擺列組合典型例題典型例題一1用0到9這10個(gè)數(shù)字．可構(gòu)成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解法1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上能夠從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來(lái)擺列，故有個(gè)；當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來(lái)排，按乘法原理有（個(gè)）．∴沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個(gè)．典型例題二2三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排1）假如女生一定全排在一同，可有多少種不一樣的排法？2）假如女生一定全分開(kāi)，可有多少種不一樣的排法？3）假如兩頭都不可以排女生，可有多少種不一樣的排法？（4）假如兩頭不可以都排女生，可有多少種不一樣的排法？擺列組合典型例題解：（1）（捆綁法）因?yàn)槿齻€(gè)女生一定排在一同，所以能夠先把她們當(dāng)作一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一同共有六個(gè)元素，然成一排有種不一樣排法．對(duì)于此中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有對(duì)種不一樣的排法，所以共有種不一樣的排法．2）（插空法）要保證女生全分開(kāi)，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔．這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)地點(diǎn)，共有六個(gè)地點(diǎn)，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)地點(diǎn)中，只需保證每個(gè)地點(diǎn)至多插入一個(gè)女生，就能保證隨意兩個(gè)女生都不相鄰．因?yàn)槲鍌€(gè)男生排成一排有種不一樣排法，對(duì)于此中隨意一種排法，從上述六個(gè)地點(diǎn)中選出三個(gè)來(lái)讓三個(gè)女生插入都有種方法，所以共有種不一樣的排法．3）解法1：（地點(diǎn)剖析法）因?yàn)閮深^不可以排女生，所以兩頭只好精選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不一樣的排法，對(duì)于此中的隨意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不一樣的排法．（4）解法1：因?yàn)橹恍枨髢深^不都排女生，所以假如首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不一樣的排法；假如首位排女生，有種排法，這時(shí)末位就只好排男生，有種排法，首末兩頭隨意排定一種狀況后，其余6位都有種不一樣的排法，這樣可有種不一樣排法．所以共有種不一樣的排法．解法2：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中扣去兩頭都是女生排法種，就能獲得兩頭不都是女生的排法種數(shù)．?dāng)[列組合典型例題所以共有種不一樣的排法．典型例題三3排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔擺列的方法有多少種？解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩頭共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：＝43200.（2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩頭共有5個(gè)空位，恰巧供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔擺列的排法有：＝2880種方法。典型例題四4某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，假如第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不一樣的排課程表的方法．剖析與解法1：6六門課總的排法是，此中不切合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，擺列組合典型例題如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包含體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中Ⅲ，這類狀況有種排法，所以切合條件的排法應(yīng)是：（種）．典型例題五5現(xiàn)有輛公交車、位司機(jī)和位售票員，每輛車上需配位司機(jī)和位售票員．問(wèn)車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？剖析：能夠把輛車當(dāng)作排了次序的三個(gè)空：，而后把名司機(jī)和名售票員分別填入．所以可以為事件分兩步達(dá)成，每一步都是一個(gè)擺列問(wèn)題．解：分兩步達(dá)成．第一步，把名司機(jī)安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法．故搭配方案共有種．典型例題六6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表．假如有所要點(diǎn)院校，每所院校有個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇．若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒(méi)有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒(méi)有重復(fù)的話，你將有多少種不一樣的填表方法？擺列組合典型例題學(xué)校專業(yè)112212312解：填表過(guò)程可分兩步．第一步，確立填報(bào)學(xué)校及其次序，則在所學(xué)校中選出所并加擺列，共有種不一樣的排法；第二步，從每所院校的個(gè)專業(yè)中選出個(gè)專業(yè)并確立其次序，此中又包含三小步，所以總的擺列數(shù)有種．綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不一樣的填表方法有：種．典型例題七例5名同學(xué)排隊(duì)照相．若分紅兩排照，前排人，后排人，有多少種不一樣的排法？若排成兩排照，前排人，后排人，但此中甲一定在前排，乙一定在后排，有多少種不一樣的排法？若排成一排照，甲、乙、丙三人一定相鄰，有多少種不一樣的排法？若排成一排照，人中出名男生，名女生，女生不可以相鄰，有多少種不面的排法？解：(1)種．?dāng)[列組合典型例題第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個(gè)地點(diǎn)上，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，切合要求的排法共有種．第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余個(gè)元素排成一排，即當(dāng)作個(gè)元素的全擺列問(wèn)題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全擺列，有種排法．由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種排法．第一步，名男生全擺列，有種排法；第二步，女生插空，馬上名女生插入名男生之間的個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，xx有種插入方法．由分步計(jì)數(shù)原理得，切合條件的排法共有：種．典型例題八8從五個(gè)數(shù)字中每次拿出三個(gè)不一樣的數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和．解：形如的數(shù)共有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是．這樣在所有三位數(shù)的和xx，由“”產(chǎn)生的和是．同原因產(chǎn)生的和分別是，，，，所以所有三位數(shù)的和是．典型例題九例9計(jì)算以下各題：擺列組合典型例題(1)；(2)；(3)；(4)(5)解：(1)；(2);原式；原式；∵，∴．此題計(jì)算中靈巧地用到以下各式：；；；使問(wèn)題解得簡(jiǎn)單、快捷．典型例題十10六人排一列縱隊(duì)，限制要排在的前面（與能夠相鄰，也能夠不相鄰），求共有幾種排法．對(duì)這個(gè)題目，、、、四位同學(xué)各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；的算式是．上邊四個(gè)算式能否正確，正確的加以解說(shuō)，不正確的說(shuō)明原因．?dāng)[列組合典型例題解：中很明顯，“在前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)量與“在前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)量相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)量應(yīng)是這兩者數(shù)量之和．這表示：的算式正確．中把六人排隊(duì)這件事區(qū)分為占位，占位，其余四人占位這樣三個(gè)階段，而后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)占有第一個(gè)地點(diǎn)時(shí)，占位方法數(shù)是；當(dāng)占有第2個(gè)地點(diǎn)時(shí)，占位的方法數(shù)是；；當(dāng)占有第5個(gè)地點(diǎn)時(shí)，占位的方法數(shù)是，當(dāng)，占位后，再排其余四人，他們有種排法，可見(jiàn)的算式是正確的．中可理解為從6個(gè)地點(diǎn)中選4個(gè)地點(diǎn)讓占有，這時(shí)，剩下的兩個(gè)地點(diǎn)依前后次序應(yīng)是的．所以的算式也正確．中把6個(gè)地點(diǎn)先圈定兩個(gè)地點(diǎn)的方法數(shù)，這兩個(gè)地點(diǎn)讓占有，明顯，占有這兩個(gè)圈定的地點(diǎn)的方法只有一種（要在的前面），這時(shí)，再排其余四人，又有種排法，可見(jiàn)的算式是對(duì)的．說(shuō)明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí)的解法．典型例題十一11八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限制甲一定坐在前排，乙、丙一定坐在同一排，共有多少種安排方法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類狀況．應(yīng)該使用加法擺列組合典型例題原理，在每類狀況下，區(qū)分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其余五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有以下算法：(種)．解法2：采納“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”當(dāng)作“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)量是．在這類前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個(gè)數(shù)量是．此中第一個(gè)因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的方法數(shù)，表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)則表示乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，就是其余五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)．說(shuō)明：解法2可在學(xué)完組合后回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí)．典型例題十二12計(jì)劃在某畫廊展出10幅不一樣的畫，此中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行xx，要求同一品種的畫一定連在一同，并且不彩畫不放在兩頭，那么不一樣xx方式有（）．A．B．C．D．?dāng)[列組合典型例題解：將同一品種的畫“捆”在一同，注意到水彩畫不放在兩頭，共有種擺列．但4幅油畫、5幅國(guó)畫自己還有擺列次序要求．所以共有種xx方式．∴應(yīng)選D．說(shuō)明：對(duì)于“若干個(gè)元素相鄰”的擺列問(wèn)題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一同，看作一個(gè)大元素，與其余的元素進(jìn)行全擺列；而后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全擺列．本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來(lái)解答的問(wèn)題．典型例題十三13由數(shù)字構(gòu)成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，此中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）．A．210B．300C．464D．600解法1：（直接法）：分別用作十萬(wàn)位的擺列數(shù)，共有種，所以此中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個(gè)．解法2：（間接法）：取個(gè)數(shù)字?jǐn)[列有，而作為十萬(wàn)位的擺列有，所以此中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個(gè))．?dāng)[列組合典型例題∴應(yīng)選B．說(shuō)明：(1)直接法、間接法是解決相關(guān)擺列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問(wèn)題而定，有的問(wèn)題假如使用直接法解決比較困難或許比較麻煩，這時(shí)應(yīng)試慮可否用間接法來(lái)解．“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”擁有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)同樣多，即各占所有六位數(shù)的一半，同類問(wèn)題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲一定站在乙的左邊，共有多少種排法．典型例題十四14用，這五個(gè)數(shù)字，構(gòu)成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，此中偶數(shù)共有（）．A．24個(gè)B．30個(gè)C．40個(gè)D．60個(gè)剖析：此題是帶有附帶條件的擺列問(wèn)題，能夠有多種思慮方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用此題所供給的選擇項(xiàng)剖析判斷．解法1：分類計(jì)算．將切合條件的偶數(shù)分為兩類．一類是2作個(gè)位數(shù)，共有個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有個(gè)．所以切合條件的偶數(shù)共有個(gè)．?dāng)[列組合典型例題解法2：分步計(jì)算．先排個(gè)位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個(gè)．解法3：按概率算．用這個(gè)數(shù)字能夠構(gòu)成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，此中偶點(diǎn)此中的．所以三位偶數(shù)共有個(gè)．解法4：利用選擇項(xiàng)判斷．用這個(gè)數(shù)字能夠構(gòu)成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)．此中偶數(shù)少于奇數(shù)，所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所供給的答案中，只有切合條件．∴應(yīng)選．典型例題十五15(1)計(jì)算．求()的個(gè)位數(shù)字．剖析：此題假如直接用擺列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們能夠從和式中項(xiàng)的特色以及擺列數(shù)公式的特色雙方面考慮．在擺列組合典型例題中，xx抽象為，(2)中，項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個(gè)位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮．解：(1)由∴原式．當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)為0，()的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字同樣．而，∴的個(gè)位數(shù)字為3．說(shuō)明：對(duì)擺列數(shù)公式特色的剖析是我們解決此類問(wèn)題的要點(diǎn)，比方：求證：，我們第一可抓等式右側(cè)的，∴左邊右側(cè)．典型例題十六16用共六個(gè)數(shù)字，構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)能夠構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)能夠構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？擺列組合典型例題剖析：位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不可以是，因?yàn)閭€(gè)位用或許不用數(shù)字，對(duì)確立首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用或許用進(jìn)行分類．一個(gè)自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，此題能夠先確立用哪三個(gè)數(shù)字，而后進(jìn)行擺列，但要注意就用與不用數(shù)字進(jìn)行分類．解：(1)就個(gè)位用仍是用分紅兩類，個(gè)位用，其余兩位從中任取兩數(shù)擺列，共有(個(gè))，個(gè)位用或，再確立首位，最后確立十位，共有(個(gè))，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個(gè))．從中拿出和為的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有以下取法：、、、、、、、，前四組中有，后四組中沒(méi)有，用它們排成三位數(shù)，假如用前組，共有(個(gè))，假如用后四組，共有(個(gè))，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個(gè))．典型例題十七17一條長(zhǎng)椅上有個(gè)座位，人坐，要求個(gè)空位中，有個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？剖析：對(duì)于空位，我們能夠當(dāng)作特別元素對(duì)待，設(shè)空座梯形挨次編號(hào)為．先選定兩個(gè)空位，能夠在號(hào)位，也能夠在號(hào)位共有六種可能，再安排另一空位，此時(shí)需看到，假如空位在號(hào)，則另一空位能夠在號(hào)位，有種可能，相鄰空位在號(hào)位，亦這樣．假如相鄰空位在號(hào)位，另一空位能夠在號(hào)位，只有種可能，相鄰空位在號(hào)，號(hào)，號(hào)亦這樣，擺列組合典型例題所以一定就兩相鄰空位的地點(diǎn)進(jìn)行分類．此題的另一考慮是，對(duì)于兩相鄰空位能夠用歸并法當(dāng)作一個(gè)元素與另一空位插入已坐人的個(gè)座位之間，用插空法辦理它們的不相鄰．解答一：