2022-2023學(xué)年黑龍江省佳木斯市富錦市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把給定方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式即可得解.【詳解】由得，此拋物線的焦點，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D2．《張丘建算經(jīng)》卷上第題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織尺布，現(xiàn)一月（按天計）共織尺”，則從第天起每天比前一天多織（

）A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布【答案】D【分析】設(shè)該女子第尺布，前天工織布尺，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，根據(jù)，可求得的值.【詳解】設(shè)該女子第尺布，前天工織布尺，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由題意可得，解得.故選：D.3．已知直線交橢圓于A，B兩點，且線段AB的中點為，則直線的斜率為（

）A．-2 B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)出A，B坐標(biāo)，列出坐標(biāo)所滿足的方程，將兩方程相減得到l的斜率與線段AB中點坐標(biāo)的關(guān)系，由此求解出直線l的斜率.【詳解】設(shè)，，因為A，B都在橢圓上，所以，兩式相減，得，得，又因為線段AB中點坐標(biāo)為，，，所以，故選：D.4．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，轉(zhuǎn)化，即得解【詳解】由，可得可解的，故雙曲線的漸近線方程為，故選：A.5．函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷當(dāng)?shù)姆?，可排除AC，求導(dǎo)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，可排除D，即可得出答案.【詳解】解：由得，，故排除AC，，令，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以函數(shù)在上遞減，故排除D.故選：B.6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】由題可求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可得在恒成立，即求.【詳解】由題意，在恒成立，則，又，∴在恒成立，∴即在恒成立，∴，綜上，或.故選：C.7．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對任意的正數(shù)，下面不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，因為，所以，故，因此在上單調(diào)遞增，所以對于任意的正數(shù)，有，即，即，又因為，所以，結(jié)合選項可知B正確，故選：B8．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定義在上的偶函數(shù)，說明奇函數(shù)，若時，，可得為增函數(shù)，若，為增函數(shù)，根據(jù)，求出不等式的解集；【詳解】解：∵是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，∴為增函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∵，若，，所以；若，，在上為增函數(shù)，可得，綜上得，不等式的解集是.故選：C.二、多選題9．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則逐項運算排除可得答案.【詳解】對于A，，故錯誤；對于B，，故正確；對于C，，故正確；對于D，，故錯誤.故選：BC.10．已知雙曲線的漸近線方程為，則（

）A．虛軸長是實軸長的2倍B．離心率是或C．過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長是虛軸長的2倍D．焦點到漸近線的距離等于虛半軸長【答案】BD【解析】焦點在，軸兩種情況，分別求出，再由拋物線的性質(zhì)判斷ABC，再由點到直線的距離公式判斷D.【詳解】當(dāng)焦點在軸上時，，即，即虛軸長是實軸長的2倍，焦點到漸近線的距離為過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長為當(dāng)焦點在軸上時，，即虛軸長是實軸長的倍由得出焦點到漸近線的距離為過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長為綜上，只有BD正確故選：BD【點睛】關(guān)鍵點睛：在判斷CD選項時，關(guān)鍵是利用通徑以及點到直線的距離公式進行判斷.11．已知數(shù)列是遞減等差數(shù)列，其前項和為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．最大 B．最小 C． D．【答案】ACD【分析】由數(shù)列前項和定義，及得出，再由數(shù)列是遞減數(shù)列，得，然后由等差數(shù)列的性質(zhì)得前項和，從而判斷各選項．【詳解】因為，所以，又?jǐn)?shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，，所以，所以，，，最大，，，故選：ACD．12．已知橢圓：的左?右焦點分別為，，點在上，若是直角三角形，則的面積可能為（

）A．5 B．4 C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)對稱性只需考慮或，當(dāng)時，求出的長，再由面積公式即可求面積，當(dāng)時，結(jié)合，求出，再由面積公式即可求面積.【詳解】由可得，，所以，根據(jù)對稱性只需考慮或，當(dāng)時，將代入可得，如圖：，，所以的面積為，當(dāng)時，由橢圓的定義可知：，由勾股定理可得，因為，所以，解得：，此時的面積為，綜上所述：的面積為或.故選：BC.三、填空題13．已知橢圓的一個焦點為，則C的離心率為___________.【答案】【分析】由橢圓的簡單性質(zhì)，利用橢圓的焦點坐標(biāo)得到的值，再根據(jù)求得的值，最后代入離心率公式計算出結(jié)果.【詳解】橢圓：的一個焦點為，可得，解得，所以橢圓的離心率為：故答案為：14．設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則_____________【答案】【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后把代入導(dǎo)函數(shù)中，求得過點切線的斜率，利用兩直線存在斜率且垂直時，斜率之間的關(guān)系求出的值.【詳解】，則過點切線的斜率為，而直線的斜率為，根據(jù)兩直線存在斜率且垂直時，斜率乘積為，所以有.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線斜率，考查了兩直線存在斜率且垂直時，直線斜率之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運算能力.15．若數(shù)列的通項公式是，則等于___________.【答案】30【分析】由通項公式可得，從而數(shù)列項兩兩結(jié)合進行求和.【詳解】解：由題意，數(shù)列的通項公式是，則，所以.故答案為:30.【點睛】方法點睛:求和的常見方法有：等差、等比數(shù)列公式法；錯位相減法；裂項相消法；并向求和法等.16．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的值為_______．【答案】【分析】由題意可設(shè)：，：，聯(lián)立拋物線方程，若，，，可得、，結(jié)合拋物線的定義寫出、，根據(jù)垂直關(guān)系即可求.【詳解】由題設(shè)，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，將它們聯(lián)立拋物線方程，∴，整理得，顯然，則，即由拋物線定義知：，，整理得，顯然，則，即由拋物線定義知：，∵，有，∴.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)直線、拋物線的位置關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合拋物線定義求相交弦的弦長.四、解答題17．等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．【解析】1、等差數(shù)列通項公式；2、分組求和法．18．已知直線與圓.（Ⅰ）求證：直線必過定點，并求該定點；（Ⅱ）當(dāng)圓截直線所得弦長最小時，求的值.【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）直線可化為，可知直線恒過點；（Ⅱ）當(dāng)圓截直線所得弦長最小時，可知，根據(jù)點坐標(biāo)求出的斜率，利用兩直線垂直斜率的關(guān)系可求出的值.【詳解】（Ⅰ）證明：直線方程可化為：，對上式中,當(dāng)時，不論取何值，等式恒成立，所以直線恒過點（Ⅱ）將圓的方程化為：，圓心為，半徑由（Ⅰ）知，直線恒過點，當(dāng)圓截直線所得弦長最小時，則垂直于直線，即，，，所以當(dāng)圓截直線所得弦長最小時，的值為【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與圓位置關(guān)系的證明、根據(jù)直線被圓截得的弦長求解參數(shù)值的問題；解題關(guān)鍵是能夠明確直線被圓截得的弦所在的直線與直線垂直時,截取的弦長最短，利用兩直線垂直求斜率，考查學(xué)生的運算能力，屬于一般題.19．已知數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；；（2）．【分析】(1)由，可構(gòu)造數(shù)列，從而求解；(2)由(1)代入之后可得是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，所以用錯位相減法即可求解.【詳解】證：（1），，又，得，故，從而，數(shù)列為首項為3，公比為3的等比數(shù)列，從而，；（2）令，所以可由錯位相加法得：兩式相減：20．已加圓的短軸長為2，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）若過作斜率分別為，的兩條直線PA，PB，分別交橢圓于點A，B，且，證明：直線AB經(jīng)過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)，，用“設(shè)而不求法”表示出和，根據(jù)得到，代入直線方程，整理為點斜式，判斷過定點；當(dāng)直線AB斜率不存在時，設(shè)直線方程為，驗證直線AB也過．【詳解】解析（1）由題意得，，解得，由離心率為，又由，解得，所求橢圓方程為．（2）當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，，則，將*式代入化簡可得：，得，代入直線AB方程為，即，恒過定點．當(dāng)直線AB斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，，則，，所以，解得，此時直線AB也過．綜上，直線AB過定點．【點睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，求證：當(dāng)時，恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：定義域為，；①當(dāng)時，，則在上恒成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；②當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由得：；令，則，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，，，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，即在上恒成立，當(dāng)時，恒成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值的求解問題，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，進而確定最大值.22．已知，為拋物線上不同的兩點.（1）若，求直線的傾斜角；（2）若，且的中點為，求到軸距離的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用斜率公式，和拋物線的方程，利用點差法求得斜率；（2）考慮到直線的斜率可能不存在，但不可能為零，設(shè)方程為設(shè)的形式，與拋物線的方程聯(lián)立，利用判別式求得t,m滿足的條件，利用弦長公式求得t,m的關(guān)系，利用中點公式求得Q到y(tǒng)軸的距離關(guān)于t,m的表