力學(xué)量與算符第一頁，共二十頁，2022年，8月28日第二章中，求的平均值時，引入了算符概念：將這一概念推廣，得量子力學(xué)的第四個基本假定：

*任一力學(xué)量A，對應(yīng)于一力學(xué)量算符即，那么：量子力學(xué)中算符的一般定義是什么？算符之間如何運(yùn)算？與力學(xué)量A對應(yīng)的算符與數(shù)學(xué)上的一般算符有何異同？的本征值問題？如何隨時間變化？An如何隨中參數(shù)變化？

這就是本章將要解答的問題！

第二頁，共二十頁，2022年，8月28日4.1力學(xué)量算符的定義及運(yùn)算一，定義：對任意波函數(shù)，

=

算符的定義與波函數(shù)是分不開的，若無特別說明，算符對它后面的波函數(shù)都起作用。二，算法運(yùn)算：

1，加減

a，結(jié)合律

b，交換律

2，乘

note:不一定等于第三頁，共二十頁，2022年，8月28日3，對易關(guān)系4,逆算符：若，則5，除：6，算符函數(shù)：第四頁，共二十頁，2022年，8月28日三.算符的厄米共軛運(yùn)算與厄米算符1，內(nèi)積2，算符的復(fù)共軛運(yùn)算：在某一表象下，求算符的共軛算符。如：3，定義算符的轉(zhuǎn)置算符，滿足*厄米共軛運(yùn)算：第五頁，共二十頁，2022年，8月28日4，算符的厄米共軛運(yùn)算定義：若則性質(zhì)：5，厄米算符：若，則稱為厄米算符第六頁，共二十頁，2022年，8月28日4.2厄米算符的性質(zhì)厄米算符的平均值為實數(shù)厄米算符的本征波函數(shù)具有正交性厄米算符的本征函數(shù)是完備的兩個厄米算符有共同本征波函數(shù)完備集的充分必要條件是：二者對易。第七頁，共二十頁，2022年，8月28日4.3力學(xué)量與力學(xué)量算符及平均值量子力學(xué)第三個基本假定：力學(xué)量和力學(xué)量算符任一力學(xué)量都對應(yīng)于一個力學(xué)量算符；且是厄米算符，；力學(xué)量算符的本征值就是力學(xué)量F允許的取值；當(dāng)且僅當(dāng)粒子處在本征態(tài)時，粒子的力學(xué)量有確定值，i.e.相應(yīng)的本征值。第八頁，共二十頁，2022年，8月28日量子力學(xué)第四個基本假定：力學(xué)量的平均值量子力學(xué)中所說的力學(xué)量算符的本征波函數(shù)是完備的，i.e.任一波函數(shù)均可用此本征波函數(shù)展開；展開系數(shù)模平方是粒子處在該本征態(tài)的幾率；力學(xué)量在ψ態(tài)的平均值是：第九頁，共二十頁，2022年，8月28日4.4常見力學(xué)量算符的本征值和常見力學(xué)量算符：坐標(biāo)：，任意且連續(xù)歸一化：

第十頁，共二十頁，2022年，8月28日二，動量正交歸一：經(jīng)驗：當(dāng)本征值取連續(xù)值時，本征波函數(shù)要?dú)w一化為δ函數(shù)三，軌道角動量角動量算符及其對易關(guān)系第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日

可證：有共同的本征波函數(shù)完備集

第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日2.球坐標(biāo)系下，軌道角動量算符的表達(dá)式特點、只與有關(guān)，與r無關(guān)可求或或的共同本征波函數(shù)完備集。第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日3.球坐標(biāo)下求解的共同本征波函數(shù)完備集在球坐標(biāo)下有：利用自然邊界條件：和是同一點得將其帶入方程并作參數(shù)變換，變形后對比Legendre方程可得：其中為球諧函數(shù)，為連帶Legendre多項式第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日球諧函數(shù)的性質(zhì)：正交歸一性；宇稱確定；完備性；遞推性。升降算符定義：厄米共軛：對易關(guān)系：對于球諧函數(shù)有：第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日4.5不確定關(guān)系引入：兩算符有共同本征波函數(shù)完備集的充分必要條件是：當(dāng)粒子處于算符本征態(tài)時，有確定值，當(dāng)粒子處于算符本征態(tài)時，有確定值，因此，當(dāng)時，、可同時有確定值那么，當(dāng)時，兩者是否可同時有確定值？計算可知：此式稱為測不準(zhǔn)關(guān)系或不確定關(guān)系。第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日測不準(zhǔn)關(guān)系的理解測不準(zhǔn)關(guān)系表示不論粒子處于什么狀態(tài)，在任一時刻測量到的粒子力學(xué)量A與B的幾率分布寬度ΔA與ΔB之間，存在一定的關(guān)系。若與不對易，一般不為零，這時測不準(zhǔn)關(guān)系表示乘積ΔA與ΔB一定大于或等于某一個正數(shù)。這表明ΔA與ΔB不能同時為零，粒子波函數(shù)不可能同時是與的本征函數(shù)，粒子不可能同時處于與的本征態(tài)上。第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日4.7力學(xué)量平均值隨時間的變化，守恒量在由歸一化波函數(shù)描寫的態(tài)中，力學(xué)量F的平均值一般為時間t的函數(shù)，上式對t微商，得利用薛定諤方程及其復(fù)共軛方程，結(jié)合是厄米算符的特點，得如果不含t，且與對易，則，不隨時間變化，可見，力學(xué)量算符不含t，且與對易的條件下，無論粒子處于何態(tài)，該力學(xué)量的平均值均不隨時間變化，該力學(xué)量稱為守恒量。第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日討論在某一力場中力學(xué)量F守恒，并不表示力學(xué)量F一定去確定值fn。它僅表示無論粒子處于此力場的哪一個態(tài)上，力學(xué)量F的平均值均不隨時間變化。如果t=0時粒子的F=fn，即粒子處于的本征值為fn的本征態(tài)上，則任何時候該粒子的F都是fn，即粒子永遠(yuǎn)處于的本征值為fn的本征態(tài)上；反之亦然。第十九頁，共二十頁，2022年，8月28日4.7維里定理與F-H定理維里定理維里定理包含以下兩個內(nèi)容：當(dāng)粒子處于勢場V(r)中的束縛定態(tài)ψ