二重積分計算中積分限的確定摘要:二重積分計算中積分限的確定對于初學者是一個重點更是一個難點.本文旨在介紹一種二重積分計算中確定積分限的簡單易行的方法.關(guān)鍵詞:二重積分累次積分積分限積分次序引言：高等數(shù)學學習過程中，二重積分計算是個難點。原因在于將二重積分化為累次積分時，對于積分限的確定學生難以掌握。本人結(jié)合自己的教學過程和自己的學習體會總結(jié)出一個口訣，發(fā)現(xiàn)在教學過程中效果不錯可以很好的幫助學生解決這一難題。1．高等數(shù)學中計算二重積分的方法在高等數(shù)學課本中,在直角坐標系下計算二重積分的步驟為:[1]。(1)畫出積分區(qū)域⑵確定積分區(qū)域是否為X-型或Y浬區(qū)域，如既不是X-型也不是Y浬區(qū)域，則要將積分區(qū)域化成幾個X-型和Y浬區(qū)域，并用不等式組表示每個X-型和Y型區(qū)域.用公式化二重積分為累次積分.計算累次積分的值.在教學的過程中我發(fā)現(xiàn)學生對于此種方法掌握的很不好，尤其是在第二步中，確定積分區(qū)域從而確定累次積分的積分限是一個薄弱環(huán)節(jié).下面就本人在教學中的體會談?wù)勗谶@方面的一點心得.教學過程中總結(jié)的方法本人的心得可用下面的口訣概括:后積先定限，限內(nèi)畫條線，先交下限取，后交上限見?下面簡單解釋一下該口訣,然后以具體的例題加以說明?在將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的時候?qū)τ趦蓚€積分變量必然會有個先后順序，這就要求對后積分的那個變量我們要根據(jù)積分區(qū)域確定其上下限(所謂確定是指根據(jù)積分區(qū)域圖將其上下限定為常數(shù))?確定了這個變量的上下限以后，我們在其上下限內(nèi)畫一條和上下限平行的直線,該直線沿著坐標軸的正方向畫過來，這樣該直線如果和積分區(qū)域總是有兩個交點，先交的即為另一個積分變量的積分下限，后交的即為其積分上限.例題解析例1計算Dxydxdy，其中D是由直線x=2,y=1，y=x所圍成的區(qū)域.D解:作出積分區(qū)域D的圖形

在這個例題中我們既可以選擇先對X積分也可以選擇先對y積分.若我們選擇先對x積分，那么根據(jù)口訣需要先把后積分的變量y的積分限根據(jù)積分區(qū)域先定下來.從積分區(qū)域圖可以看出y最小取到1最大取到2.然后我們在y的限y二1和y二2內(nèi)畫一條和這兩條直線平行的直線，易見這條線只要畫在y二1和y二2內(nèi)，則其左邊總是和直線X=y相交，從而x的積分下限即為y,而右邊總是和直線X二2相交,從而x的積分上限為2?這樣就完成了二重積分到累次積分的轉(zhuǎn)化:1yJJxydxdy=J2ydyJ2xdx=1yJ21若我們選擇先對y積分也是可以的。先把后積分的變量x的積分限根據(jù)積分區(qū)域確定下來。從積分區(qū)域圖易見x最小取到1最大取到2。然后在x二1和x二2內(nèi)畫一條和這兩條直線平行的直線，只要這條線畫在x二1和x二2內(nèi)，則其下邊總是和y二1J21JJxydxdyx1ydy二J2x4x2二11交，而上面總是y二x相交。從而yJJxydxdyx1ydy二J2x4x2二11例2計算xydxdy，其中D是由拋物線y2二x和直線y二x-2所圍成的區(qū)域。D解首先作出積分區(qū)域圖xy=x-2xy=x-2在本題中若我們選擇先對x積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖和上面介紹的口訣可以知道該二重積分化為二次積分為：JJxydxdy=J2JJxydxdy=J2ydyJy+2xdx=-1 y2D1J2[y(y+2)2-12-y5]dy=558z=x在本題中若我們選擇先對y積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖我們先把x的上下限定下來,由圖可見x最小取到0最大取到4。但在x二0和x二4這兩條直線之間畫和他們平行的直線的時候發(fā)現(xiàn)在x二1這條直線的左右兩側(cè)情況有所不同:在x二1的左側(cè)所畫直線上下均與拋物線y2二x相交，而右側(cè)所畫直線下面是與直線y二x-2相交上面是與拋物線相交。從而本題若選擇先對y后對x積分則需要將積分區(qū)域從直線x二1處分割成兩半來處理：JJxydxdy=J1xdxJ1ydy+J4xdxJxydy0 —x 1 x-2顯然這樣計算起來要比上一種方法復雜的多！故當積分區(qū)域?qū)龠@種情況時一般來講

我們會選擇先對x后對y積分。還有的情況恰與這種情況相反，那么我們?yōu)榱撕啽阍诒绢}中若我們?nèi)匀贿x擇先對x積分，則根據(jù)積分區(qū)域圖易知：積分變量y的最小取到0最大取到4。但是在y=0和y=4這兩條直線之間畫平行于它們的直線的時候起見一般會選擇先對y起見一般會選擇先對y后對x積分。比如:會發(fā)現(xiàn)在直線y二1的上下兩側(cè)所畫直線與區(qū)域圖的交點所在的曲線有所不同:在直線y二1的下側(cè)，所畫直線左右兩端均與拋物線相交。在直線y二1的上側(cè)，所畫直線左端與直線相交右端與拋物線相交。于是二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分進行計算時要將積分區(qū)域沿直線y二1分割成兩塊來處理：xydxd■y下面我們選擇先對y積分看是否可以起到簡化計算的效果：從積分區(qū)域圖可以看到積分變量x最小取到-1最大取到2,在直線x二-1和x二2之間畫平行于它們的直線時易見該直線上端總是與直線y二x+2相交下端總是與拋物線y=x2相交，從而二重積分化為累次積分如下：JJxydxdy二J2xdxjx+2ydy二—J2(x3+4x2+4x—x5)dx二——1—1x2 2-1 214—1例4：計算“x2e-y2dxdy，其中D是由直線x=0,y=1及y=x所圍成的區(qū)域。D解先畫出積分區(qū)域圖y=ly=xy=ly=x若我們選擇先對x積分，根據(jù)積分區(qū)域圖，積分變量y最小取到0最大取到1,在直線y=0和y=1之間畫平行于他們的直線，該直線左端總是與直線x二0相交右端總是與直線x二y相交，從而二重積分化為累次積分為:JJx2e-y2dxdy=J*1e-y2dyJyx2dx=1J*1y3e-y2dy=—-—0 0 30 63eD本題中若我們選擇先對y積分，則有：JJx2e-y2dxdy」1x2dxJ1e-y2dy0xD由于e-y2的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表出，因此我們無法求出二重積分的值！綜上所述，對于初學者在將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分時，應(yīng)該依積分區(qū)域和被積函數(shù)的具體情況選擇積分的先后順序，方能達到簡化計算的目的。參考文獻：【1】杜先能孫國正。高等數(shù)學［M］。安徽大學出版社，2004【2】華東師范大學數(shù)學系。數(shù)學分析［M］。高等教育出版社，2004Theintegrallimit'sascertainingindoubleintegral'scalculation(zhaojuanchenhao)(DepartmentofMathematics,SuzhouCollege,Suzhou,Abstract:Thatdualaccumulatepointscalculatesascertainrestrictedtoisthatapriorityalsoisadifficultpoinarticleaimatas