《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(韓旭里)課后習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案

習(xí)題一

I.略.見教材習(xí)題參考答案.

2.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，試用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：

(1)A發(fā)生，B,C都不發(fā)生；

(2)A與B發(fā)生，C不發(fā)生；

(3)A,B,C都發(fā)生；

(4)A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生；

(5)A,B,C都不發(fā)生；

(6)A,B,C不都發(fā)生；

(7)A,B,C至多有2個(gè)發(fā)生；

(8)A,B,C至少有2個(gè)發(fā)生

【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC

(4)AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUABCU

(6)ABC

(7)ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC=AUBUC

(8)ABUBCUCA=ABCUABCUABCUABC

略.見教材習(xí)題參考答案

4.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(A)，求P(AB)

【解】P(AB)(AB)

5.設(shè)A,B是兩事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求：

(1)在什么條件下P(AB)取到最大值？

(2)在什么條件下P(AB)取到最小值？

【解】(1)當(dāng)AB=A時(shí)，P(AB)取到最大值為06

(2)當(dāng)AUB=C時(shí)，P(AB)取到最小值為0.3.

6.設(shè)A,B,C為三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,

(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.

【解】P(AUBUC)

4

從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概

率是多少？

【解】p=C5332

13C13C13C13/C13

52

對一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：

(1)求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；(2)求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率;

(3)求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.

【解】(1)設(shè)Al=｛五個(gè)人的生日都在星期日｝,基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個(gè)，

故

P(A1)=115=()(亦可用獨(dú)立性求解，下同)757

(2)設(shè)A2=｛五個(gè)人生日都不在星期日｝,有利事件數(shù)為65,故

6565P(A2)=5=()77(3)設(shè)A3=｛五個(gè)人的生日不都在星期日｝

P(A3)

略.見教材習(xí)題參考答案.

10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件(n<N).試求其中恰有m件

(m<M)正品(記為A)的概率.如果：

(1)n件是同時(shí)取出的；

(2)n件是無放回逐件取出的；

(3)n件是有放回逐件取出的

【解】⑴P(A)=Cm

n(2)由于是無放回逐件取出，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有PN種，n次抽取中有m次為

正品的組合數(shù)為Cm

n種.對于固定的一種正品與次品的抽取

次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有PM種，從件次品中取件的

排列數(shù)為種，故

(A)=nPN

由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成

3

(A)=nCN

可以看出，用第二種方法簡便得多.

(3)由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次

抽取中有m次為正品的組合數(shù)為Cm

n種，對于固定的一種正、

次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，次取得次品，

每次都有種取法，共有()種取法，故

此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為M,則取得m

件正品的概率為N

略.見教材習(xí)題參考答案.

只怫釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上，其中有3個(gè)鉀釘強(qiáng)度太弱.每個(gè)部件用3只

翎釘.若將3只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件

強(qiáng)度就太弱.求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

【解】設(shè)人=｛發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱｝

一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè),

計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.

【解】設(shè)Ai=｛恰有i個(gè)白球｝(i=2,3),顯然A2與A3互斥.

4

故

35

有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7,在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：

(1)兩粒都發(fā)芽的概率；

(2)至少有一粒發(fā)芽的概率；

(3)恰有一粒發(fā)芽的概率.

【解】設(shè)Ai=｛第i批種子中的一粒發(fā)芽｝,(i=l,2)

擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.

(1)問正好在第6次停止的概率；

(2)問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.

【解】(1)p2121315C11131

4()()

甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動員，投籃命中率分別為0.7及0.6,每人各投了3次，求二人進(jìn)

球數(shù)相等的概率.

【解】設(shè)Ai=｛甲進(jìn)i球｝,i=0,l,2,3,Bi=｛乙進(jìn)i球｝,i=0,l,2,3,則

P(3

C222

=0.32076

5

17.從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.

【解】

5C2CC2C2213

1021

某地某天下雪的概率為0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1,求：

(1)在下雨條件下下雪的概率；(2)這天下雨或下雪的概率.

【解】設(shè)人=｛下雨｝,B=｛下雪｝.

(1)

（2）

已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男

為女是等可能的）.

【解】設(shè)人=｛其中一個(gè)為女孩｝,B=｛至少有一個(gè)男孩｝,樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8,故

7

或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.

7

已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人

是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.

【解】設(shè)人=｛此人是男人｝,B=｛此人是色盲｝,則由貝葉斯公式

6

21

兩人約定上午9：00~10:00在公園會面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率

題21圖題22圖

【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0Wx,yW60.事件“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于

如圖陰影部分所示.

302

從（0,1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求:

7

6的概率；5

1(2)兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.4(1)兩個(gè)數(shù)之和小于

【解】設(shè)兩數(shù)為x,y,則

(1)x+y<6.5

144

0.68125

1(2)xy=<.4

設(shè)P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(BIAUB)

【解】

在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，

比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次

取出的3個(gè)球均為新球的概率.

【解】設(shè)Ai=｛第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球｝,i=0,l,2,3.B=｛第二次取出的3球均為

新球｝

由全概率公式，有

8

2321C3C3C1C8C9C6C3C3C3

25.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的

學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努

力學(xué)習(xí)的，試問：

(1)考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？

(2)考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？

【解】設(shè)人=｛被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的｝,則人=｛被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的｝.由題意知P

(A)=0.8,P(A)=0.2,又設(shè)B=｛被調(diào)查學(xué)生考試及格｝.由題

意知P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.9,故由貝葉斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)(1)(A)P(BA)

即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%

即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.

9

26.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02,

而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2:

1.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少？

【解】設(shè)人=｛原發(fā)信息是A｝,則=｛原發(fā)信息是B｝

C=｛收到信息是A｝,則=｛收到信息是B｝

由貝葉斯公式，得

在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求?/p>

子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的顏色只有

黑、白兩種)

【解】設(shè)Ai=｛箱中原有i個(gè)白球｝個(gè)=0,1,2),由題設(shè)條件知P(Ai)=l,i=0,l,2.又設(shè)B=｛抽

出一球?yàn)榘浊颍?由貝葉斯公式知3

某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概

率為0.02,一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05,求在被檢

查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.

【解】設(shè)人=｛產(chǎn)品確為合格品｝,B=｛產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品｝

由貝葉斯公式得

10

某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，"冒失的''.統(tǒng)計(jì)資料表明，上

述三種人在一年設(shè)A=｛該客戶是“謹(jǐn)慎的”｝,B=｛該客戶是“一般的”｝,

C=｛該客戶是“冒失的”｝,D=｛該客戶在一年內(nèi)出了事故｝

則由貝葉斯公式得

加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為

0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件

的次品率.

【解】設(shè)Ai=｛第i道工序出次品)(i=l,2,3,4).

設(shè)每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的

概率不小于0.9?

【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.

11

即為

故n>ll

至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.

證明：若P(AIB)=P(A|B),則A,B相互獨(dú)立.

【證】P(A|B)即

亦即

因此

故A與B相互獨(dú)立.

三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為

【解】設(shè)Ai=｛第i人能破譯｝(i=l,2,3),則111,,,求將此密碼破譯出的概率.534

甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.405,0.7,若只有一

人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被

擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.

【解】設(shè)人=｛飛機(jī)被擊落｝,Bi=｛恰有i人擊中飛機(jī)｝,i=0,l,2,3

12

由全概率公式，得

(A|Bi)P(Bi)

=(0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7)0.2+

(0.4x0.5x0.3+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7)0.6+0.4x0.5x0.7

=0.458

已知某種疾病患者的痊愈率為25%,為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服

用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，

反之則認(rèn)為無效，求：

(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%,但通過試驗(yàn)被否定的概率.

(2)新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.

【解】(1)

k

一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概

率：

(1)A="某指定的一層有兩位乘客離開”；

(2)B="沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；

(3)C="恰有兩位乘客在同一層離開”；

(4)D="至少有兩位乘客在同一層離開”.

【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.

24C69(1),也可由6重貝努里模型：610

13

(2)6個(gè)人在十層中任意六層離開，故

2(3)由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有C1

10種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有C6種離開方式.其余4人中不能

31再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個(gè)人在同一層

離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有C1

9C4C8種可

4能結(jié)果；②4人同時(shí)離開，有C1

9種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開，有P9種可能結(jié)果，故

(4)D=B.故

37.n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：

(1)甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；

(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

(3)如果n個(gè)人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.

【解】⑴

14

將線段［0,a］任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率

【解】設(shè)這三段長分別為則基本事件集為由

所核！點(diǎn)的圖相.有利事件集為由

構(gòu)成的圖形，即

如圖陰影部分所示，故所求概率為

4.

39.某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_(抽樣是無放回的).

證明試開k次(k=l,2??n)才能把門打開的概率與k無關(guān).

【證】

nn

15

40.把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出

一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率P(Ai)(i=0,l,2,3)

【解】設(shè)Ai=｛小立方體有i面涂有顏色｝,i=0,l,2,3.

在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方

體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上(除去八個(gè)角外)

的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12x8=96個(gè).同理，原立方體的六個(gè)面上

(除去棱)的小立方體是一面涂色的，共有8x8x6=384個(gè).其余(8+96+384)=512

個(gè)

將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概率.

【解】設(shè)Ai=｛杯中球的最大個(gè)數(shù)為i｝,i=l,2,3.

將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)

杯中最多放一球，故

P(AC33!3

而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3,即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故

16

因此

或P(AC121

4C3C3

將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A=｛正面次數(shù)多于反面次數(shù)),B=｛正面次數(shù)少于反面次

數(shù)｝,C=｛正面次數(shù)等于反面次數(shù)｝,A,B,C兩兩互斥.

可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P(A)=P(B).所以

C)

2

由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為

2n(2)(2)

故

2n22n]

擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【解】設(shè)A=｛出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)｝,B=｛出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)),由對稱性

知P(A)=P(B)

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)不會相等.由P(A)+P(B)=1得P(A)=P(B)=0.5

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知

In

21

設(shè)甲擲均勻硬幣n+l次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.

17

【解】令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).

乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).

顯然有

(甲正>乙正)=(甲正M乙正)=(甲反乙反)

=(甲反21+乙反)=(甲反>乙反)

由對稱性知P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反)

因此P(甲1

正>乙正)=2

證明“確定的原則”(S)：若P(A|C)NP(B|C),P(A|C)NP(B|C),則P(A)ZP(B).

【證】由P(A|C)>P(B|C),<

P(AC)P

P(C),

即有

同理由

得

故

47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(kNn)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂設(shè)

Ai=｛第i節(jié)車廂是空的｝,(i=l??n)，則

n

其中是1,2,,,,n中的任個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是

n

n)

故所求概率為

19

48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為￡>O.試證明：不論￡>O如何小，只要不

斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會出現(xiàn)的概率為

【證】

在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為

49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一

只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的

概率是多少？

【解】設(shè)A=｛投擲硬幣r次都得到國徽｝

B=｛這只硬幣為正品｝

由題知

則由貝葉斯公式知

50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次

用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一

盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰

有r根的概率又有多少？

20

【解】以Bl、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空,

另一盒恰剩r根，說明已取了次，設(shè)n次取自B1盒（已2

空），次取自B2盒，第次拿起B(yǎng)1,發(fā)現(xiàn)已空。把取次火柴視作

重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為

式中2反映B1與B2盒的對稱性（即也可以是B2盒先取空）.

（2）前次取火柴，有次取自B1盒，次取自B2盒，第次取自

B1盒，故概率為

求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.

【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由

npq

以上兩式相減得所求概率為

若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得

pin

52.設(shè)A,B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)}的值.21

【解】因?yàn)?AUB)n(AUB)=ABUAB(AUB)n(AUB)=ABUAB

所求

故所求值為0.

53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A,B和C滿足條件：

,P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且P(AUBUC)=9/16,求P(A).

【解】由

16故

4或311

4,按題設(shè)P(A)<2,故P(A)=4.

54.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)

生A不發(fā)生的概率相等，求P(A).

【解】

9①

故

故P③

22

由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有

故

故即P(A)=1324或(舍去)332.3

55.隨機(jī)地向半圓為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率

與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于n

Ea2.陰影部分面積為2

的概率為多少？【解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為

故所求概率為

設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合

格品，求另一件也是不合格品的概率.

23

【解】設(shè)人=｛兩件中至少有一件是不合格品｝,B=｛另一件也是不合格品｝

C2

4

-2C10

57.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3

份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩

份

(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；

(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.

【解】設(shè)Ai=｛報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生｝,i=l,2,3.

Bj=｛第j次取出的是女生表｝,j=l,2.

貝

而

24

3(3

2

故

90

58.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(B)>0,P(A|B)=l,試比較P(AUB)與P(A)的大小.(2006

研考)

解：因?yàn)?/p>

所以

25

習(xí)題二

1.一袋中有5只乒乓球，編號為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3

只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.

【解】

5

5

4

5

26

2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣,

以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：(1)X的分布律：

(2)X的分布函數(shù)并作圖；(3)

2

【解】

1322

12

C3

(2)當(dāng)x<O時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=0

當(dāng)0<x<l時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)=

2235

當(dāng)1至<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=l)=

3435

27

當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=1

故X的分布函數(shù)

⑶

35

3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的

分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.

【解】

設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0,1,2,3.

28

3

故X的分布律為

分布函數(shù)

4.（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

k!,

其中k=0,1,2,九＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.

（2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=a/N,k=l,2,N,

試確定常數(shù)a.

29

【解】（1）由分布律的性質(zhì)知

故

（2）由分布律的性質(zhì)知

NN

即

5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求:

（1）兩人投中次數(shù)相等的概率；

（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率.

【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)

30.6(0.4)C30.7(0.3)+

C222233

30.7(0.

2322(0.6)3Cl

=0.243

6.設(shè)某機(jī)場每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)

各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降

落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？

【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,0.02),設(shè)機(jī)場需配備N條跑道,

則有

即

利用泊松近似

查表得NN9.故機(jī)場至少應(yīng)配備9條跑道.

7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為

0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利

用泊松定理)？

31

【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b(1000,0.0001)

8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.

【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則

C1

故

3

所以

5()42

243.

9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號,

(1)進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號的概率；

(2)進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號的概率.

【解】(1)設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則*~6(5,0.3)

5

(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b(7,0.3)

7

10.某公安局在長度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松

分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)).

(1)求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率；

32

(2)求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.

【解】⑴

2

11.設(shè)

分別為隨機(jī)變量X,Y的概率分布，如果已知P{X*}=5

9,試求P{YN1}.

【解】因?yàn)?/p>

9,故

9.

而

故得

9,

即

3.

從而

12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001,試求在這2000冊書

中恰有5冊錯(cuò)誤的概率.

【解】令X為2000冊書中錯(cuò)誤的冊數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算，

得

33

13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為

【解】，失敗的概率為?以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出

X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.44

14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡

的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)

費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：

(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率；

(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”為單位來考慮.

(1)在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500x12=30000元.

設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則X~b(2500,0.002),則所求概率為

由于n很大，p很小，X=np=5,故用泊松近似，有

34

(2)P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)

即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上

P(保險(xiǎn)公司獲利不少于20000)

5

即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為

15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

求：⑴A值;(2)P{O<X<l};(3)F(x).

【解】(1)由

得

故

(3)當(dāng)x<O時(shí),

2ex

35

當(dāng)x>0時(shí),

02edx

2e

故

16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為

求：(1)在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率;

(2)在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；

(3)F(x).

【解】

(1)

(3)當(dāng)x<100時(shí)F(x)=0

當(dāng)x>100時(shí)

36

故

17.在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在[0,]

中任意小區(qū)間由題意知X~U[0,a],密度函數(shù)為

其他

故當(dāng)x<0時(shí)F(x)=0

當(dāng)0<x<a時(shí)

當(dāng)x>a時(shí),F(x)=1

即分布函數(shù)

18.設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的觀

測值大于3的概率.

37

【解】X~U[2,5],即

他

故所求概率為

2320222

119.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布E().某顧客在窗

口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，5

以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{YN1}.

【解】依題意知X~E(),即其密度函數(shù)為

該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為

即其分布律為

38

20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X

服從N(40,102)；第二條路程較長，但阻塞少，所需時(shí)間X服

從N(50,42).

(1)若動身時(shí)離火車開車只有1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？

(2)又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？

【解】(1)若走第一條路，X-N(40,102),則

若走第二條路，X-N(50,42),則

故走第二條路乘上火車的把握大些.

(2)若X~N(40,102),則

若X~N(50,42),則

39

故走第一條路乘上火車的把握大些.

21.設(shè)X~N(3,22),

(1)求P{2<XS5},,P{IXI>2},P{X>3};

(2)確定c使P{X>c}=P{XWc}.

【解】⑴

40

(2)c=3

22.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)X~N(10.05,0.062),規(guī)定長度在10.05+0.12

24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為

(1)求常數(shù)A,B；

(2)求P{XW2},P{X>3}；

(3)求分布密度f(x).

41

【解】(1)由

得

(2)

25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

f(x)

求X的分布函數(shù)F(x),并畫出f(x)及F(x).

【解】當(dāng)x<O時(shí)F(x)=0

當(dāng)0<x<l時(shí)

當(dāng)l<x<2時(shí)

其他.42

當(dāng)x》2時(shí)

故

26.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

(1)

其他.

試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).

【解】(1)由

43

故

2

即密度函數(shù)為

當(dāng)xWO時(shí)

當(dāng)x>O時(shí)

故其分布函數(shù)

(2)由

得b=l即X的密度

函數(shù)為

44

其他

當(dāng)爛0時(shí)F(x)=0

當(dāng)0<x<l時(shí)

02

當(dāng)l<x<2方寸

x

當(dāng)立2時(shí)F(x)=1

故其分布函數(shù)為

27.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)，

(1)，求

45

(2)，求，

【解】⑴

即即故

(2)由得即7查表得

由得即查表得

求Y=X的分布律.

【解】Y可取的值為0,1,4,9

5

30

5

30

29.設(shè)P{X=k}=(2)k,k=l,2”“令

當(dāng)X取偶數(shù)時(shí)

當(dāng)X取奇數(shù)時(shí).

求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.

【解】

3

30.設(shè)X~N(0,1).

(1)求丫=6*的概率密度；

(2)求Y=2X2+1的概率密度；

(3)求Y=|Xl的概率密度.

【解】(1)當(dāng)先0時(shí)，

當(dāng)y>O時(shí)

故

fdFY(y)

當(dāng)y<l時(shí)當(dāng)y>l時(shí)

故

fd

當(dāng)y<0時(shí)F當(dāng)y>O時(shí)

故fd

y)

31.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,1),試求：49

(1)Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；

(2)的分布函數(shù)及密度函數(shù).

【解】⑴

故當(dāng)時(shí)FY(當(dāng)l<y<e時(shí)

當(dāng)y>e時(shí)FX

即分布函數(shù)

故Y的密度函數(shù)為

(2)由P(0<X<l)=1知

其他

當(dāng)z<0時(shí)，當(dāng)z>0時(shí)，

2)

即分布函數(shù)

故Z的密度函數(shù)為

32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

試求Y=sinX的密度函數(shù).

【解】

當(dāng)y<0時(shí)

-e-

其他.51

當(dāng)0<y<l時(shí)，F(xiàn)

兀2arcsiny)-7t27r-arcsiny)

narcsiny

當(dāng)y>l時(shí)，

故Y的密度函數(shù)為

Y(

其他

33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下:

1

試填上⑴，⑵，⑶項(xiàng).

【解】由知②填1。

52

知，故①為0。由右連續(xù)性

從而③亦為0。即

34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.

【解】設(shè)Ai=｛第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)｝。(i=l,2),P(A1

i)=6.且Al與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C=｛每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)｝。則

故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為11

36的幾何分布。

35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?

【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則

X-b(n,O.l)

即

得n>22

即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。

36.已知

53

(x)

2.

則F(x)是()隨機(jī)變量的分布函數(shù).

(A)連續(xù)型；(B)離散型；

(C)非連續(xù)亦非離散型.

【解】因?yàn)镕(x)在()上單調(diào)不減右連續(xù)，且

所以F(x)是一個(gè)分布函數(shù)。

但是F(x)在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變

量的分布函數(shù)。選(C)

37.設(shè)在區(qū)間［a,b］上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx,而在［a,b］外，f(x)=O,則區(qū)間［a,b］

等于()

(A)［0,;t/2］;(B)［0,7i］;

2K］.

【解】在［0,兀

2］上sinx>0,且

故f(x)是密度函數(shù)。

在［0㈤上

故f(x)不是密度函數(shù)。在

2,0］±,故f(x)不是密度函數(shù)。

54

在［0,3

2兀］上，當(dāng)

2兀時(shí)，sinx<0,f（x）也不是密度函數(shù)。

故選（A）。

38.設(shè)隨機(jī)變量X~N（0,。2）,問：當(dāng)◎取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1,3）的概率最大?

【解】因?yàn)?/p>

令

利用微積分中求極值的方法，有

令0

得

ln3,則

又

故

故當(dāng)落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大.

55

39.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P(X),每個(gè)顧客購買某種物

品的概率為P，并且各個(gè)顧客是否購買該種物品相互獨(dú)立，求

進(jìn)入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律

【解】Pin!,

設(shè)購買某種物品的人數(shù)為Y,在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p),即

由全概率公式有

k

k!

P)

k!ee

此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為入的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分

布，但參數(shù)改變?yōu)槿雙.

40.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：在區(qū)間(0,1)上服從均

勻分布.

56

【證】X的密度函數(shù)為

由于P(X>0)=1,故，即P(0<Y<l)=1當(dāng)y4)時(shí)，F(xiàn)Y(y)

=0

當(dāng)心1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1

當(dāng)時(shí)，

即Y的密度函數(shù)為

即Y-U(0,1)

41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

若k使得P{X>k}=2/3,求k的取值范圍其他

其他研考)57

【解】由P(X>k)=2

3知P(X<k)=1

3

若k<0,P(X<k)=0

若

當(dāng)k=l時(shí)P(X<k)=1

3

若l<k<3時(shí)P(X<k)

若3<kW6,則P(X<k)

若k>6,則P(X<k)=1

故只有當(dāng)l<k<3時(shí)滿足P(X>k)=2

3.

42.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

求X的概率分布.(1991研考)

43.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,

求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.58

【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P(A)=p，則

X~b(3,p)

由P(X>1)=19

27知P(X=0)=(1)3=8

27

故p=l

3

44.若隨機(jī)變量X在(1,6)上服從均勻分布，則方程y2+Xy+l=0有實(shí)根的概率是多少？

【解】

其他

5

45.若隨機(jī)變量X~N(2,<J2),且P{2<X<4}=0.3,則

P{X【解】

故

因此

59

46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)

調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.

現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(nN2)臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立).求

(1)全部能出廠的概率a；

(2)其中恰好有兩臺不能出廠的概率供

(3)其中至少有兩臺不能出廠的概率e.

【解】設(shè)人=｛需進(jìn)一步調(diào)試｝,B=｛儀器能出廠｝，則

A=｛能直接出廠｝,AB=｛經(jīng)調(diào)試后能出廠｝

由題意知B=AUAB,且

令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則*~6(n,0.94),

故

06)2n(0.94)

47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?/p>

72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在

60分至84分之間的概率.

【解】設(shè)X為考生的外語成績，則X~N(72,。2)

60

故

查表知

從而X-N(72,122)

48.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的

概率分別為0.1,0.001和0.2(假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N

(220,252)).試求：

(1)該電子元件損壞的概率a;

(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率p

【解】設(shè)Al=｛電壓不超過200V｝,A2=｛電壓在200~240V｝,

A3=｛電壓超過240V｝,B=｛元件損壞｝。

由X-N(220,252)知

由全概率公式有

由貝葉斯公式有

49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).

【解】

其他

因?yàn)镻(l<X<2)=1,故P(e2<Y<e4)=1

當(dāng)y<e2時(shí)FY(y)=P(Y<y)=O.

62

當(dāng)e2<y<e4時(shí)，

21ny)

21ny

當(dāng)y>e4時(shí)，

即

故

其他

50.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y).

【解】P(Y>1)=1

當(dāng)yWl時(shí)，研考)63

當(dāng)y>l時(shí)，

即

故

2,y>l

51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

求的密度函數(shù)fY(y).

【解】

Y)

64

故

52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間

即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為X的指數(shù)分布。

(2)

53.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對值不大于1,,P{X=l}=l/4.在事件

出現(xiàn)的條件下，X在，1}(1997研考)

【解】顯然當(dāng)時(shí)F(x)=O；而瘧1時(shí)F(x)=l由題知

848

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)

65

8

當(dāng)時(shí)，

8

故X的分布函數(shù)

54.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N(gl,G12),Y服從正態(tài)分布N(M，G22),且

P{|X-n1|<1}>P{|Y-P2|<1},試比較61與o2的大小.研考)

解：依題意

,貝?。?

因?yàn)椋?/p>

(200666

所以有11

,即

習(xí)題三

1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)

與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.

【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：

67

2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的

只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.

【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：

3.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

F（x,y）

其他.

求二維隨機(jī)變量（X,Y）在長方形域

內(nèi)的概率.

68

【解】如圖公式(3.2)463

說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。

4.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度

求：(1)常數(shù)A；

(2)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù);

(3)P{O<X<l,0<Y<2}.

題3圖f(x,y)其他.69

【解】(1)由

(2)由定義，有

其他

5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

f(x,y)

其他.

(1)確定常數(shù)k；

(2)求P{X<1,Y<3}；

(3)求P{X<L5}；

(4)求P{X+Y04}.

【解】(1)由性質(zhì)有

70

故

(2)

如圖a

如圖

3.

題5圖

6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0,0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)

為

f）

Y（y

其他.

71

求：（1）X與Y的聯(lián)合分布密度；（2）P{Y<X

）.

題6圖

（1）因X在（0,0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為

其他

而

其他.

所以

f（x,y）XY,獨(dú)立）

且

其他.

72【解】

如圖

0.2x0.2

=e-

7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

F（x,y）

其他.

求（X,Y）的聯(lián)合分布密度.【解】f（

其他

8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

f（x,y）

其他.

求邊緣概率密度.

【解】

其他.

73

9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

求邊緣概率密度.

【解】

其他.

其他

題8圖f(x,y)

題9圖其他.74

其他

題10圖

10.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

f(x,y)

其他

(1)試確定常數(shù)c；

(2)求邊緣概率密度.

【解】⑴

如圖

得

4.

75

其他.

其他.

11.設(shè)