第五講一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學(xué)課外活動中，在各種數(shù)學(xué)比賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題向來是個熱門，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知知趣聯(lián)合，波及面廣，解法靈巧，綜合性強，備受矚目，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有：從求根下手，求出根的有理表達式，利用整除求解；從鑒別式手，運用鑒別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)△=k2)，經(jīng)過窮舉，迫近求解；從韋達定理下手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，獲得對于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；從更改主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時，可考慮以參數(shù)為主元求解．注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既波及方程的解法、鑒別式、韋達定理等與方程有關(guān)的知識，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識親密有關(guān)．【例題求解】【例1】若對于x的方程(6k)(9)x2(11715)x540的解都是整數(shù)，則切合條件的kk整數(shù)是的值有個．思路點撥用因式分解法可獲得根的簡單表達式，因方程的種類未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情況議論，這樣確立是的值才能全面而正確．注：系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，依據(jù)問題的題設(shè)條件，看能否要分類議論．【例2】已知a、b為質(zhì)數(shù)且是方程x213xc0的根，那么ba的值是( )abA．127B．125C．123D．12122222222思路點撥由韋達定理a、b的關(guān)系式，聯(lián)合整數(shù)性質(zhì)求出a、b、c的值．【例3】試確立全部有理數(shù)r，使得對于x的方程rx2(r2)xr10有根且只有整數(shù)1根．思路點撥因為方程的種類未確立，因此應(yīng)分類議論．當(dāng)r0時，由根與系數(shù)關(guān)系獲得對于r的兩個等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根．【例4】當(dāng)m為整數(shù)時，對于x的方程(2m1)x2(2m1)x10能否有有理根?假如有，求出m的值；假如沒有，請說明原因．思路點撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完整平方數(shù)．設(shè)△=(2m1)24(2m1)4m24m5(2m1)24n2(n為整數(shù))解不定方程，議論m的存在性．注：一元二次方程ax2bxc0(a≠0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△=b24ac為完整平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件．【例5】若對于x的方程ax22(a3)x(a13)思路點撥因根的表示式復(fù)雜，從韋達定理得出的因a的次數(shù)低于x的次數(shù)，故可將原方程變形為對于

0起碼有一個整數(shù)根，求非負整數(shù)a的值．a(chǎn)的兩個關(guān)系式中消去a也較困難，又的一次方程．2學(xué)歷訓(xùn)練1．已知對于x的方程(a1)x22xa10的根都是整數(shù)，那么切合條件的整數(shù)a有．2．已知方程x21999xm0有兩個質(zhì)數(shù)解，則m＝．3．給出四個命題：①整系數(shù)方程ax2bxc0(a≠0)中，若△為一個完整平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程ax2bxc0(a≠0)中，若方程有有理數(shù)根，則△為完整平方數(shù)；③無理數(shù)系數(shù)方程ax2bxc0(a≠0)的根只好是無理數(shù)；④若a、b、c均為奇數(shù)，則方程ax2bxc0沒有有理數(shù)根，此中真命題是．4．已知對于x的一元二次方程x2(2a1)xa20(a為整數(shù))的兩個實數(shù)根是x1、x2，則x1x2=．5．設(shè)rn為整數(shù)，且4<m<40，方程x22(2m3)x421480有兩個整數(shù)根，求mmm的值及方程的根．(山西省比賽題)6．已知方程ax2(3a28)2a213150(a≠0)起碼有一個整數(shù)根，求a的值．a(chǎn)xa7．求使對于x的方程kx2(k1)xk10的根都是整數(shù)的k值．8．當(dāng)n為正整數(shù)時，對于x的方程2x28nx10xn235n760的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程．9．設(shè)對于x的二次方程(k26k8)x2(2k264)xk24的兩根都是整數(shù)，試求知足k條件的全部實數(shù)k的值．10．試求全部這樣的正整數(shù)a，使得方程ax22(2a1)x4(a3)0起碼有一個整數(shù)解．11．已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程x22pxp25p10的兩根都是整數(shù)，求出p的全部可能值．12．已知方程x2bxc0及x2cxb0分別各有兩個整數(shù)根x1、x2及x1、x2，且x1x2>0，x1x2>0．(1)求證：x1<0,x2<0，x1<0,x2<0；(2)求證：b1cb1；(3)求b、c全部可能的值．13