第1頁共3頁源于課本的線性規(guī)劃問題拓展廣州市第六中學(xué)楊剛一教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容：本節(jié)課是高一的一節(jié)新授課。內(nèi)容由兩部分組成：（1）人教版普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)·必修五（以下簡稱“教科書”）104頁中的習(xí)題5和91頁第1題（2）；（2）教科書104頁中的習(xí)題5的拓展。2.內(nèi)容解析：我們將教科書中的原題與高考題放在一起進行比較，就可以看出一些“高考題源于課本而又高于課本”。要破解這些高考題，首先應(yīng)當(dāng)再次認真研究教科書中的問題。二教學(xué)目標與目標解析1.目標：（1）.了解線性規(guī)劃的實際意義,能夠熟練操作圖形計算器準確畫出可行域。（2）.體會線性規(guī)劃中數(shù)形結(jié)合的基本思想，從目標函數(shù)的幾何意義尋找突破口，并能借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題。（3）.在解題（尤其是高考題）時能聯(lián)想到教科書中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)模型（代數(shù)的和幾何的），將所要求解的新問題看作是曾經(jīng)解決過的舊問題的拓展，克服面對新題、難題時的恐慌心理。2.目標解析：線性規(guī)劃作為一種重要的工具，常常用來解決1.線性目標函數(shù)的最值問題；2.非線性目標函數(shù)的最值問題（距離和斜率問題）；3.已知目標函數(shù)的最值問題求參數(shù)問題；這三類問題也是高考考察的重點，因此本節(jié)課中的例題、習(xí)題及所附目標檢測習(xí)題中多次考察到了這些知識點。另一方面，學(xué)生在解答線性規(guī)劃問題時，由于不熟悉目標函數(shù)所具有的幾何意義，覺得題題都是“新”問題，有恐慌心理。因而，幫助學(xué)生克服面對新題、難題時的恐慌心理也是本節(jié)課的教學(xué)試圖達到的目標之一。三教學(xué)問題診斷分析部分學(xué)生在學(xué)習(xí)了很多知識，做了很多題后，仍然覺得知識是散亂的。部分學(xué)生在考試時經(jīng)常會頭腦中一片空白，無法聯(lián)想到曾經(jīng)做過的類似問題。這主要是由于學(xué)生缺乏系統(tǒng)的整理和思考。事實上，許多數(shù)學(xué)問題之間存在深刻的內(nèi)在聯(lián)系，如果能將這些問題組成一個“群”，組織學(xué)生研究這個“群”內(nèi)的問題的共同特點，達到做幾題，通一類的效果，則數(shù)學(xué)教學(xué)就可以跳出題海，事半而功倍了。本節(jié)課主要是在掌握線性規(guī)劃的一般解法，熟悉其步驟的基礎(chǔ)上，掌握解決線性規(guī)劃問題的思想方法——數(shù)形結(jié)合思想，分析目標函數(shù)的幾何意義，建立模型，進而使問題解決．四教學(xué)支持條件本節(jié)課首先需要研究動態(tài)的圖形(主要是直線和圓)移動問題，紙筆無法完美地呈現(xiàn)這個動態(tài)的過程；其次還需要進行較復(fù)雜的代數(shù)演算（求交點問題），過于復(fù)雜的紙筆演算使學(xué)生深陷其中，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)模型及整節(jié)課的宏觀理解。因而學(xué)生每人一臺TIN-spireCAS圖形計算器是完成本節(jié)課的教學(xué)目標的重要支持條件。五教學(xué)過程設(shè)計例1．（教科書第104頁習(xí)題5改編）1.已知（1）求的最大值、最小值；（2）求的最大值、最小值；（3）求的最大值、最小值。圖1圖2解：（1）如圖1作出由不等式組確定的可行域，作出目標函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最小值2；②當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最大值13；（2）如圖2作出目標函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)圓與直線相切時，有最小值（即為原點到該直線距離的平方）②當(dāng)圓經(jīng)過點時，有最大值13；即；。（3）如圖3作出目標函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最小值0；②當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最大值2.圖3解題后反思：（1）目標函數(shù)的最優(yōu)解一定在邊界頂點的位置取得嗎？（2）目標函數(shù)具有怎樣的幾何意義？（3）用圖形計算器求解時一般步驟是怎樣？答：（1）不一定，例如問題（2）中目標函數(shù)取得最小值是當(dāng)圓與直線相切的時候，此時最優(yōu)解不是在邊界的頂點而是在邊界上。（2）問題（1）中的目標函數(shù)為，變形可得，于是，把求的最值問題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點時，直線在軸上的截距的最值問題；問題（2）中的目標函數(shù)為，求目標函數(shù)的最值問題可以看成是可行域中的點到原點連線距離的平方的最值問題；（或者將目標函數(shù)變形成，求目標函數(shù)的最值問題可以看成以原點為圓心，為半徑的圓與可行域有公共點時半徑平方的最值問題（實質(zhì)就是半徑的最值問題））；問題（3）中目標函數(shù)為，求目標函數(shù)的最值問題可以看成是可行域中的點到點連線的斜率的最值問題（或者將目標函數(shù)變形成，求目標函數(shù)的最值問題可以看成直線與可行域有公共點時，斜率的最值問題）；（3）一般步驟：1.畫：借助圖形計算器，根據(jù)約束條件迅速畫出可行域（可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)無限大的平面區(qū)域）；2.移：運用數(shù)形結(jié)合的思想，移動目標函數(shù)，根據(jù)其幾何意義找出最優(yōu)解；3.求：求出圖形的交點也即最優(yōu)解，近而求出目標函數(shù)的最大值或者最小值；4.答：寫出答案。練習(xí)一：（教科書第91頁第1題（2）改編）1.若滿足約束條件（1）求的最大值、最小值；（2）求的最大值、最小值；圖4圖5解：（1）如圖4作出目標函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓與直線相切時，有最小值（即為點到該直線距離的平方）；②當(dāng)圓經(jīng)過點和時，有最大值13；即；。（2）如圖5作出目標函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①在直線移動過程中發(fā)現(xiàn)沒有最大值也沒有最小值；但是當(dāng)經(jīng)過點時值為；當(dāng)經(jīng)過點時值為；即解題后反思：目標函數(shù)的最優(yōu)解一定唯一嗎？答：（1）不一定，例如練習(xí)1（1）中目標函數(shù)取得最大值是當(dāng)圓經(jīng)過點和時，此時最優(yōu)解有兩個并不唯一。拓展一：1.若滿足約束條件且的最小值是2，求的值。圖6解：如圖6作出由不等式組確定的可行域，取作出直線：，觀察TI-NspireCAS圖形計算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最小值2，滿足題意，此時的值為3；練習(xí)2.若滿足約束條件且的最大值是13，求的值。圖7解：如圖7作出由不等式組確定的可行域，取作出直線：，觀察TI-NspireCAS圖形計算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最大值13，滿足題意，此時的值為1；解題后反思：（1）練習(xí)2中的直線與拓展1中的直線的移動方式有什么區(qū)別，有這種區(qū)別的本質(zhì)是什么？答：（1）直線的移動是一種旋轉(zhuǎn)變動，而直線的移動是一種平移變動，原因是在直線中參數(shù)會影響到直線斜率的變動近而影響到直線傾斜角的變化，所以直線會旋轉(zhuǎn)變動，而在直線中，只會影響直線的截距不會影響直線的斜率，所以直線會平移變動。六目標檢測設(shè)計題組一（教師可根據(jù)學(xué)生的情況選擇本題組中的1－2題，要求學(xué)生必做）：1、已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（）A．B．C． D．2、如果點在平面區(qū)域上，點在曲線上，那么的最小值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】A已知實數(shù)x,y滿足且z＝2x＋4y的最小值為－6，則常數(shù)k等于【答案】D題組二（本題組中2題要求學(xué)生必做）：4、（2010北京理數(shù)）（7）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是（A）(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,)【答案】A5、（2010浙