2022-2023學(xué)年湖北省咸寧市通城縣八年級（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共24分）1．要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠0 C．0＜x＜1 D．x≠﹣12．如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（）A．2 B．4 C．6 D．83．下列運算結(jié)果正確的是（）A．2 B． C．a(chǎn) D．2﹣3＝﹣84．點M（﹣2，1）關(guān)于y軸的對稱點N的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）5．已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是（）A．72° B．85° C．65° D．80°7．若關(guān)于x的方程無解，則m的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．38．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，DE∥AC交AB于點E，若AB＝8，則DE的長度是（）A．6 B．2 C．3 D．4二、填空題（每小題3分，共24分）9．若分式的值為0，則x＝．10．分解因式：x2y﹣4y＝．11．如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠DBE＝42°，則∠AEB＝．12．如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點M，N是射線CD上的一點．若∠B＝64°，∠MDN＝136°，則∠AMB＝．13．若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是．14．若三角形的三邊分別為a、b、c，且分式的值為0，則此三角形一定是．15．如圖∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF＝．16．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線分別交AC，AD于點E，F(xiàn)，M為EF的中點，連接AM并延長交BC于點N，連接DM，下列結(jié)論：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN；④△ADM和△DMN的面積相等．其中正確的結(jié)論是．三、解答題（共72分）17．解方程：（1）；（2）．18．分解因式：（1）5x2+10x+5；（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）．19．先化簡，再求值：（），其中x＝2023．20．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC∥DF，∠B＝∠E，BF＝CE，求證：△ABC≌△DEF．21．如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；（2）在y軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請畫出點P的位置．22．某小區(qū)為了排污，需鋪設(shè)一段全長為720米的排污管道，為減少施工對居民生活的影響，須縮短施工時間，實際施工時每天鋪設(shè)管道的長度是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前2天完成任務(wù)，求原計劃每天鋪設(shè)管道的長度．23．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．24．如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系？并對你的猜想加以證明．25．如圖1，在等邊△ABC的頂點A，C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D，E處．（1）請直接寫出爬行過程中CD和BE的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)蝸牛們分別爬行到線段AB，CA的延長線上的D，E處時，若EB的延長線與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小將會保持不變，猜想∠CQE的度數(shù)并證明你的猜想；（3）如圖3，如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著線段BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，求證：DF＝EF．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共24分）1．要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠0 C．0＜x＜1 D．x≠﹣1【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0列不等式求解即可．解：分式有意義應(yīng)滿足分母不為0，即x﹣1≠0，解得x≠1．故選：A．【點評】本題考查了分式有意義的條件，正確記憶分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．2．如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】已知三角形的兩邊長分別為2和4，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；即可求第三邊長的范圍．解：設(shè)第三邊長為x，則由三角形三邊關(guān)系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．因此，本題的第三邊應(yīng)滿足2＜x＜6，把各項代入不等式符合的即為答案．2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．故選：B．【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系，此題實際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．3．下列運算結(jié)果正確的是（）A．2 B． C．a(chǎn) D．2﹣3＝﹣8【分析】直接利用二次根式的加減運算法則、二次根式的性質(zhì)、同底數(shù)冪的除法運算法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而判斷得出答案．解：A．2+3＝8，故此選項不合題意；B．＝6，故此選項不合題意；C．a(chǎn)2÷a6＝（a≠0），故此選項符合題意；D．2﹣3＝，故此選項不合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算、二次根式的性質(zhì)、同底數(shù)冪的除法運算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．4．點M（﹣2，1）關(guān)于y軸的對稱點N的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．解：點M（﹣2，1）關(guān)于y軸的對稱點N的坐標(biāo)是（2，1）．故選：A．【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．5．已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4cm和2cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．解：①5cm為腰，2cm為底，此時周長為12cm；②5cm為底，2cm為腰，則兩邊和小于第三邊無法構(gòu)成三角形，故舍去．∴其周長是12cm．故選：D．【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況．已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是（）A．72° B．85° C．65° D．80°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠C＝60°，再利用角平分線得出∠DBC＝35°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和得出∠BDC的度數(shù)．解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，∴∠C＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠C＝60°，再利用角平分線得出∠DBC＝35°．7．若關(guān)于x的方程無解，則m的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【分析】方程無解，說明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值．解：∵方程無解，∴x＝4是方程的增根，∴m+1﹣x＝0，∴m＝3．故選：D．【點評】本題主要考查方程的增根問題，計算時要小心，是一道基礎(chǔ)題．8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，DE∥AC交AB于點E，若AB＝8，則DE的長度是（）A．6 B．2 C．3 D．4【分析】分別延長AC、BD交于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BAD＝∠FAD，證明△BAD≌△FAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BE＝ED，EA＝ED，進(jìn)一步計算即可求解．解：分別延長AC、BD交于點F，∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠FAD，∠ADB＝∠ADF＝90°，在△BAD和△FAD中，，∴△BAD≌△FAD（ASA），∴∠ABD＝∠F，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠F，∠EDA＝∠FAD，∴∠ABD＝∠EDB，∠EDA＝∠EAD，∴BE＝ED，EA＝ED，∴BE＝EA＝ED，∴DE＝AB＝×8＝4，故選：D．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）9．若分式的值為0，則x＝2．【分析】分母不為0，分子為0時，分式的值為0．解：根據(jù)題意，x﹣2＝0且2x+1≠0，解得x＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．10．分解因式：x2y﹣4y＝y(tǒng)（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y(tǒng)，然后再利用平方差公式進(jìn)行二次分解．解：x2y﹣4y，＝y(tǒng)（x2﹣4），＝y(tǒng)（x+2）（x﹣2）．故答案為：y（x+2）（x﹣2）．【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式進(jìn)行二次分解因式是解本題的難點，也是關(guān)鍵．11．如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠DBE＝42°，則∠AEB＝132°．【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得AC＝BC，EC＝DC，由∠ACB＝∠DCE＝90°得∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠BCE，即可證明△ACE≌△BCD，得∠CAE＝∠CBD，則∠CAE+∠CBE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE＝42°，所以∠EAB+∠EBA＝45°+45°﹣42°＝48°，則∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝132°，于是得到問題的答案．解：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠BCE，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠CBE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE＝42°，∴∠EAB+∠EBA＝∠CAB+∠CBA﹣（∠CAE+∠CBE）＝45°+45°﹣42°＝48°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°﹣48°＝132°，故答案為：132°．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，證明△ACE≌△BCD是解題的關(guān)鍵．12．如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點M，N是射線CD上的一點．若∠B＝64°，∠MDN＝136°，則∠AMB＝72°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BAM，再由三角形的內(nèi)角和定理可得出∠AMB．解：∵AB∥CD，∴∠A+∠MDN＝180°，∴∠A＝180°﹣∠MDN＝44°，在△ABM中，∠AMB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°．故答案為：72°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及三角形的內(nèi)角和定理．13．若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是15°或75°．【分析】因為三角形的高有三種情況，而直角三角形不合題意，故舍去，所以應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析，從而得到答案．解：當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時，如圖1所示∵CD⊥AB，CD＝AC，∴sin∠A＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°；當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時，如圖2所示，∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠CAB＝150°，∴∠B＝∠ACB＝15°．故其底角為15°或75°．故答案為：15°或75°．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)；在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等腰所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進(jìn)行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關(guān)的邊角問題時，要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯．14．若三角形的三邊分別為a、b、c，且分式的值為0，則此三角形一定是腰與底邊不等的等腰三角形．【分析】根據(jù)“分式的值為0，分子等于0且分母不等于0”進(jìn)行解答．解：依題意得ab﹣ac+bc﹣b2＝0且a﹣c≠0．整理得（b﹣c）（a﹣b）＝0且a≠c，解得b＝c或a＝b且a≠c，故該三角形是腰與底邊不等的等腰三角形，故答案是：腰與底邊不等的等腰三角形．【點評】本題考查了分式的值為零的條件和等腰三角形的判定．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．15．如圖∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF＝60°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，逐步推出∠DEF的度數(shù)．解：∵∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠ACB＝15°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝180°﹣60°＝120°，∵∠ECD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠ECD＝∠CED＝45°∴∠CDE＝180°﹣45°×2＝90°，∵∠EDF＝∠EFD＝180°﹣（∠CDB+∠CDE）＝180°﹣（30°+90°）＝60°，∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣（60°+60°）＝60°．故答案為：60°．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關(guān)鍵．16．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線分別交AC，AD于點E，F(xiàn)，M為EF的中點，連接AM并延長交BC于點N，連接DM，下列結(jié)論：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN；④△ADM和△DMN的面積相等．其中正確的結(jié)論是②③④．【分析】根據(jù)題意可得：AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，即可證AE＝AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM＝MN；即可得結(jié)論．解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∴AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∵BE是平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEB＝67.5°，∠AFD＝67.5°＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEB，∴AF＝AE≠EF，故①不符合題意，∵M(jìn)是EF的中點，AE＝AF，∴AM⊥BE，∠DAM＝∠CAM＝22.5°，∴∠DAN＝∠CBE＝22.5°，∵∠ADB＝∠ADN，AD＝BD，∴△ADN≌△BDF（ASA），∴DF＝DN，故②符合題意，∵AB＝AC，∠ACB＝∠DAB＝45°，∠ABF＝∠CAN＝22.5°，∴△ABF≌△ACN（ASA），∴AF＝CN，∵AE＝AF，∴AE＝CN；故③符合題意，∵∠BAN＝∠BAD+∠DAN＝67.5°，∠BNA＝∠ACB+∠NAC＝67.5°，∴∠BAN＝∠BNA，∴BA＝BN，∵AM⊥BE，∴AM＝MN，∴△AMD和△DMN的面積相等．故④符合題意，故答案為：②③④．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定解決問題是本題的關(guān)鍵．三、解答題（共72分）17．解方程：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟求解即可；（2）根據(jù)解分式方程的步驟求解即可．解：（1）去分母，得3+（x﹣2）＝﹣（x﹣3），解得x＝1，經(jīng)檢驗，x＝1是原方程的根，∴x＝1；（2）去分母，得2（x﹣1）+3（x+1）＝11，解得x＝2，經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的根，∴x＝2．【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵，注意驗根．18．分解因式：（1）5x2+10x+5；（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）先提公因式，再將括號內(nèi)整式化簡即可．解：5x2+10x+5＝5（x2+2x+1）＝5（x+1）2；（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）＝（a+4）（a﹣4+3）＝（a+4）（a﹣1）．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．19．先化簡，再求值：（），其中x＝2023．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．解：原式＝（）×＝×＝，當(dāng)x＝2023時，原式＝．【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．20．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC∥DF，∠B＝∠E，BF＝CE，求證：△ABC≌△DEF．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和ASA證明△ABC≌△DEF即可．【解答】證明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．21．如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)；（2）在y軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請畫出點P的位置．【分析】（1）分別作出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點，再首尾順次連接即可得；（2）作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，再連接A′B，與y軸的交點即為所求．解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，由圖知，A1的坐標(biāo)為（1，﹣1）、B1的坐標(biāo)為（4，﹣2）、C1的坐標(biāo)為（3，﹣4）；（2）如圖所示，點P即為所求．【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱變換的定義和性質(zhì)及利用軸對稱性質(zhì)求最短路徑．22．某小區(qū)為了排污，需鋪設(shè)一段全長為720米的排污管道，為減少施工對居民生活的影響，須縮短施工時間，實際施工時每天鋪設(shè)管道的長度是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前2天完成任務(wù)，求原計劃每天鋪設(shè)管道的長度．【分析】設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道為xm，故實際施工每天鋪設(shè)管道為1.2xm．等量關(guān)系為：原計劃完成的天數(shù)﹣實際完成的天數(shù)＝2，根據(jù)這個關(guān)系列出方程求解即可．解：設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道x米．由題意，得．解得x＝60．經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解．且符合題意．答：原計劃每天鋪設(shè)管道60米．【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學(xué)會分析題意，提高理解能力．期中找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．23．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．【分析】利用已知得出BD的長，進(jìn)而得出PC的長，利用SAS證明△BPD≌△CQP即可．解：△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1s，∴BP＝CQ＝3×1＝3（cm），∵AB＝10cm，點D為AB的中點，∴BD＝5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，∴PC＝8﹣3＝5（cm），∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及動點問題，利用運動路線得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．24．如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系？并對你的猜想加以證明．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB＝∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD＝∠DBC，等量代換得到∠ABD＝∠ADB，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代換得到AC＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，即可得到結(jié)論．解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝