全日制高考沖刺講義【數(shù)列一、考綱解內(nèi)要水解釋性理解探究性理解五掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；會(huì)解決簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列主要指一階線性遞推數(shù)義掌握數(shù)列極限的四則運(yùn)算會(huì)求無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和會(huì)用數(shù)列知識(shí)解決簡(jiǎn)掌握數(shù)學(xué)歸納法的一整數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單命題和整歸納—猜測(cè)—論證”具有一定的演繹推理二、知識(shí)梳1、等差數(shù)列{an}中，通項(xiàng)

dnb，前n

dn2cn（d為公差nN）.證明某數(shù)2是等差（比）數(shù)列，通常利用等差（比）數(shù)列的定義加以證明，即證an1an是常數(shù)(nN(an1

常數(shù)，nN)，也可以證明連續(xù)三項(xiàng)成等差（）即對(duì)于任意的自n有：

（

an11】f(x2x1(x2，xR，數(shù)列a

a(a2，aR)x f(a)(nN 若數(shù)列an是常數(shù)列，求a的值 當(dāng)a2時(shí)，記ban1(nN*)，證明數(shù)列b是等比數(shù)列，并求出通 a

n2、在等差數(shù)列{anmnpq(mn,pqNamanapaq；在等比數(shù)列{an中，mnpq(mn,pqNamanapaq，等差（比）數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條質(zhì)1】數(shù)列{ana4a7512a3a8124，且公比q為整數(shù)，則a10的值為【例2】在等比數(shù)列an中，an0，且a1a2a7a816，則a4a5的最小值 3、等差數(shù)列當(dāng)首a10且公差d0，前n項(xiàng)和存在最大值.當(dāng)首項(xiàng)a10且公差d0，前n項(xiàng)存在最小值.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值可以利用不等式an0(

來(lái)確定n的值；也可以利aa

0(等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和是n的二次函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0）轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解1】若{ana10a2006

0,a2006

0，則（1）使前n最大的自然數(shù)n是＿＿（2）使前n項(xiàng)和Sn0的最大自然數(shù)n 2】在等差數(shù)列{an中，滿足3a47a7a10Sn是數(shù)列前n項(xiàng)的和.Sn取得最大值，則n4、數(shù)列

是等比數(shù)nS是關(guān)于q的分

a(1qn

q

，在

,q1中若公比不是具體數(shù)值時(shí)，則要進(jìn)行討論

1【例1】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差數(shù)列，則q 【例2】數(shù)列

a1q1，求lim

S的值S n5、等差數(shù)列、等比數(shù)列的“基本元”是首項(xiàng)、公差（比覺(jué)得不知如何用性質(zhì)求解時(shí)，可以把問(wèn)題化成“基本元”解決【例1】已知數(shù)列a是公差不為0的等差數(shù)列，a3數(shù)列b是等比數(shù)列，且ba b2a3,b3a4，求數(shù)列bn的通 6等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列之間存在的類比關(guān)系實(shí)際上是運(yùn)算上的變化，這種變化可以由等差數(shù)列與等比數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)來(lái)揭示an}nogman(m,m){b是等差數(shù)列.反之若數(shù)列{a是等差數(shù)列，記bman(m0)，則數(shù)列是等比數(shù)列 【例1】數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則下列結(jié)論中不正確的是 A、{a2}是等比數(shù) B、1是等比數(shù)a anC、{anan1}是等比數(shù) D、{lgan}是等差數(shù)a 【例2】在共有2009項(xiàng)的等比數(shù)列ana

質(zhì)，在共有2009項(xiàng)的等差數(shù)列bn中，相應(yīng)的有等 7等差數(shù)列ann項(xiàng)

S可以表示為：Spn2qn，pqRp為公差的一 npq為首項(xiàng)。當(dāng)p0時(shí)，它是關(guān)于n的二次式，且不含有常數(shù) nq1

1

1

qn，故可以寫

AAqn的形式，系數(shù)和常數(shù)是相反數(shù)的1】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn（nN，關(guān)于數(shù)列an有下列三個(gè)命題an

(nN)，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列②若Snan2bnabR，則an是等差數(shù)列 ③若S11n，則a是等比數(shù)列．這些命題中，真命題的序 8、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要注意分段

S

n.,n當(dāng)a1滿足anSnSn1,(n2)時(shí)，才能用一 表示

【例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn(a2)n2na，求{an}的通項(xiàng) ；若{an}是等差數(shù)列，求{an}的通項(xiàng).9、求通項(xiàng)的常見(jiàn)方法形如：an1an+f(n)的遞推數(shù)列，求通疊加（消項(xiàng)）法形如：an1g(n)的遞推數(shù)列，求 連乘（約項(xiàng)）法一次線性遞推關(guān)系{an滿足：a1aan1banc,(abc是常數(shù)是最重要的遞推關(guān)系式可以看出當(dāng)b1時(shí)，此數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)c0（b0時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列.解決此遞推的方法是通過(guò)代換（令bnank)化成等比數(shù)列求解.【例1】數(shù)列{an}滿足a11,an3n1an1(n2)，求數(shù)列{an}的通 【例2】已知數(shù)列{an}滿足：a11,an12an1,(nN)，求此數(shù)列的通 10、求和的常見(jiàn)方法錯(cuò)位相減法求和：若{an等差，{bn等比，求a1b1a2b2anbn的和，用錯(cuò)位相減法求和求和時(shí)中間項(xiàng)互相抵消，這種數(shù)列求和的方法就是裂項(xiàng)相消法。1常見(jiàn)拆項(xiàng)

1

1

n(n

n

(2n1)(2n 22n

2n倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)所用的方法就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排（反序再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)1an。 1】C03C15C22 n【例2】已知n

=2n+1，令 (nN*)，求數(shù)列b的前n項(xiàng)和T a2 1題可先研究前后項(xiàng)之間的關(guān)系（即數(shù)列的遞推，然后再求通項(xiàng)增長(zhǎng)25%，但每年底要留出b萬(wàn)元作為金獎(jiǎng)給職工.企業(yè)計(jì)劃用5年時(shí)間使積累翻一番，求b的12、常見(jiàn)的極限要記牢limqn

q|q|

limqn存在與limqn0是不相

|q|1或q

f(ng(n是關(guān)于n的多項(xiàng)式函limf(n)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和：SlimSn

n

1(0|q|11】

an

4n2nan2】

an2bn23n4

1a＿＿＿＿；b1【例3】數(shù)列{a}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S，且limS ，求a的取值范圍1a n a113、理解極限是“無(wú)限運(yùn)動(dòng)的歸宿 【例1已知△ABCA(0nB(0,n),C(4n,0)(nNABCSn，limSn＿＿＿＿＿.2】已知圓Ox2y21nN與圓Cx12y21．設(shè)圓Oy Rn，圓On與圓C在x軸上方的交點(diǎn)為Qn，直線RnQn交x軸于點(diǎn)Pn．當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)Pn無(wú)限趨近于定點(diǎn)P，定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 三提 aanb(a、bR)nSan2bn(a、bR；等anabn(a0，b0n項(xiàng)和Snan(a0)Snabna(a，b0，b 例下列說(shuō)法是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件的 個(gè)①ann②Snn ③ ad(dnN*，n ④若mnpq，則aaaa(m、n、p、q Snann2的條件 例⑴若數(shù)列a的前n項(xiàng)和S滿足lgSn2(nN*)，則 ⑵若數(shù)列a的前n項(xiàng)和S滿足a (n2)，a1，則a

2Sn

若數(shù)列a滿足1

1

…1a2n5，則a 2

22

2n 掌握數(shù)列遞推關(guān)系的幾種常見(jiàn)類型；掌握一般數(shù)列的常見(jiàn)求和、求通項(xiàng)的方法例⑴已知a

32n1

，則a ⑵已知an滿足a12，anan12an12an0，則an ⑶1

…1 在等比數(shù)列求和時(shí)，要分公比q1及q1兩種情況進(jìn)行討論；對(duì)于某些公差未定的等差數(shù)列也需討例⑴1aa2…an ⑵設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，若a0，則limnan

n→∞數(shù)列中的最大、最小項(xiàng)問(wèn)題，可以利用函數(shù)單調(diào)性或前后項(xiàng)之間的大小比較解題 例⑴已知a滿足a2n229n3，則數(shù)列a nn⑵已知a滿足a ，則數(shù)列ann 有關(guān)極限求解問(wèn)題，要注意①qq1且q0②③limqn存在的充要條件是1q1limqn0的充要條件是1q1例⑴在等比數(shù)列alimS1，則a

.a n→∞ a2222…n

111…

ana0，b0，則n→∞an1

1.（201511）lim

3，limb1，則liman3bn n

n

,a3

2,a1

121

an1

nn

...

Sn最大時(shí)，n3.（2015黃浦二模理7文7）．在等差數(shù)列ana83a101am9，則正整數(shù)m 4.（2015靜安青浦寶山二模理13等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為An，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Bn若ab，ab，且A5A37，則a5a3

B

b 5.（2015靜安青浦寶山二模文13）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為An，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Bn若ab，ab，且A5A37，則數(shù)列b的公比q

B

2015閔行二模理6已知等比數(shù)列an滿足a22a31

anan1) a22a 7.（2015閔行二模理10）已知數(shù)列{a}滿足 1(na22a

成立的所有正整數(shù)a1的集合

2015閔行二模文6已知等比數(shù)列an滿足a22a31

lim(aa anan) 9.（2015閔行二模文10）已知數(shù)列{a}滿足 1)2a22a2(nN)，則使 2015成立 正整數(shù)a1的一個(gè)值 10．（2015浦東二模文4理4）已知數(shù)列anSn2n an

2015徐匯松江金山二模文7）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn

S1515

a8的值

a1n22

2n12.（2015910）矩陣

a3n2 a n第i列各 和為S，則lim

nn nn213.（201555）設(shè)

2n1,1n2,n

數(shù)列a的前nS，則limSn n

14.（20158）1

,n3,n

設(shè)第n行的各數(shù)之和為S，則limSn n15（20151把正整數(shù)排列成如圖ab的三角形數(shù)陣，現(xiàn)將圖b數(shù)列an，若ak2015，則k 112342456789579 a b16.（2015長(zhǎng)寧嘉定二模文5理5）設(shè)等差數(shù)列an滿足a511，a123，an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為M，則lgM= a2 17.（2015長(zhǎng)寧嘉定二模文7）已知對(duì)任意nN*，向量d a,n1都是直線yx n an向量，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，則limSn n

13,An, 1

y)2n 2

A(11lim(|OA||

||

|) 1

y)

n 19.（201514）把正整數(shù)排列成如圖甲三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)得到如圖乙的三角形數(shù)陣再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列得到一個(gè)數(shù)列an若an2015，則n n20.（20151314）13.nN*，在坐標(biāo)平面中有斜率為n的直線lx2y2n2n切，且lnyPnx軸于點(diǎn)Qnn

的值 ；21.（2015普陀二模理14）14xRNx表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如N2.53,N

21,N1

，若函數(shù)

fxN3x12x2

的零點(diǎn)分別為xnxii1, ,n，則x1x2xn

2015黃浦二模理7在等差數(shù)列ana83a101，am

整數(shù)m 23（201577、設(shè)數(shù)列a前nSa4

nN*S aan

624（2015虹口二模理9文9若二項(xiàng)式xax256

lim1aa2 3x

二、

201518已知數(shù)列an5a1a2a3a4a50i、j1ij5有aiaj4（1）a50 （2）4a4

（3）數(shù)列an是等差數(shù)列（4）集合Axxaiaj,1ij5中共有9個(gè)元素． A（1（2（3（4） B（1（4） C（2（3） D（1（3（4） a1,m 2.（2015普陀二模理18）已知m,n,i,j均為正整數(shù)，記 為