分組成。Ds--被定義項：就是其內(nèi)涵被揭示的概念。Dp--定義項：就是用以揭示被定義概念內(nèi)涵的概念。常用的定義聯(lián)項：“是”、“叫做”、“稱為”etc。例“Ds就是Dp”或“Dp叫做Ds”。平行四邊形就是兩組對邊分別平行的四邊形。Ds聯(lián)項Dp含有未知數(shù)的等式，叫做方程。Dp聯(lián)項Ds在科學(xué)系統(tǒng)中，對于每一個數(shù)學(xué)概念都要給予確定的內(nèi)容和含義，給概念下定義就是準(zhǔn)確地揭示它的內(nèi)涵。通常，當(dāng)一個概念的內(nèi)涵被揭示之后，就有了標(biāo)準(zhǔn)來確定哪些對象是屬于或不屬于這個概念的外延。即只要揭示了概念的內(nèi)涵，也就確定（嚴(yán)格地限定）了它的外延。因此，概念的定義可以作為判別概念外延的標(biāo)準(zhǔn)。2、數(shù)學(xué)概念的定義方式數(shù)學(xué)概念繁多，其定義方式各不相同，中學(xué)數(shù)學(xué)教材根據(jù)學(xué)生年齡特點和知識水平，針對不同類型概念采用不同的定義方式。數(shù)學(xué)中常用的幾種定義方式：（1）屬概念加種差的定義方式中學(xué)數(shù)學(xué)中，有一系列概念屬于同一類，這些概念之間的外延存在屬種（從屬）關(guān)系。在這一體系中，對某一概念有若干屬概念，從最鄰近的屬概念出發(fā)來定義，即把被定義的概念歸入另一個較為普遍的概念（屬概念）是最常用的定義方式。所謂種差，是在同一個屬概念里，一個種概念與其他種概念之間本質(zhì)屬性的差別，叫做這個種概念的種差（此有彼無的屬性）。其公式為“被定義概念”=“屬概念”+“種差”。定義1o：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平等四邊形。定義2o：只含有一個未知數(shù)而且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。這種定義方式的優(yōu)點在于能用已經(jīng)定義的概念來定義它的種概念。用種差來揭示被定義的概念的特有性質(zhì)。定義既準(zhǔn)確，又明瞭，還有助于揭示概念間的各種關(guān)系，把概念系統(tǒng)化。例如“四邊形”+“兩組對邊分別平行”=“平行四邊形”；“平行四邊形”+“有一個角是直角”=“矩形”；“矩形”+“鄰邊相等”=“正方形”。四邊形、平行四邊形、矩形、正方形之間的從屬關(guān)系，以及平行四邊形與非平行四邊形的四邊形，矩形與非矩形的平行四邊形，正方形與非正方形的矩形等之間的矛盾關(guān)系，以及其內(nèi)涵的差異都能夠從它們的定義看得很清楚。在同一個屬概念里，一種概念與其他種概念的本質(zhì)屬性相差可能不只是一個。只要能把這個種概念和其他種概念區(qū)別開來，定義時，可選用其中一個或幾個本質(zhì)屬性作為“種差”。例如用“四邊形”作屬概念，選擇不同的種差，可給出平行四邊形下面幾組定義：1o、兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；2o、一組對邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形；3o、兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；4o、對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形；還有其他“種差”：5o、。在同一教材體系中，一個概念只能采用一個定義。也許是為了和“平行四邊形”這個名稱協(xié)調(diào)一致，一般選用第1o定義。其他定義都被表述為一個性質(zhì)定理或判定定理。例如定義4o被“分解”為：平行四邊形性質(zhì)定理：平行四邊形的對角線互相平分。平行四邊形判定定理：對角線互相平行的四邊形是平行四邊形。在教學(xué)中，為培養(yǎng)學(xué)生抽象能力，把某些教材適當(dāng)改變是有好處的。比如，可以改變逐個講解平行四邊形的定義，判定和性質(zhì)定理的辦法。而是讓這生觀察圖形或模型，從而得出平行四邊形的全部本質(zhì)屬性（種差）。然后，讓學(xué)生自行分析應(yīng)當(dāng)以哪一組本質(zhì)屬性作定義，又以哪一組屬性作為基礎(chǔ)的性質(zhì)定理，最后，完成定義和定理的準(zhǔn)確敘述，并用出相應(yīng)的證明?！侠撬^用發(fā)現(xiàn)法進行教學(xué)（或數(shù)學(xué)化教學(xué)）的典型例子。在平面幾何中，多邊形、四邊形、平行四邊形、矩形、正方形；在立體幾何中，幾何體、棱柱、直棱柱、正棱柱、正四棱柱；在代數(shù)中，代數(shù)式，有理代數(shù)式、整式、單項式；還有映射，函數(shù)，初等函數(shù)，有理函數(shù)，有理整函數(shù)，一次函數(shù)都屬于這一類。教學(xué)中，根據(jù)這類概念的特性，除了講清概念本身外，還要把該概念放置在這一體系中從發(fā)展的觀點出發(fā)闡明概念之間的關(guān)系。（2）發(fā)生定義方式發(fā)生式定義其實是“種差加屬”定義方式的特殊形式。其基礎(chǔ)不是事物的存在，而是它的產(chǎn)生和形成過程。它即是把只屬于被定義概念，而不屬于其他任何事物的發(fā)生或形成的特有屬性作為種差的定義。例如1o、在平面上射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角。2o、把數(shù)和表示數(shù)的字母用代數(shù)運算符號聯(lián)結(jié)起來的式子叫做代數(shù)式。3o、平面內(nèi)一個點繞著一個定點做等距離運動所成的封閉曲線叫做圖。4o、一個圓沿著一定直線滾動時，圓周上的一定點的軌跡叫做擺線。立體幾何中有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的概念（如圖柱、圓錐、圓臺等）；解析幾何中，橢圓、雙曲線、拋物線、漸近線，擺線等都是采用發(fā)生定義的。這些定義方式的共同特點：把被定義概念的屬概念（不一定是最鄰近的）加上被定義的概念的發(fā)生過程，即把概念的發(fā)生過程作為種差。有的概念雖然是發(fā)生式定義，但未必能明顯地寫成“屬十種差”的形式。如：排列、組合、某事件的概率。例如“排列”定義為：“從n個不同元素中，任取個，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。采用發(fā)生式定義的概念，在教學(xué)中必須緊緊抓住概念形成的過程和條件，并認(rèn)真研究這些條件，才能切實掌握這類概念。即現(xiàn)時強調(diào)知識的發(fā)生過程。（3）揭示外延的定義方式用直接指明外延的方法定義概念，稱為外延定義。普通概念的外延定義普通概念是指反映某一類對象的概念，它們所映的每一個對象都具有共同屬性。如一次函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角形等。中學(xué)數(shù)學(xué)中，實數(shù)、有理數(shù)概念都是用外延定義。如：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)；整式和分式統(tǒng)稱有理式；銳角△和鈍角△合稱為斜△；三角函數(shù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)…的總稱。單獨概念的外延定義（或稱約定式定義）單獨概念是反映某一個特定對象的概念，它的外延只含有一個對象。如自然對數(shù)底e和圓周率π就是單獨概念。數(shù)學(xué)中根據(jù)內(nèi)部發(fā)展規(guī)律的需要對單獨概念作特殊規(guī)定，如零指數(shù)概念定義為，使同底數(shù)冪的除法法則，在被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)相等時也能適用；零階乘概念定義為0！=1。這時，他們的內(nèi)涵與外延統(tǒng)一起來。再如定義“負(fù)指數(shù)”規(guī)定：；“象的式子叫做二次根式”；Cn0=1；φ表示空集，N（自然數(shù)集），Z（整數(shù)集），R（實數(shù)集），C（復(fù)數(shù)集）。（4）其他定義方式·關(guān)系定義：又稱相關(guān)概念的定義方式，它是以事物間的關(guān)系作為“種差”的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。例如“偶數(shù)”的定義是：“能被2整除的整數(shù)叫偶數(shù)”，這是一個關(guān)于偶數(shù)的關(guān)系定義；在幾何中，研究幾何元素間的位置關(guān)系，如平行、垂直、相交等；大于直角而小于平面的角叫鈍角；b(b≠0)整除a,就是c,使a=bc,(a、b、c、Z)。在代數(shù)中，數(shù)與數(shù)，數(shù)與式，式與式等關(guān)系，如：運算關(guān)系，即對加、減、乘、除等運算概念的定義；函數(shù)關(guān)系，即對各種函數(shù)關(guān)系的定義；其他關(guān)系，如最大公約數(shù)，互度數(shù)，同類項等。·公理化定義方式用若干條公理給概念下定義，稱為公理定義方式。例如1891年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G.Peano,1858-1932）提出了用公理來定義自然數(shù)，成為數(shù)的概念的理論基礎(chǔ)。（i）“1”是自然數(shù)；（ii）“1”不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；（iii）每個自然數(shù)a，都只有一個后繼數(shù)a’；（iv）如果a=b，那么a’=b’；（v）任意一個自然數(shù)的集合，如果含有1，并且假定：含有n，也一定含有n的后繼數(shù)n’，那么這個集合含有所有的自然數(shù)（歸納公理）。這些公理中用到不定義概念“直接后繼”，簡稱“后繼”，用’表示；還有“1”，“集合”，“自然數(shù)”，“含有”等概念為前提。關(guān)于自然數(shù)集擴充：從公理集合論觀點，用集合“無究公理”作為基礎(chǔ)，自然數(shù)可如下歸納定義：（參見：張錦文《集合論淺說》，1984，科學(xué)出版社）0=（空集是0）1={}（0的后繼）2={、{}}（1的后繼）3={、{}、{、{}}}（2的后繼）……一般地，若自然數(shù)n已經(jīng)定義，則n的后繼n+1定義為：所有自然數(shù)的集合稱為自然數(shù)集，記為。按此定義，自然數(shù)0，1，2，…，n…都是集合，而且前面的集合總是后面集合的元素：因此，用屬于關(guān)系“”來定義自然數(shù)的序“<”，是很方便的。這樣，自然數(shù)的理論就完全建立在集合論基礎(chǔ)之上，能夠用集合論語言來統(tǒng)一表述。值得指出的是：皮亞諾公理化定義的自然數(shù)與集合論定義的自然數(shù)是等價的。建立如下一一對序f：f：，并且這兩集合是序同構(gòu)的。在歐氏幾何的構(gòu)成過程中，由于希爾伯特的貢獻，建立了近代公理體系，使歐氏幾何理論基礎(chǔ)完整而嚴(yán)格。在希氏的公理體系中，間接地定義了點、直線、平面，同時定義了它們之間的若干關(guān)系。公理化定義是一種嚴(yán)格的定義方式，有著重要的理論和應(yīng)用價值，但考慮到量力性原則，中學(xué)教材中沒有直接使用公理定義?！みf歸定義方式（一般適用于與自然數(shù)的性質(zhì)有直接關(guān)系的對象）在算術(shù)理論中，“兩個自然數(shù)的和”定義為：對于任意兩個自然數(shù)m，n，有且只有一個自然數(shù)m+n與之對應(yīng)，且滿足下列條件：（i）對任意自然數(shù)m，有m+1=m’；（ii）對任意兩個自然數(shù)m，n有m+n’=(m+n)’；則稱m+n為m與n的和。這種定義叫做遞歸定義。例如正整數(shù)指數(shù)冪可以用遞歸定義：（i）a1=a（ao=1(a≠0)）（ii）ak+1=ak.a（k為正整數(shù)）中學(xué)數(shù)學(xué)教材中冪的定義：實數(shù)a(a≠0)的n次冪：恰當(dāng)使用遞歸定義，可把一類概念中省略號“…”的含義確切地表述出來，從而顯得更加嚴(yán)謹(jǐn)。例的意義是a1+a2+…+an。但這里“…”意思不明確。如1+4+9+…第四項可理解為16（an=n2），也可理解為22（an+1=2an+an-1）。但以遞歸定義就確定了：滿足：（i）f(1)=a1（ii）f(n+1)=f(n)+an+1（nN）（5）原始概念在一門科學(xué)體系中，總要給概念下定義，既用已知的概念來定義新的概念，這就構(gòu)成一個概念序列。在這個序列中總有一些概念是不能引用其他概念來定義的，這就是不定義的原始概念（或稱描述性定義概念）。如點、直線、平面、集合、對應(yīng)、長度、面積等概念。因為沒有比它們更高的屬概念，所以不能用屬加種差的方法來下定義。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常常用比較和描述的方法揭示這類原始概念的基本特征，以代替定義，通常稱為描述性定義。在近代數(shù)學(xué)中，一般卻通過公理化方法，來闡明原始概念的本質(zhì)屬性，通常也稱為公理定義或隱定義。由于原始概念一般是直觀描述，或具體說明（事例）。在教學(xué)中，應(yīng)從具體，形象入手，再概括成概念，從概括中闡明它的本質(zhì)屬性。3、定義的規(guī)劃：（1）定義必須相稱即由定義確定的處延與被定義概念的外延必須是相等的，不能擴大也不能縮小。它們是同一關(guān)系。例如無理數(shù)定義為：“帶根號的數(shù)是無理數(shù)”或“無限小數(shù)是無理數(shù)”是不相稱的。這里，“無理數(shù)”與“帶根號的數(shù)”是交叉關(guān)系。再如梯形定義為：“有一組對邊平行的四邊形叫梯形”。這也是不相稱的。有一組對邊平行的四邊形不但包含梯形，而且還包含平行四邊形。這種定義概念的外延大于被定義概念外延的邏輯錯誤叫做“定義過寬”。下面定義都犯了此錯誤：“不相交的兩條直線叫做平行線”。再如無理數(shù)的下述定義：“開不盡的方根叫做無理數(shù)”。這種定義概念的外延小于被定義概念外延的邏輯錯誤叫做“定義過窄”，下述定義犯此錯誤：“正數(shù)的正的平方根叫做算術(shù)根”?！按笥?80o且小于270o的角叫做第四象限角”。討論開始提出的問題：“是不是二次根式？”教材中二次根式的定義是：“式子叫做二次根式。”不具有的形式，根據(jù)上述定義，不是二次根式。但是，在研究二次根式的化簡和運算時，習(xí)慣上都把象這樣的式子也稱為二次根式。這樣，上述定義就有“定義過窄”之嫌。為解決這一問題，教材在引入“最簡二次根式”之前，用“注”的形式做了如下補充規(guī)定：“為了方便，我們把形如的式子也叫做二次根式”。有了這個補充規(guī)定，我們可以說“是二次根式了”。（2）定義不能是循環(huán)的即定義要用已知概念，不要出現(xiàn)循環(huán)定義或同語反復(fù)。定義概念不能直接或間接地包括被定義概念。例用兩直線垂直來定義直角，又用兩直線成直角來定義垂直。例把冪定義為：“乘方運算的結(jié)果叫做冪”，又把乘方定義為：“求冪的運算叫做乘方”。這是循環(huán)定義。定義概念“求冪的運算”間接地包括了被定義概念“乘方”。（3）定義要簡明、確切（即要求：不含糊，不比喻，不羅嗦，不含推出屬性）例如說矩形象方凳子面那樣的圖形；象滿月一樣的圖形叫作圓。在屬種定義中若不取最鄰近的屬，容易造成重疊羅嗦或遺漏。有時定義形式似乎簡明，但在邏輯上也能是羅嗦，如：“菱形是四邊相等的平行四邊形”。其中，含有推出屬性，因只要一組鄰邊相等即可。再如“有一角是直角，其他兩個角是銳角的三角形叫做直角三角形”。其中，“其他兩個角是銳角”可由“有一個角是直角推出來”。（4）定義一般不用否定形式某些概念的特有屬性就是缺乏某個屬性例外。如平行線定義。構(gòu)造數(shù)學(xué)定義系統(tǒng)，還要遵循如下準(zhǔn)則：①定義要有序列性；②定義要有穩(wěn)定性和合理性；③定義要具有存在性和唯一性；④定義要具有前后一貫性。四、概念的分類（源于拉丁語classis——種類，facio——劃分）。1、何謂分類(partition)把一個屬概念分為若干個全異種概念的邏輯方法來提示概念的外延以及概念間的各種關(guān)系，這就是分類。（有書上介紹又分為劃分和分類，認(rèn)為分類是劃分的特殊形式，是根據(jù)概念所反映對象的本質(zhì)屬性所進行的劃分。在此，我們不加區(qū)分統(tǒng)稱分類。）按照集合論的術(shù)語，即把事物集合劃分為不相交的子集。分類是系統(tǒng)化方法之一。按集合論的觀點來分析，概念劃分，實質(zhì)上就是按照某種屬性S，把母項的外延集合A，分成若干個滿足下列條件的非空子集A1，A2，…An：概念的分類，要以概念所反映的事物的屬性或特征為標(biāo)準(zhǔn)。同一概念可以用不同的標(biāo)準(zhǔn)進行不同的分類。一般按概念的自然特征來劃分。如：多邊形按邊數(shù)分為三邊形、四邊形、五邊形……例“三角形”的分類以“角的大小”為標(biāo)準(zhǔn)，分類為：以“邊的大小“為標(biāo)準(zhǔn)，分類為：任何分類都包含劃分的母項、子項和根據(jù)三要素。其中：母項——被劃分的概念；子項——劃分所得各概念；根據(jù)——劃分標(biāo)準(zhǔn)。2．分類的基本方法劃分有一次劃分和多次劃分之分?！ひ淮蝿澐质菍Ρ粍澐指拍钪粍澐忠淮?。如：三角形分為銳角△，Rt△,鈍角△三類?！ざ啻蝿澐质前褎澐趾笏玫淖禹椬鳛槟疙?，再進行劃分，直到滿足需要為止。如：（1）二分法：把一個概念分為兩個具有矛盾關(guān)系的種概念的分類方法。即把一個概念的外延中具有某個屬性的對象作為一類，把恰好缺乏這個屬性的對象作為另一類。這就是二分法。例：在科研中，為集中注意概念的某些屬性，采用二分法分類是有好處的。概念一貫地分為兩個相矛盾的種概念，直到不必再分為止。優(yōu)點是規(guī)則易守。例：二分法劃分之實例：平行四邊行（參見李永新本P.113）（2）一般的劃分方法把屬概念，根據(jù)本質(zhì)屬性或特征的不同，分為幾個具有全異關(guān)系的種概念，使得劃分的結(jié)果比較穩(wěn)定?！ぷ⒁鈪^(qū)別分類和分解：分解是把一個事物由整體分成若干部分。分解后的每一部分一般不再具有原來事物的本質(zhì)屬性。因此，不能說某一部分是原事物。例如：樹可分解為樹根、枝、干、葉等。其中任何一部分不再具有樹的本質(zhì)屬性。說“樹葉是樹”是錯誤的。分類則是把一個屬概念分為n個全異（不相容）種概念，即把一類事物分為n個小類。分類后的每一個小類仍具有原事物的本質(zhì)屬性。例如把對數(shù)分為首數(shù)和尾數(shù)，這是分解，而不是分類。首數(shù)是對數(shù)的一部分，它不具有對數(shù)的本質(zhì)屬性；由對數(shù)可唯一確定真數(shù)，但只由首數(shù)卻不能確定真數(shù)，不能說“首數(shù)是對數(shù)”。同理，分?jǐn)?shù)分為分子和分母；把函數(shù)分為自變量，對應(yīng)關(guān)系等，都不是分類，而是分解。3、分類的規(guī)則（基本要求）（1）分類應(yīng)當(dāng)是相稱的——分類的主要標(biāo)準(zhǔn)。即要求分類：不遺漏，不重復(fù)（包含二重含義：子項互不相容，子項窮盡母項）。分類所得的各個全異的種概念的外延的總和，應(yīng)等于被分類概念的外延。這樣，被分類概念的每一個對象都應(yīng)落到一個且僅一個種概念內(nèi)。即劃分后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一個子項。在對數(shù)學(xué)概念分類時“種概念外延總和小于被分類概念的外延”。（即分類不全）的錯誤比較多。例如：實數(shù)分為正實數(shù)、負(fù)實數(shù)（缺少{0}）產(chǎn)生錯誤的原因之一，就是只對一些比較主要的種概念重點進行了研究，其余的沒有專門的名稱，更沒有對它進行專門的研究。因此，分類時容易把這部分遺漏。再如把平行四邊形和三角形分為：這種分類是不相稱的。因為正方形也是菱形，等邊三角形也是等腰三角形。同一對象可能落到兩類內(nèi)，而且漏掉了不等邊的平行四邊形。（2）分類要用同一個確定的根據(jù)——按同一標(biāo)準(zhǔn)進行一個概念的一次分類應(yīng)自始至終按同一標(biāo)準(zhǔn)進行。否則易引起混亂，導(dǎo)致分類錯誤。不能達到準(zhǔn)確揭示外延的目的。例如“三角形”分成五類。其中不等邊△，等邊△與銳角△都有相容關(guān)系，違反（1）Note：違反了（2），就違反（1）。如果想按兩個標(biāo)準(zhǔn)對一個概念進行分類，可先按一個標(biāo)準(zhǔn)對這個概念進行分類，得到若干種概念。然后，再對每個種概念按另一個標(biāo)準(zhǔn)分類。例如對“三角形”，先按角的大小分類，再繼續(xù)按邊的大小分類，則可化劃分為七類：按按角分按邊分銳角△直角△鈍角△不等邊△底邊與腰不等的等腰△等邊△（3）分類一般不應(yīng)當(dāng)越級，即要求把屬概念分為最鄰近的種概念。（即以鄰近的種概念作為子項）例如實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)。但把實數(shù)分為：就越級了。越級分類可把概念的系統(tǒng)搞亂。4、分類在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從定義概念、證明定理、解答問題到總結(jié)系統(tǒng)復(fù)習(xí)，各個環(huán)節(jié)都用到分類這一邏輯方法，另外，分類思想也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育中重要的思想方法。（1）定義概念中的分類（2）證明定理、推導(dǎo)公式中的分類（3）解答問題，討論問題中的分類（4）總結(jié)復(fù)習(xí)中的分類五、教學(xué)概念數(shù)學(xué)的基本要求及其教法探討(一)概念教學(xué)的基本要求1、概念教學(xué)的重要性可概括為，概念不清，寸步難行。概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。2、概念教學(xué)基本要求掌握概念的內(nèi)涵與處延，及其表達式（包括定義、名詞、符號）和有關(guān)概念間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)知識體系中不斷加深擴大認(rèn)識，使之成為系統(tǒng)的知識，并用來解決數(shù)學(xué)問題。即要求：理解、記憶、系統(tǒng)、會用。（1）在體系中掌握概念（同化與順序?qū)W習(xí)）（2）概念引入（從需要/類比/縱向橫向比較/復(fù)習(xí)舊課引入）（3）概念的形成（這是學(xué)生掌握概念的典型方式，概念的形成過程實際上是思維過程）例立幾中如何建立“直線和平面垂直”的概念，具體通過：（曹本P.280）10提出比較對象20明確課題（引入）30觀察、歸納、猜想40進一步揭露矛盾50對比、排除非本質(zhì)屬性60再由實際啟發(fā)—實驗、比較70進一步分析80得出結(jié)論經(jīng)過這八個步驟，完成了“直線和平面垂直”概念的引